Отзыв оппонента2 (786049)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

ОТЗЫВ ОФИЦИАЛЬНОГО ОППОНЕНТА на диссертационную работу Рябова Павла Евгеньевича «Топологический анализ неклассических интегрируемых задач динамики твердого тела», представленную на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01,02.01- «Теоретическая механика» АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ Диссертация посвящена изучению интегрируемых гамильтоновых систем с двумя и тремя степенями свободы, возникающих в задачах механики твердого тела и их обобщений на системы при наличии силовых полей.

С математической точки зрения — это задачи о классификации топологии слоений Лиувилля и их перестроек при изменении параметров исследуемой интегрируемой системы, возникающие в некоторых конкретных задачах механического происхождения, а потому важные для задач динамики твердого тела. Понятие интегрируемости, возникшее почти сразу при появлении дифференциальных уравнений, претерпело значительную эволюцию от желания получить решение дифференциального уравнения в виде элементарных функций, интегралов от них или обратных функций от интегралов (интегрирование в квадратурах) в работах Иоганна, Николая и Даниила Бернулли, Риккати, Эйлера, Клеро и других классиков, через нахождение важных частных случаев интегрируемых систем в работах Эйлера, Лагранжа, Якоби, Лиувилля, Неймана, Клебша, Ковалевской, и многих других, -- к современному пониманию интегрируемой по Лиувиллю гамильтоновой системы с и степенями свободы как системы, имеющей и независимых почти всюду интегралов в инволюции.

По-видимому, первым общим геометрическим результатом в теории интегрируемых систем и является теорема Лиувилля, поскольку эта теорема не опирается на конкретный вид системы, а только на существование и независимых интегралов в инволюции, и дает описание поведения всех траекторий системы в рассматриваемой окрестности.

Арнольд придал этой теореме современную формулировку и глобализовал ее результат. Примерно в начале 60-х годов ХХ века произошел новый взрыв интереса к интегрируемым системам, связанный с открытием бесконечномерньчх интегрируемых гамильтоновых систем типа уравнений с частными производными Кортевега-де Фриза, нелинейного уравнения Шредингера, уравнения синус-Гордон, уравнения Ландау-Лифшица, развитием метода обратной задачи рассеяния и алгебраических методов интегрирования (Гарднер, Грин, Крускал, Миура, Ланс, Хирота, Захаров, Фаддеев, Новиков, Шабат, Мозер, Мищенко, Фоменко, Дубровин, Кричевер, Богоявленский, и многие другие), которые привели также к открытию новых и переоткрытию найденных ранее (но забытых) конечномерных интегрируемых гамильтоновых систем. Однако все эти мощные аналитические методы, позволяющие обнаруживать интегрируемость (точнее — не обнаруживать интегрируемость конкретных систем, а строить классы интегрируемых уравнений) и получать конкретные решения, плохо приспособлены к задачам глобального описания поведения данной интегрируемой системы, т.е.

того, что в теории динамических систем понимается под ее фазовым портретом, структурой и т.д. Первый шаг на пути построения такой теории был сделан Смейлом, который сформулировал подход к изучению гамильтоновой системы, инвариантной относительно действия некоторой группы Ли, и Марсденом и Вейнстейном, развившим понятие редукции для гамильтоновой системы с симметриями.

Затем это направление получило большое развитие в работах Лермана и Уманского, Фоменко и его школы (Болсинов, Нг)ген Тьен Зунг, Ошемков и др.), Харламова. ПЬЧ~,'П~,~~ Р:~Д,:.,И ) К настоящему времени теория интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы и простыми особыми точками в основном завершена в принципиаль-ном плане, Тем не менее, задачи о бифуркациях в таких системах остаются в основном нерешен-ными, что связано с необходимостью изучить переходы через непростые особые точки и развитием соответствующей полулокальной теории.

