Автореферат (786042), страница 4
Текст из файла (страница 4)
56]). Системы с такими гамильтонианами, существенно зависящими от и , не допускают непрерывной группы симметрии, и поэтому неприводимы глобально к семействусистем с двумя степенями свободы.Соответствующая скобка Ли–Пуассона задается формулами{ , } = , { , } = , { , } = ,{ , } = 0, { , } = 0, { , } = 0, = 21 ( − )( − )( − ),(7)1 6 , , 6 3.Функциями Казимира являются выражения 2 , · и 2 .Относительно скобки Ли–Пуассона, заданной соотношениями(7), систему (5) можно представить в гамильтоновом виде:˙ = {, },где через обозначена любая из координат.Фазовое пространство системы уравнений (5) задается общим уровнем функций Казимира 2 = 2 , 2 = 2 , · = ,(0 < < , || < ).В работе [40] указана соответствующая − пара для гамильтониана (6).
Бигамильтонова структура для обобщенного двухполевого гиростата Ковалевской впервые получена в работе [42]. Деформации интегрируемых гамильтонианов, анонсированные в [40], также упоминаются в книгах [9] ([9, формула (4.18), c. 128]) и [41] ([41, замечание 2,c. 265]). При отсутствии второго силового поля ( = 0) и наличии ненулевого параметра (параметра гиростатического момента) интегрируемость доказана В. В.
Соколовым. Явное выражение дополнительного19интеграла (на алгебре (3)) содержится в работе [17]. В [A15] дополнительный интеграл Соколова представлен в виде, удобном для исследования фазовой топологии в системе с двумя степенями свободы. Бигамильтоновы структуры интегрируемых деформаций волчка Ковалевской иинтегрируемого случая Соколова получены в [42].Для гамильтониана (6) дополнительные интегралы и имеютследующий явный вид ([A17], [43], [42], [A19]): = 12 + 22 − [(3 + )(12 + 22 ) + 22 (3 1 + 3 2 )]+21 (2 + 2 )3 + 21 [2 12 − 1 22 − (1 − 2 )1 2 ] − 221 ,(8) = 2 + 2 + 2(3 + ) − 22 (2 2 + 2 1 )+21 [ 2 (2 3 − 3 2 ) − 2 (1 3 − 3 1 )](9)+2( · )[2 (2 + 1 ) + 1 (3 1 − 1 3 + 2 3 − 3 2 )].где1 = 12 (12 − 22 ) + 2 (1 − 2 )+1 [3 (2 + 1 ) − 2 3 − 1 3 ] + 12 21 ( 2 − 2 ),2 = 1 2 + 2 (2 + 1 ) − 1 [3 (1 − 2 ) + 3 2 − 3 1 ] − 21 ( · ), = 1 1 + 2 2 + 3 3 , = 1 1 + 2 2 + 3 3 , = 1 (2 3 − 3 2 ) + 2 (3 1 − 1 3 ) + 3 (1 2 − 2 1 ).Если положить значения параметров деформации 1 = 0 и 2 = 1,то получаются выражения для интегралов 1 и 2 из работы [21, формула (5), c.
57].Явное выражение алгебраической кривой ℰ(, ) ([A17], [A19]) имеет следующий вид:ℰ(, ) : 4 4 + 2 2 + 0 = 0,20где4 = − 4 − 21 (2 + 2 ) 2 − 41 [2 2 − ( · )2 ],2 = 2 6 + [21 (2 + 2 ) − ℎ − 2 ] 4 + [22 (2 + 2 ) − 21 ] 2+221 22 [2 2 − ( · )2 ],0 = − 8 + ℎ 6 + 1 ,2 4 + 22 2 − 42 [2 2 − ( · )2 ].Коэффициент 1 ,2 при 4 всегда является первым интегралом [40]. В работах [A17], [A19] показано, что коэффициент 1 ,2 можно выразить через казимиры 2 , 2 и другие (независимые почти всюду) дополнительные интегралы (8) и (9) той же системы следующим образом:1 ,2 = 21 + − 41 ( · )2 −1− [ℎ2 + 221 (2 + 2 )ℎ + 41 (2 − 2 )2 ] − 22 (2 + 2 ).4где ℎ, и – постоянные первых интегралов (6), (8) и (9).Как показано в [44], [45], [46] без ограничения общности можно считать векторы и взаимно ортогональными, причем || > ||.
