Диссертация (786043), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Поскольку 1 ∈ 10 и 2 ∈ 20 не могут принадлежатьодному классу, точки вида (0, ) всегда являются разделяющими. Обозначим полуось = 0, > 0 через 0 . При ̸= 0 типы критических точек ± (, ) всегда одинаковы, поэтому точка (, ) является разделяющей тогда и только тогда, когда обе критические точки ± (, ) вырож50дены. Множество сильно вырожденных критических точек ± (, ) соответствует кривой в области 2 [98]21 : =−11/3,0 < 6 1.(1.3.21)При условии(2 − )( − ) + = 0(1.3.22)все критические точки невырождены.Предложение 3 ([52],[98]). Пусть точка (, ) ∈ 0 не лежит на кривой(1.3.21) и не удовлетворяет ни одному из уравнений + = 0,(1.3.23)(2 − )( − ) − = 0,(1.3.24)(2 − )( − ) + = 0.(1.3.25)Тогда критические точки ± (, ) невырождены.Доказательство.
Характеристический многочлен оператора a в точке± (, ), сокращенный на 2 в соответствии с замечанием 4, имеет вид () = 4 − 22 + ,(1.3.26)где1[−(3 − )(2 − )( − ) + ( − 3)],8( − )1=[( − )3 (4 − ) − 4 − (2 − )( − )2 ].8( − )Дискриминант многочлена (1.3.26)=2 − =( + )2[(2 − )( − ) + ]2264( − )обращается в нуль только при условии (1.3.23). Корни по 2 находятся явно121 = − [(2 − )( − ) − ],4122 = −[(2 − )( − ) + ].2( − )51(1.3.27)(1.3.28)Эти величины, фактически и определяющие типы точек ранга 0, впервые вычислены в работе [52].
Таким образом, за пределами множества,определенного уравнениями (1.3.23)–(1.3.25), все корни различны.При этом вне кривой (1.3.21) алгебра, порожденная операторами a , a ,двумерна. Предложение доказано.Как показано в [98], на кривой22 : = −,(1.3.29) > 0,то есть при условии (1.3.23), все критические точки вырождены. Условие (1.3.24) реализуется в области 0 на следующих кривых23 :31 :4 − 4,=234 − 4=,2334 − 4=,2334 − 4=,23√︀√ ∈ ( 4 4/3, 2], (1.3.30)√︀ ∈ (− 4 4/3, 0). (1.3.31)Все соответствующие критические точки также вырождены [98]. Условие (1.3.25) реализуется в области 0 на кривой)︁√︀1 (︁22/3 − + 424 : =,2 > 0,(1.3.32)Все соответствующие критические точки вырождены [98].Область 0 с разделяющими кривыми указана на рис. 1.2 [98]. Здесьже введены обозначения для классов невырожденных точек ранга 0.
Каквидим, в множестве Λ(10 ) всего один класс, и он обозначен, как и подобласть в 0 , через 1 . Он включает и подмножество со значением = 0,через которое возможен переход к симметричным точкам, так что этоткласс состоит из одной связной компоненты. В множестве Λ(30 ) два класса. Они обозначены через 31 , 32 и не включают точек с = 0, поэтомукаждый такой класс состоит из двух связных компонент. В множествеΛ(20 ) восемь классов 21 , . . . , 28 .
Три из класса 21 , 26 , 27 содержат точкис = 0 и имеют поэтому одну связную компоненту, остальные состоят из двух связных компонент. На этом рисунке также введена кривая52ℓ0 , порожденная возможностью, специфической только для гиростата, аименно, наличием равномерных вращений вокруг вертикали ( ̸= 0), накоторых постоянная площадей все же равна нулю. Это значит, что параточек, связанных симметрией, попадает на один и тот же уровень всехпервых интегралов (но не на одну компоненту связности).
