Автореферат (786042), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Количествоклассических работ по этой тематике весьма велико. В последнее время вопросы об устойчивости таких движений связывается с топологиейсоответствующих интегрируемых систем, отображением момента и такназываемым бифуркационным комплексом, отражающим все особенности слоений фазового пространства (см., например, работы [31], [51]). Вдинамике твердого тела особое место занимает класс движений, называемых равномерными вращениями, в которых вектор угловой скороститела постоянен в подвижной и неподвижной системах отсчета.
С точкизрения системы уравнений Эйлера – Пуассона эти движения являютсянеподвижными точками, поэтому они также называются относительными равновесиями. Устойчивость относительных равновесий в значительной мере определяется собственными числами матрицы правой части линеаризованных уравнений для системы (17). В интегрируемой системе эти собственные числа определяют так называемый тип критической точки [12], соответствующей относительному равновесию.
Типыотносительных равновесий полностью определяют характер устойчивости соответствующих неподвижных точек приведенной системы: точкитипа “центр-центр” устойчивы по всем переменным, точки типа “седлоседло” неустойчивы по всем переменным, а точки типа “центр-седло”устойчивы по двум переменным, а по двум – неустойчивы.В разделах 5.2–5.3 описаны семейства относительных равновесий,образы которых в плоскости (ℓ, ℎ) образуют кривые, формирующие диаграммы Смейла. В случае Ковалевской – Соколова существует четыревида диаграмм Смейла, устойчивых относительно малых возмущенийпараметров.В разделе 5.4 приводится классификация изоэнергетических многообразий.
Пусть ℓ есть ограничение функции на четырехмерное симплектическое многообразие ℓ4 – фазовое пространство приведенной системы. Изоэнергетические многообразия 3ℓ,ℎ – это уровни функции ℓ ,а относительные равновесия на ℓ4 – это критические точки ℓ . Поэтому26для классификации изоэнергетических многообразий нужно найти индекс Морса функции ℓ в точках семейств относительных равновесий.Зная количество точек и индекс Морса, находим топологические типы3ℓ,ℎ и характер бифуркаций. В расширенном пространстве R3 (ℓ, ℎ, 1 ) объединение диаграмм Смейла определяет семь областей с непустыми 3ℓ,ℎ .Интересно отметить, что изоэнергетическое многообразие 33 в классической динамике твердого тела (движение вокруг неподвижной точки вполе только силы тяжести) возможно в случае общего положения центра масс [52] (историю вопроса можно найти в [41]), однако, в интегрируемых задачах оно ранее появлялось лишь в случаях Клебша [53] и Соколова [50] для задачи Кирхгофа движения тела в жидкости (что в соответствующей задаче о движении вокруг неподвижной точки в первомслучае означает наличие центрального ньютоновского поля вместо поля силы тяжести, а во втором предполагает наличие гироскопических3сил, зависящих от ориентации тела).
Здесь через обозначена связ-ная сумма экземпляров 2 × 1 . Изоэнергетические многообразия случая Клебша классифицированы в работе [54] (где, собственно, впервые иобнаружилось изоэнергетическое многообразие 33 ), фазовая топологияслучая Соколова изучена в работе [A14].В разделах 5.6–5.8 приводятся утверждения относительно критических подсистем и множества критических точек отображения момента для случая Ковалевской – Соколова. Для каждой из подсистем вводятся частные интегралы. Более того, инвариантные соотношения выбраны так, чтобы их скобка Пуассона была частным интегралом критической подсистемы, поэтому и множество точек вырождения описанов терминах таких интегралов.
Множество критических точек полногоотображения момента представлено в виде объединения четырех критических подсистем, каждая из которых при фиксированных физическихпараметрах является однопараметрическим семейством почти гамильтоновых систем с одной степенью свободы.Результаты пятой главы опубликованы в работах [A20], [A21].В Заключении приведены выводы, которые были представлены вдиссертационной работе.27Все изложенные результаты могут быть использованы для исследования фазовой топологии более сложных задачах динамики твердого тела в произвольном потенциальном поле и в жидкости [9], [55], [56], [57],[58], в том числе для описания динамической модели левитрона.
Полученные в диссертации результаты позволяют находить явные решенияи исследовать их устойчивость, что имеет важное значение для решенияприкладных задач механики, в том числе робототехники и мехатроники.Список публикаций по теме диссертацииA01. Рябов П. Е. О вычислении бифуркационного множества в случае Ковалевской–Яхьи // Механика твердого тела. 1995. № 27.С. 36–40.A02. Kharlamov M. P., Ryabov P.