Тогдагеометрические интегралы, порождаемые функциями Казимира, запишутся в виде||2 = 2 ,||2 = 2 , · = 0,( > > 0).Тот факт, что любая задача о движении твердого тела в двух постоянных полях может быть сведена к задаче, в которой одна из пар 1 , 2или , ортонормирована, известен из [41]. Одновременная ортогонализация обеих пар, предложенная в [44] для твердого тела и в [45] длягиростата, существенно упрощает дальнейшие исследования.Задача о движении обобщенного гиростата относится к интегрируемым гамильтоновым системам с тремя степенями свободы. Особую рольв изучении фазовой топологии таких систем играют критические подсистемы. Понятие критической подсистемы сформировалось в работахМ. П.
Харламова при исследовании фазовой топологии неприводимыхсистем с тремя степенями свободы [47, 48]. Идея критической подсистемы состоит в следующем.21Определим интегральное отображениеℱ : → R3 ,полагая ℱ() = { = (), = (), ℎ = ()}. Отображение ℱ принято называть отображением момента. Обозначим через совокупностьвсех критических точек отображения момента, т.е. точек, в которыхrank ℱ() < 3. Множество критических значений Σ = ℱ() ⊂ R3 называется бифуркационной диаграммой.Пустьℒ(ℎ, , ) = 0(10)уравнение двумерной поверхности Πℒ , которое содержит один из листовбифуркационной диаграммы Σ отображения ℱ.Определим функциюΦℒ = ℒ ∘ ℱ : → R.(11)Критической подсистемой ℳℒ называется замыкание множествакритических точек ранга 2, которое принадлежит нулевому уровню интеграла Φℒ .
Тогда ℳℒ является инвариантным подмножеством в , состоящим из критических точек отображения ℱ. Критическая подсистема ℳℒ задается системой уравненийΦℒ = 0,Φℒ = 0.Напомним один общий факт из симплектической геометрии [49].Лемма 1.
Пусть подмногообразие ℳ симплектического многообразия задается системой независимых уравнений вида1 = 0, 2 = 0.(12)Тогда 2-форма на ℳ, индуцированная симплектической структурой из, вырождается в точности на множестве {1 , 2 } = 0.Поскольку критические подсистемы обычно описываются системойуравнений вида (12), то индуцированная симплектическая структура вырождается на множестве коразмерности 1. В этом случае такие системыназываются почти гамильтоновыми.22Уравнения поверхностей вида (10) (неявные или параметрические)можно получить как дискриминантные множества некоторых многочленов, исходя из особенностей алгебраической кривой ℰ(, ), ассоциированной с представлением Лакса.В четвертой главе предъявлены в явном виде четыре новых инвариантных четырехмерных подмногообразия, на которых индуцированная динамическая система является почти всюду гамильтоновой с двумя степенями свободы.
Система уравнений, задающая одно из инвариантных подмногообразий, является обобщением инвариантных соотношений интегрируемого случая О. И. Богоявленского вращения намагниченного твердого тела в однородном гравитационном и магнитном поле. Остальные три инвариантных подмногообразия являются новыми вдинамике твердого тела. Для каждого из них указан дополнительныйинтеграл. Приведем описание одного из таких инвариантных подмногообразия при отсутствии линейного потенциала и наличии только гироскопических сил.Рассмотрим функцию1ℒ1 (ℎ, , ) = 21 + − 41 2 − [ℎ2 + 221 (2 + 2 )ℎ + 41 (2 − 2 )2 ]4Следуя (11), определим соответствующий интеграл Φℒ1 формулой1Φℒ1 = 21 + − 41 ( · )2 − [ 2 + 221 (2 + 2 ) + 41 (2 − 2 )2 ],4Предложение 1.
