Автореферат (786042), страница 2
Текст из файла (страница 2)
При анализе устойчивости невырожденных (в смысле теории особенностей) траекторий никаких проблем не возникает. Если рассматриваемая система нерезонансна, то имеет место следующее утверждение [31]: эллиптические невырожденные траектории устойчивы, гиперболические невырожденныетраектории неустойчивы.Обобщая понятие бифуркационной диаграммы, в [31] вводится такназываемый бифуркационный комплекс, который является простым,наглядным и естественным топологическим инвариантом интегрируемой системы.
Его главное преимущество связано с упрощениями, которые достигаются при анализе и представлении результатов о существовании и устойчивости периодических решений интегрируемых систем.Построение этого инварианта дает возможность не только ответить навопрос об устойчивости каких-то конкретных траекторий, но сразу описать все устойчивые траектории.В диссертационной работе в качестве основных методов исследования выступают: анализ устойчивости невырожденных (в смысле особен7ностей) траекторий на основе определения их типа (эллиптический/ гиперболический); метод критических подсистем исследования фазовойтопологии; метод ключевых множеств, классифицирующий бифуркационные диаграммы.Положения, выносимые на защиту:∙ Изложены строго обоснованные результаты по аналитическим решениям и топологическому анализу интегрируемого случая Ковалевской-Яхья: представлена полная аналитическая классификациябифуркаций гиростата Ковалевской-Яхья, возникающих в особыхпериодических движениях (критических точках ранга 1 отображения момента); найдены все разделяющие значения гиростатического момента при классификации диаграмм Смейла; исследованатопология приведенных систем; обоснованы результаты об устойчивости периодических решений, полученные при помощи бифуркационной диаграммы; приведено полное описание динамики системы в окрестности особых (критических) периодических траекторий.∙ Приводится полное исследование неприводимой системы с тремястепенями свободы, которая описывает движение волчка Ковалевской в двойном поле: приводится описание критических подсистеми бифуркационных диаграмм; дана классификация всех невырожденных критических точек – положений равновесия (невырожденных особенностей ранга 0), особых периодических движений (невырожденных особенностей ранга 1), а также критических двухчастотных движений (невырожденных особенностей ранга 2); предъявлены явные формулы характеристических уравнений для собственных чисел соответствующих симплектических операторов,которые определяют тип невырожденной особенности.∙ Исследована фазовая топология интегрируемых случаев уравненийКирхгофа движения твердого тела в жидкости с дополнительныминтегралом четвертой степени по импульсам (случаи интегрируемости Чаплыгина, Горячева, Яхья).
Найдено явное вещественное8разделение переменных в частном случае интегрируемости Горячева, основанное на геометрическом подходе к разделению переменных. Полученные аналитические формулы позволили исследовать бифуркации лиувиллевых торов, а также устойчивость невырожденных (в смысле особенностей) траекторий.∙ Для обобщенного двухполевого гиростата (случай интегрируемости Соколова-Цыганова) удалось выделить аналитически четыреинвариантных четырехмерных подмногообразия, на которых индуцированная динамическая система является почти всюду гамильтоновой с двумя степенями свободы.
Система уравнений, задающая одно из инвариантных подмногообразий, является обобщением инвариантных соотношений интегрируемого случая О.И. Богоявленского вращения намагниченного твердого тела в однородномгравитационном и магнитном поле. Остальные три инвариантныхподмногообразия являются новыми в динамике твердого тела. Длякаждого из них указан дополнительный интеграл. Для описанияфазовой топологии всей системы в целом используется метод критических подсистем.
Для каждой подсистемы построены бифуркационные диаграммы и указаны бифуркации торов Лиувилля каквнутри подсистем, так и во всей системе в целом.∙ Исследована фазовая топология интегрируемой гамильтоновой системы на (3), найденной В.В. Соколовым (2001) и обобщающей случай Ковалевской. Обобщение состоит в том, что к однородному потенциальному силовому полю добавлены гироскопические силы,зависящие от конфигурационных переменных.