При пересечении кривой ℓ0 тип критических точек не меняется, но, как будет показано ниже, она вызывает перестройку диаграммы Смейла, а также меняеттопологию совместного уровня первых интегралов в целом, отражаясь ина топологических инвариантах. Из (1.3.11) найдем, что равенство ℓ = 0при ̸= 0 влечет ( − ) + = 0. В соответствии с определением знака ,это возможно лишь на 2 , поэтому кривая ℓ0 определяется условиями( − )3 ( + ) + 4 = 0,ℓ0 :(1.3.33) 6 0.Здесь уместно еще раз напомнить, что по договоренности > 0.
Как обозначено на рисунке, подобласти, на которые кривая ℓ0 разбивает классы27 , 28 , будем снабжать штрихами.d28ʹʹld27ʹʹp0p24ℓ02pd1p22d28ʹ d27ʹ d26p31P0d25d2112 3/4d31p23p21d23 d22d24( 43 )- -d321/41-3/42r( -43 )1/4Рис. 1.2. Разделяющее множество и классы критических точек ранга 053Поскольку все случаи обращения в ноль величин (1.3.27), (1.3.28)аналитически установлены, то их знаки в порожденных подобластях(, )-плоскости приводят к следующей классификации точек ранга 0.Теорема 5 ([52], [98]).
В расширенном фазовом пространстве Λ( 5 ) критические точки ранга 0 случая Ковалевской – Яхья имеют следующийтип (указывается в порядке следования пар корней 21 , 22 ) :21 , 22 , 26 — “седло-седло”, 21 > 0, 22 > 0, соответствующие относительные равновесия неустойчивы по всем переменным;23 , 31 — “седло-центр”, 21 > 0, 22 < 0, относительные равновесияпо двум переменным устойчивы, а по двум — неустойчивы;27 — “центр-седло”, 21 < 0, 22 > 0, относительные равновесия подвум переменным устойчивы, а по двум — неустойчивы;24 , 25 , 28 , 1 , 32 — “центр-центр”, 21 < 0, 22 < 0, соответствующиеотносительные равновесия устойчивы по всем переменным.Проведем сравнение классификации относительных равновесий потипам и классификации их в решении И.Н.
Гашененко (1.1.2), (1.1.32),(1.1.35) по параметрам (1.1.33). На рис. 1.3 нанесены знаки троек чисел (1 , 2 , 3 ), а на разделяющих кривых указаны и нулевые значенияпараметров. Оказалось, что кривая 24 на знаки троек не влияет, на кривой 21 обращается в ноль 3 , но в примыкающих к ней областях знакитроек одинаковы. На кривой 22 обращаются в ноль два параметра 2 и543 .
В итоге имеем следующее соответствие классам (1.1.36):(I)24 , 25 , 32 ;(II)′′27, 28;(III)22 , 23 , 31 ;(IV)21 , 26 ;(V)′′′′1 , 27, 28;(VI)ℓ0 ;(VII)22 , 23 , 31 ;(1.3.34)(VIII) 21 , 22 .lℓ0p0-----0--2pp22+-++-++++00p31++0P0++0p21( 43 )+-+p23++++0++++- -++-12 3/4+-+1/41-3/42r( -43 )1/4Рис. 1.3. Знаки троек (1 , 2 , 3 ).Сформулируем отдельными предложениями важное свойство, которое неявно использовалось в исследованиях автора диссертации иИ.Н. Гашененко при классификации бифуркационных диаграмм и грубых инвариантов Фоменко (более детально и с уточнениями эти вопросыбудут обсуждаться ниже). Предложение 4 утверждает, что все особенности ранга 0 имеют сложность 1 (понятие сложности введено в [26]).55Предложение 5 утверждает, что, более того, даже на один уровень первых интегралов при ненулевой постоянной площадей две таких точкипопасть не могут.
Возможность совпадения в двух разных точках ранга0 значений всех первых интегралов важна при изучении бифуркационных диаграмм различных отображений момента, возникающих в этойзадаче. Удивительно то, что явного и четкого доказательства этих двухпредложений так до сих пор нигде и не было предъявлено.Предложение 4. При всех значениях первых интегралов связная компонента интегрального многообразия не может содержать более однойкритической точки ранга 0.Предложение 5.