Интеграл Φℒ1 в можно представить в виде произведения двух функций 1 и 2 , т.е.Φℒ1 = 1 · 2 ,где1 = 3 + + 1 (1 − 2 ),(13)2 = 33 + [1 (1 − 2 ) + ]32 + [12 + 22 + 21 (3 2 − 3 1 )]3 ++[(22−12 )(2+ 1 ) + 21 2 (1 − 2 )]1 +(12+(14)22 ).Замечание 1. Для уравнений Кирхгофа на алгебре (3) и уравнений Пуанкаре на (4) дополнительный интеграл также имеет вид произведения двух функций [17, 50], [18].23Теорема 2. Нулевой уровень каждой из функций (13), (14) определяет в инвариатное пятимерное многообразие.Инвариантные пятимерные подмногообразия не являются критическими точками ранга 2 отображения момента ℱ, поэтому мы будемрассматривать совместную систему уравнений, заданную соотношениями1 = 0,2 = 0.(15)Система (15) определяет в инвариантное четырехмерное подмногообразие ℳℒ1 , которое является критической подсистемой нулевогоуровня интеграла Φℒ1 .Теорема 3.
Функция0 = 21 {−(2 + 1 )32 − (1 + 2 )[1 (1 − 2 ) + ]3 −−1 12 − 2 22 − (2 + 1 )1 2 + [1 (21 3 − 1 3 − 2 3 ) + 3 ]1 −−[1 (22 3 − 1 3 − 2 3 ) − 3 ]2 }является первым интегралом на подмногообразии ℳℒ1 , заданном уравнениями (15).Заметим, что {1 , 2 } = 0 . Поэтому нулевой уровень интеграла 0 ,т.е. уравнение 0 = 0, является множеством точек коразмерности 1 вырождения 2-формы на ℳℒ1 .Теорема 4. Критическая подсистема ℳℒ1 , заданная соотношениями(15), определяет в почти всюду четырехмерное подмногообразие ииндуцированная динамическая система является почти всюду гамильтоновой с двумя степенями свободы. В качестве независимых интегралов можно взять гамильтониан и функцию 0 .Результаты четвертой главы опубликованы в работах [A17], [A19].В пятой главе исследуется фазовая топология интегрируемой гамильтоновой системы на (3), найденной В.В.Соколовым (2001) и обобщающей случай Ковалевской.
Обобщение состоит в том, что к однородному потенциальному силовому полю добавлены гироскопические силы, зависящие от конфигурационных переменных.24Коалгебра g0 = (3)* реализуется как R6 (M, ) со скобкой Пуассона{ , } = ,{ , } = ,{ , } = 0.(16)Интегрируемый гиростат Ковалевской – Соколова [17] задается уравнениями Гамильтона˙ = {, }(17)с гамильтонианом1 = (12 + 22 + 232 ) + 1 (3 2 − 2 3 ) − 0 1 .4Уравнения (17), записанные в переменных , , называются уравнениями Эйлера – Пуассона. Скобка (16) обладает двумя функциями Казимира1Γ = 2 .
= M · ,2Точкой обозначено скалярное произведение в R3 , коэффициент в введен по традиции, сложившейся в задачах динамики твердого тела с конфигурацией типа Ковалевской.На совместном уровне ℓ4 = { = ℓ, Γ = 2 } скобка (16) невырождена и ограничение системы (17) становится гамильтоновой системой сдвумя степенями свободы.
Удобно считать фазовым пространством системы (17) пятимерное многообразие 5 = R3 (M)× 2 (), заданное одним уравнением 2 = 2 ,( > 0), и говорить об однопараметрическом(параметр ℓ ∈ R) семействе систем на ℓ4 . Последнее соотношение в механике называют геометрическим интегралом, определенную им сферу– сферой Пуассона. Функцию и порожденное ей соотношение = ℓназывается интегралом площадей.Первый интеграл, найденный в [17], дополнительный к Γ, , иобеспечивающий интегрируемость системы (17) (соответственно, лиувиллеву полную интегрируемость семейства гамильтоновых систем на ℓ4 )можно записать в виде[︂]︂21 =(12 − 22 ) + 1 (2 3 − 3 2 ) − 21 (12 + 22 + 32 ) + 0 1 +4[︂]︂21+1 2 + 1 (3 1 − 1 3 ) + 0 2 .225В механике большое внимание уделяется исследованию особых движений механических систем (в том числе и интегрируемых), их аналитическому описанию и изучению характера устойчивости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