Классифицированы относительные равновесия, вычислен их тип, определен характер устойчивости; установлены виды диаграмм Смейла и дана классификация изоэнергетических многообразий приведенных системс двумя степенями свободы. Множество критических точек полного отображения момента представлено в виде объединения четырехкритических подсистем, каждая из которых при фиксированныхфизических параметрах является однопараметрическим семейст9вом почти гамильтоновых систем с одной степенью свободы.Степень достоверности и апробация результатов. Основные результаты, представленные в диссертации, были доложены автором на многочисленных международных и всероссийских конференциях, наиболеезначимые из которых перечислены ниже.1) “The 8th International Workshop on Computer Algebra Systems inTeaching and Research” , Siedlce, Poland, 2015; 2) International Conference“Nonlinear Methods in Physics and Mechanics” , Ярославль, 2015;3) “Dynamics, Bifurcations, and Strange Attractors” , Нижний Новгород,2015; 4) “International Conference on Mathematical Control Theory andMechanics” , Суздаль, 2015, 2011; 5) “Hamiltonian Dynamics, Nonautonomous Systems, and Patterns in PDE’s” , Нижний Новгород, 2014;6) “International Conference on Differential Equations and Dynamical Systems” , Суздаль, 2014, 2012; 7) “Recent Advances in Quantum IntegrableSystems” , Dijon, France, 2014; 8) “10th AIMS International Conferenceon Dynamical Systems, Differential Equations and Application” , Madrid,Spain, 2014; 9) “Воронежская зимняя математическая школа С.
Г. Крейна” , Воронеж, 2014; 10) “8th International Symposium on Classical andCelestial Mechanics” , Siedlce, Poland, 2013; 11) “Finite Dimensional Integrable Systems” , Marseille, France, 2013; 12) Семинар “Современные геометрические методы” под руководством академика А. Т. Фоменко;13) International Topological Conference “Alexandroff Readings” , Moscow,2012; 14) Международная конференция “Устойчивость и колебания нелинейных систем управления” (конференция Пятницкого), Москва, 2012;15) “International Conference on stability, control and rigid body dynamics” , Донецк, 2011, 2009, 2008; 16) International Conference “Differential equations and related topics” dedicated Ivan G. Petrovskii, Moscow,2011; 17) II Int. Conf.
“Geometry, Dynamics, Integrable Systems” , Belgrad,Serbia, 2010; 18) Всероссийская конференция “Динамические системы,управление и наномеханика” , Ижевск, 2009.Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 37 печатныхработах, из них 21 статей в рецензируемых из перечня, рекомендованных ВАК, журналах [A01, A02, A03, A04, A05, A06, A07, A08, A09,10A10, A11, A12, A13, A14, A15, A16, A17, A18, A19, A20, A21], среди которых 11 публикаций, индексируемых международными базами Scopusи Web of Science; 8 статей в сборниках трудов конференций и 8 тезисовдокладов.Личный вклад автора.
Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора вопубликованные работы.Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,обзора литературы, 5 глав, заключения и библиографии. Общий объемдиссертации 374 страниц, из них 354 страниц текста, включая 83 рисунков.
Библиография включает 189 наименований на 19 страницах.Содержание работыВо Введении обоснована актуальность диссертационной работы,сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.В первой главе изложены строго обоснованные результаты по аналитическим решениям и топологическому анализу интегрируемого случая Ковалевской-Яхья. Сообщение о том, что случай С.В.
Ковалевской вдинамике твердого тела обобщается на гиростат, Х.М. Яхья сделал насеминарах В.Г. Демина и В.В. Козлова в МГУ в 1985 году. На самом деле в [16] интеграл Ковалевской был обобщен сразу в двух направлениях– на гиростат и на двойное поле, моделирующее действие суперпозицииполя силы тяжести и постоянного магнитного поля.
Ранее аналог интеграла Ковалевской для двойного поля был найден О.И. Богоявленским[32], однако, обобщение Яхья оказалось принципиальным – введение гиростатического момента нарушило классическую структуру интеграла(сумма квадратов), а также его однородность – новое слагаемое, пропорциональное гиростатическому моменту, имеет третью степень по угловым скоростям подобно интегралу Горячева–Чаплыгина. Посколькувведение двойного поля в общем случае ликвидирует симметрию зада11чи, уничтожая интеграл площадей, Х.М. Яхья отмечает два случая полной интегрируемости – гиростат типа Ковалевской в поле силы тяжестии гиростат в двойном поле особой структуры, допускающей сингулярную симметрию.
В данной главе рассматривается первая задача. До настоящего времени она не сведена к квадратурам. В силу наличия группысимметрий система допускает редукцию с вырожденной скобкой Пуассона, в свою очередь расслоенное интегралом площадей на однопараметрическое семейство четырехмерных инвариантных симплектических листов, динамика на которых описывается гамильтоновыми системами сдвумя степенями свободы.В 1991 г. начались систематические исследования фазовой топологии случая Ковалевской–Яхья. Первым этапом всегда является изучение особенностей интегрального отображения (обычно называемого в современной литературе отображением момента). Это такие траектории вфазовом пространстве, на которых первые интегралы оказываются зависимыми в смысле линейной зависимости дифференциалов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