Для интегрируемых систем с тремя степенями свободы результатов глобального исследования очень мало из-за отсутствия инвариантов полулокального описания даже в насыщенных окрестностях простых особых точек и бифуркаций в семействах особенностей ранга 1 и 2, Хотя имеются результаты Зунга о полулокальном описании накрытия насыщенных окрестностей простых особенностей, но возможные действия дискретной группы накрытия не изучены.

Поэтому актуальность темы диссертации не вызывает сомнений: она важна как шаг в нужном направлении и подход к задачам указанного типа, хотя бы и для конкретных систем, где исследование облегчается относительной простотой интегралов. Кроме того, несомненно, изучение поставленных в диссертации задач дает большую информацию о динамике соответствующих механических систем. СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ В первой главе диссертации рассматривается гиросгат типа Ковалевской в поле силы тяжести, для которого Яхья доказал полную интегрируемость. Исследуемая система сводится к семейству интегрируемых систем с двумя степенями свободы (параметром является значение интеграла площадей). Здесь дается анализ структуры слоения Лиувилля для этого семейства интегрируемых систем.

Для этого изучаются бифуркационные диаграммы и их перестройки при изменении параметра, на основе чего получены области в плоскости момента, которые соответствуют одинаковому числу торов Лиувилля соответствующей интегрируемой системы и описываются одинаковым инвариантом изоэнергетической эквивалентности. При изменении параметра эти инварианты могут меняться, всего получено 29 неинвариантных структур. Следует сказать, что эта задача технически весьма нетривиальна, вся эта глава занимает половину обьема диссертации. Во второй главе диссертации изучается интегрируемая гамильтонова система с тремя степенями свободы, изучение которой не сводится к изучению систем меньшей размерности. Эта система описывает движение волчка Ковалевской в двойном силовом поле, ее фазовым пространством является кокасательное пространство к группе $0(З).

Полная интегрируемость этой системы, т.е, наличие третьего интеграла в дополнение к двум известным, было доказано Яхья, Богоявленским, Рейманом и Семеновым-Тянь-Шанским. В полной постановке задача до сих пор не исследована, в диссертации она изучается при нулевом значении гиростатического момента. Идея, предложенная Харламовым, состоит в первоначальном изучении т.н. критических подсистем системы с тремя степенями свободы, т.е. подмножеств (почти всюду они являются инвариантными четырехмерными симплектическими многообразиями), на которых ранг тройки интегралов равен двум.

Эти критические подсистемы являются поэтому системами с двумя степенями свободы, исследование которых более продвинуто и оно здесь изучается. Само явное вычисление этих критических подсистем в данной задаче облегчается алгебраичностью интегралов и их относительной простотой. Изучение этих подсистем дополняется исследованием типов особых точек (особенностей ранга 0), семейств особых периодических траекторий (особенностей ранга 1) и семейств 2-торов (особенностей ранга 2).

В замыкание соответствующих семейств входят и некомпактные орбиты действия. Третья глава диссертации посвящена достаточно специальному, но классическому вопросу о возможности явного разделения переменных в уравнениях Кирхгофа движения твердого тела в идеальной несжимаемой жидкости в случаях, когда имеется дополнительный интеграл четвертой степени по импульсам (Чаплыгин, Горячев, Яхья, Соколов). Здесь автор применил геометрический подход к разделению переменных, что позволило получить аналитические формулы и исследовать бифуркации торов Лиувилля. В четвертой главе диссертации изучается интегрируемая система с тремя степенями свободы— гиростат под действием двух полей (случай Соколова-Цыганова).

Здесь автору удалось найти аналитически четыре новых четырехмерных инвариантных подмногообразия, ограничение системы на которые является почти всюду интегрируемой системой с двумя степенями свободы. Для одного из многообразий соответствующая система оказалось известной, она соответствует случаю Богоявленского вращения намагниченного твердого тела в однородном магнитном и гравитационном поле. Остальные три подсистемы оказались новыми. Найденные подмногообразия являются критическими подсистемами исходной системы, для них построены бифуркационные диаграммы и соответствующие изоэнергетические инварианты, которые также позволили продвинуться и в изучении системы в целом.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов диссертации