Автореферат (786042), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Соответствующие решения уравнений Эйлера–Пуассона являются либо неподвижными точками (физически они отвечают равномерным вращениямтела), либо периодическими траекториями особого характера, на которых падает ранг отображения момента. В совокупности это подмножество фазового пространства образует критическое множество отображения момента.
Критические точки отображения момента организованы втри критические подсистемы – трехмерные многообразия, состоящие изособых периодических движений (в современной терминологии, орбитпуассонова действия, ассоциированного с отображением момента) и ихбифуркаций. Получены в явном виде параметрические уравнения поверхностей, которым принадлежат критические значения отображениямомента – бифуркационная диаграмма задачи. Отмечена связь бифуркационной диаграммы с классами Аппельрота [33] классического волчка Ковалевской. Оказалось, что поверхности в пространстве константпервых интегралов, отвечающие в случае Ковалевской четырем классам Аппельрота, в случае Яхья (при ненулевом гиростатическом моменте) перестраиваются в две поверхности, одна из которых, в свою оче12редь, состоит из двух связных компонент.
Аналитически классифицированы диаграммы Смейла в плоскости констант интегралов энергии иплощадей – образы объединения ключевых множеств критических подсистем. Они определяют 29 камер, внутри которых изоэнергетическиемолекулы неизменны. Явно вычислены показатели Морса–Ботта интеграла Ковалевской–Яхья в специальных базисах. Доказано, что в расширенном интегральном пространстве имеется семь камер, а регулярные торы Лиувилля в целом формируют семь семейств. В результате доказательно построены 29 изоэнергетических инвариантов задачи.Результаты первой главы опубликованы в работах [A01], [A02],[A03], [A04], [A05].Во второй главе приводится полное исследование неприводимой системы с тремя степенями свободы, которая описывает движение волчкаКовалевской в двойном поле.
В классической постановке задача динамики твердого тела описывается механической системой с гироскопическими силами на группе (3) с 1 -симметрией. Отказ от осесимметричных сил приводит к системам с тремя степенями свободы без возможности глобального понижения порядка. Задачей такого типа являетсяобобщение классического случая интегрируемости С.В. Ковалевской надвижение гиростата в двойном силовом поле. Полная интегрируемостьэтой системы доказана в работах [16, 20, 21] путем последовательного обобщения классических интегралов. В настоящей главе эта системарассматривается при отсутствии гиростатического момента.
Этот случай принято называть волчком Ковалевской в двойном поле. В диссертации предложено полное исследование трехмерной топологии системы,частично анонсированное в [A07].Структура настоящей главы основана на идее топологического атласа неприводимой системы с тремя степенями свободы, зависящей отнекоторого набора физических параметров. В этом случае грубый изоэнергетический инвариант уже не является одномерным графом, а может быть представлен в виде так называемой оснащенной изоэнергетической диаграммы – бифуркационной диаграммы ограничения отображения момента на уровень энергии, стратифицированной рангом отоб13ражения и типами критических точек в прообразе.В работах М.П.Харламова (2004–2005) построена стратификацияшестимерного фазового пространства обобщенного волчка Ковалевскойрангом отображения момента на основе нахождения всех критическихподсистем и сформулирована задача описания аналога инварианта Фоменко на изоэнергетических уровнях для волчка Ковалевской в двойном поле.
Общее определение топологического инварианта для интегрируемых гамильтоновых систем со многими степенями свободы приводится в работах А.Т.Фоменко (1988–1991). Критические подсистемыимеют не более двух степеней свободы, и к ним применим весь накопленный опыт топологического анализа. Уравнения фазовых пространствкритических подсистем позволяют явно вычислить внешний тип любойточки критической подсистемы, в частности, всех точек ранга 2. Приводится классификация всех невырожденных критических точек – положений равновесия (невырожденных особенностей ранга 0), особых периодических движений (невырожденных особенностей ранга 1), а также критических двухчастотных движений (невырожденных особенностей ранга 2); предъявлены явные формулы характеристических уравнений для собственных чисел соответствующих симплектических операторов, которые определяют тип невырожденной особенности.
Комбинируя эту информацию, получаем полную классификацию критическихточек по их типам в исходной системе с тремя степенями свободы. Вданной главе последовательно реализованы все шаги метода критических подсистем, позволившие решить задачу классификации бифуркационных диаграмм ограничений интегральных отображений на уровниэнергии, дать параметрическую классификацию бифуркаций, определяющих фазовую топологию системы. Полный список значений топологического инварианта представлен в виде девятнадцати типов оснащенных диаграмм на пятимерных изоэнергетических уровнях.Результаты второй главы опубликованы в работах [A06], [A07],[A08].В третьей главе представлены результаты топологического анализа одного частного случая интегрируемости Д.
Н. Горячева в динамике14твердого тела.Уравнения Кирхгофа движения твердого тела в жидкости в общемслучае имеют вид˙ = × + × ,˙ =×,(1)где ∈ R3 – импульсивный момент, ∈ R3 – импульсивная сила, = ( , ) – полная энергия. Известными интегралами системы (1)являются геометрический интегралΓ = 12 + 22 + 32 ,интеграл площадей = 1 1 + 2 2 + 3 3и полная энергия . На совместном уровне,ℓ = {Γ = 2 , = ℓ},dim ,ℓ = 4система (1) гамильтонова с двумя степенями свободы, в связи с чем дляее интегрируемости достаточно в дополнение к интегралу указать ещеодин интеграл, независимый с почти всюду.В работе [34] найден случай интегрируемости, в котором11 = (12 + 22 ) + 32 + [(12 − 22 ) + 2 ].223В предположении=0(2)система (1) на ,0 имеет первый интеграл =[12−22(12 − 22 )1 2 22 2−+]+4[−].12322 32 32В частном случае = 0 этот интеграл найден С.