E. The bifurcations of the first integrals in the case of Kowalewski-Yehia // Regular and Chaotic Dynamics. 1997. Vol. 2, no. 2. P. 25–40.A03. Рябов П. Е. Аналитическая классификация особенностей интегрируемого случая Ковалевской–Яхья // Вестн. Удмуртск. ун-та.Матем. Мех. Компьют. науки. 2010. № 4. С. 25–30.A04.
Харламова И. И., Рябов П. Е. Электронный атлас бифуркационных диаграмм гиростата Ковалевской–Яхья // Вестн. Удмуртск.ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки. 2011. № 2. С. 147–162.A05. Харламов М. П., Рябов П. Е. Диаграммы Смейла–Фоменко и грубые инварианты случая Ковалевской–Яхья // Вестн. Удмуртск. унта. Матем. Мех. Компьют. науки. 2011. № 4. С. 40–59.A06. Рябов П. Е., Смирнов Г.
Е., Харламов М. П. Атлас диаграмм обобщения 4-го класса особо замечательных движений Аппельрота нагиростат в двойном поле // Механика твердого тела. 2012. № 42.С. 62–76.A07. Харламов М. П., Рябов П. Е. Сетевые диаграммы для инварианта Фоменко в интегрируемой системе с тремя степенями свободы //Доклады Академии наук. 2012. Т. 447, № 5. С. 449–502.28A08. Рябов П. Е., Харламов М. П. Классификация особенностей в задаче о движении волчка Ковалевской в двойном поле сил // Математический сборник. 2012. Т. 203, № 2. С. 111–142.A09. Рябов П. Е. Явное интегрирование и топология случая Д. Н.
Горячева // Доклады Академии наук. 2011. Т. 439, № 3. С. 315–318.A10. Оrel O. E., Ryabov P. E. Bifurcation sets in a problem on motion of arigid body in fluid and in the generalization of this problem // Regular& Chaotic Dynamics. 1998. Vol. 3, no. 2. P. 82–93.A11.
Ryabov P. E. Bifurcation sets in an integrable problem on motion ofa rigid body in fluid // Regular and Chaotic Dynamics. 1999. Vol. 4,no. 4. P. 59–76.A12. Оrel O. E., Ryabov P. E. Topology, bifurcations and Liouville classification of Kirchoff equations with an additional integral of fourthdegree // J. Phys. A: Math. Gen. 2001. Vol. 34. P. 2149–2163.A13. Рябов П. Е. Фазовая топология задачи Чаплыгина о движениитвердого тела в жидкости // Механика твердого тела. 2000. № 30.С. 140–150.A14. Рябов П. Е. Бифуркации первых интегралов в случае Соколова //Теоретическая и математическая физика.
2003. Vol. 134, no. 2.P. 207–226.A15. Рябов П. Е. Алгебраические кривые и бифуркационные диаграммы двух интегрируемых задач // Механика твердого тела. 2007.№ 37. С. 97–111.A16. Харламов М. П. Рябов П. Е., Савушкин А. Ю., Смирнов Г. Е. Типыкритических точек гиростата Ковалевской в двойном поле // Механика твердого тела. 2011.
№ 41. С. 27–38.A17. Рябов П. Е. Фазовая топология одной неприводимой интегрируемой задачи динамики твердого тела // Теоретическая и математическая физика. 2013. Т. 176, № 2. С. 205–221.A18. Рябов П. Е. Фазовая топология одного частного случая интегрируемости Горячева в динамике твердого тела // Математический сборник.
2014. Т. 205, № 7. С. 115–134.A19. Ryabov P. E. New invariant relations for the generalized two-field29gyrostat // Journal of Geometry and Physics.2015.Vol. 87.P. 415–421.A20. Рябов П. Е., Савушкин А. Ю. Фазовая топология волчка Ковалевской–Соколова // Нелинейная динамика. 2015. Т. 11, № 2.С.
287–317.A21. Kharlamov M. P., Ryabov P. E., Savushkin A. Y. Topological atlas ofthe Kowalevski – Sokolov top // Regular and Chaotic Dynamics. 2016.Vol. 21, no. 1. P. 24–65.Цитированная литература1. Пуанкаре А. Избранные труды. В 3 т. Москва: Наука, 1971.2. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.–Л: ГТТИ, 1947.3. Колмогоров А. Н. О сохранении условно-периодических движенийпри малом изменении функции Гамильтона // ДАН СССР. 1954.Т.
98, № 4. С. 527–530.4. Арнольд В. И. Доказательство теоремы А.Н. Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом изменениифункции Гамильтона // УМН. 1963. Т. 18, № 5(113). С. 13–40.5. Арнольд В. И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике // УМН. 1963.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