На один совместный уровень первых интегралов (в разные компоненты) попадают две точки ранга 0, отвечающие кривой ℓ0на плоскости (, ). На всех остальных совместных уровнях первых интегралов, содержащих точку ранга 0, такая точка единственна.Доказательство. Все точки ранга 0 принадлежат подсистеме ℳ1 .
Фиксируем ̸= 0. Согласно (1.1.25), точка ранга 0 однозначно определяется значениями ℎ, , , где – кратный корень многочлена (1.1.26). Еслипредположить,чтократныхкорнейдва,тоесть,что4() = −( − 1 )2 ( − 2 )2 , где 1 ̸= 2 , то сразу же приходим к несовместной системе2 = −1 , = 0,22 = 2ℎ,24 − 4ℎ2 + 4 = 0.Итак, при заданных , ℎ, критическая точка ранга 0 единственна (еслисуществует).
Теперь фиксируем , ℎ и допустим, что одна и та же пара(ℓ, ) определяется разными 1 ̸= 2 . Из (1.1.30) получим две возможности. Первая возможность 1 = −2 и ℎ − 2 /2 = 21 дает ℓ = 0, и этофигурирующая в утверждении кривая ℓ0 , в прообразе которой две точки56с одним , но с противоположными . Если же 1 + 2 ̸= 0, то получаемсистему21+ 1 2 +222=ℎ− ,221+2212= (ℎ − ),62которая, очевидно, несовместна. Итак, при наличии кратного корня у(), этот корень значениями ℎ, определен однозначно, а, в свою очередь, эти же значения однозначно определены значениями ℓ, . Предложение 5 полностью доказано.Заметим, что при ℓ ̸= 0 из этого следует и утверждение предложения4, а при ℓ = 0 доказательство предложения 4 из формул приведенноговыше решения И.Н. Гашененко получается совсем просто.Таким образом, в случае Ковалевской – Яхья все точки ранга 0 имеют сложность один.В работе [101] без доказательства сформулировано более слабоеутверждение, в котором изначально отбрасываются случаи, разделяющие в плоскости (ℓ, ) различные виды бифуркационных диаграмм отображения (1.2.10).
Это разделяющее множество Θ найдено в работахавтора [83, 84, 96]. В [101] неразделяющие значения пары (ℓ, ) называются небифуркационными. Как видно из приведенного доказательствапредложения 5, никакого отношения к вопросу о сложности точки ранга 0 бифуркационность пары (ℓ, ) не имеет.Уравнения кривых в составе упомянутого разделяющего множестваΘ из работы автора можно найти, например, в [51]. Это множество классифицирует бифуркационные диаграммы отображений ℓ (). Выясним,̂︀ — образ в окс чем оно действительно связано.
Вычислим множество Θтанте {(ℓ, ) : ℓ > 0, > 0} кривых , служащих разделяющими приклассификации точек ранга 0, вместе с их предельными точками при = 0. Сохраняя для кривых-образов те же обозначения, что и у кривых-57прообразов, получим:1 √︀1 − 4/3 ,1/321 √︀ℓ = √ ( 1 + 4 − 2 )3/2 ,2⎧⎪(4 − 4 )3/2⎪⎨ℓ=,43,⎪34 − 4⎪⎩=√ 23| 4 + 4/3 − 22/3 |ℓ= √ √,4/3 − 2/3 )1/22(4+⎧⎪(4 − 4 )3/2⎪⎨ℓ=,43,⎪34 − 4⎪⎩=2321 : ℓ =0 6 6 1;22 : > 0;23 :24 :31 :√︀√ ∈ [ 4 4/3, 2];(1.3.35) > 0;√︀ ∈ [− 4 4/3, 0).Напомним, что кривая 0 = { = 0, > 0} не является разделяющейвнутри класса 2 в смысле введенного ранее отношения эквивалентности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