А. Чаплыгиным в статье[35], там же выполнено и сведение задачи при = 0 к эллиптическимквадратурам. Дальнейшие обобщения рассматриваемая интегрируемаясистема получила в работе Х. М. Яхья [36]. В работе [37] на основе идейбигамильтонова подхода предложен вариант выбора переменных разделения случая Горячева.15Вместо одного из интегралов , можно рассматривать интеграл вформе, указанной в [37]: = [12 + 22 + 2] + 232 (12 − 22 ) + 2 34 .32При условии (2) он выражается через и следующим образом:=+24−.24В настоящей главе представлено явное вещественное разделение переменных для случая Горячева, отличное от [37] и основанное на геометрическом подходе к разделению переменных, предложенном в [38, 39].Обозначим1 () = 2 + − 2 , = ( ), =√2 () = 2 − + 2 ,( = 1, 2, 3;3 () = ( − )2 − 2 , = 1, 2),и пусть 1 , 2 — корни квадратного уравнения2 − 2 + (2 − ) = 0, = 32 , = 12 + 22 +.32Теорема 1.
[A09] Переменные 1 , 2 являются переменными разделенияи их эволюция определяется уравнениями Абеля–Якоби√︀ 1 − √︀ 2= 0, (1 ) (2 ) √︀ 1 1 − √︀ 2 2 = , (1 ) (2 )где () = −1 1 ()2 ()3 () == −1 (2 + − 2 )(2 − + 2 )[( − )2 − 2 ].При этом фазовые переменные , алгебраически выражаются через1 , 2 по формулам21 2211 121 = i √︀, 2 = − √︀,2 2(1 + 2 )2 2(1 + 2 )i3 = − √ 2(12 22 31 + 11 21 32 ),2 (1 − 22 )1611 = √ 2(12 21 31 + 11 22 32 ),2 (1 − 22 )i(11 22 31 + 12 21 32 ),2 = − √ 22 (1 − 22 )√23 = √.1 + 2Полученные аналитические формулы позволяют исследовать фазовую топологию, в частности, бифуркации лиувиллевых торов.Результаты третьей главы опубликованы в работах [A09], [A18].
Исследования по фазовой топологии интегрируемых случаев уравненийКирхгофа с дополнительным интегралом четвертой степени представлены также в работах автора [A10], [A11], [A12], [A13], [A14] и [A15].В четвертой главе предложен возможный подход к описанию фазовой топологии новой интегрируемой системы с тремя степенями свободы, для которой В. В. Соколовым и А. В. Цыгановым указано представление Лакса [40]. Эта система описывает динамику так называемого двухполевого обобщенного гиростата, механическая модель которогосостоит в следующем.Рассмотрим твердое тело с неподвижной точкой (Рис.
1). Выберем триэдр с началом в , вращающийся вместе с телом, и отнесем кнему все векторные и тензорные объекты. Обозначим через 1 2 3 канонический единичный базис в R3 , тогда сам подвижный триэдр имеетпредставление 1 2 3 . Постоянное поле – это силовое поле, порождающее вращающий момент относительно точки вида × , где – постоянный вектор, а соответствует некоторому физическому вектору,неподвижному в инерциальном пространстве; указывает из точки вцентр приложения поля, есть вектор напряженности поля.
Для двухпостоянных полей вращающий момент имеет вид 1 × + 2 × . Предполагается, что 1 × 2 ̸= 0, × ̸= 0.(3)Два постоянных поля, удовлетворящие (3), называются независимыми.Полагаем, что главные моменты инерции подчинены условиям Ковалевской: = = 2. Радиус-векторы центров приложения сил па17раллельны экваториальной плоскости 1 2 ( ⊥ 3 ); , – векторы напряженностей полей.
Гиростатический момент направлен по оси динамической симметрии = 3 , ( = ).Рис. 1. Механическая модель.Как показано в [41] без потери общности для независимых сил можно полагать 1 = 1 , 2 = 2 .(4)В [40] была доказана интегрируемость системы˙ = × + × + × ,˙ =×, ˙ = ×,(5)которая описывает динамику двухполевого обобщенного гиростата приналичии двух силовых полей c деформированным гамильтонианом = 12 + 22 + 232 + 23 − 21 · ( 1 × + 2 × )−−22 [( 1 · ) + ( 2 · )]или, с учетом (4), = 12 + 22 + 232 + 23 − 22 (1 + 2 )+21 (2 3 − 3 2 + 3 1 − 1 3 ).18(6)Здесь трехмерные векторы , , представляют собой проекциикинетического момента и двух силовых полей на оси, жестко связанныес твердым телом; – параметр гиростатического момента, направленного вдоль оси динамической симметрии; 1 и 2 – параметры деформации.Если параметр деформации 1 обращается в нуль, то функция (6) совпадает с гамильтонианом в задаче о движении гиростата Ковалевской всистеме двух полей [21, формула (3), c.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
