Диссертация (786043), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Таким образом, соответствие либо двузначно на множестве полноймеры, либо имеется “плохая” особенность – точка, в которую отображается бесконечно много точек поверхности. Заметим, что в силу наличияна поверхности Π1 линии самопересечения задача взаимно однозначнойпараметризации и не может быть решена. Однако можно обеспечить параметризацию, в которой лишь каждой точке на линии самопересечения отвечала бы естественным образом пара точек на плоскости параметров.
Для этого выберем на ℳ1 вместо частный интеграл = 1 .Тогда формулы (1.1.30) дают взаимно однозначное соответствие допустимых областей на (, ℎ)-плоскости и поверхности Π1 , за одним лишьочевидным исключением – во внутреннюю точку сегмента параболы(1.4.4), то есть при ℎ > 2 /2, отображаются две точки с противоположными знаками . Далее мы рассмотрим диаграммы и ключевые множества подсистемы ℳ1 в терминах (, ℎ), но, имея в виду сформулирован81ную выше задачу классификации бифуркационных диаграмм Σ (ℓ, )и Σ (ℎ, ), мы также представим и описание (, )- и (, )-диаграммдля ℳ1 .Для нахождения топологических инвариантов, таких, как графыФоменко, нужно знать еще один показатель, а именно, индексМорса – Ботта интеграла в невырожденных критических точках ранга 1 (то есть индекс Морса ограничения на малую площадку, трансверсальную к траектории, состоящей из точек ранга 1).
Он дает информацию о том, что происходит с критическими окружностями на изоэнергетической поверхности 3ℓ,ℎ () при изменении значения дополнительного интеграла в сторону возрастания. В пространстве постоянных всехтрех интегралов мы тем самым отслеживаем, какие явления происходят, когда прямая, параллельная , протыкает соответствующую бифуркационную поверхность Π .
Вид функций (1.4.1), (1.4.3) позволяетявно провести соответствующие вычисления.В точках ℳ1 найдем пару векторов, определяющих трансверсальную площадку к критической окружности (в критической точке ранга1). Такая площадка может быть выбрана как ортогональная векторамgrad Γ, grad , grad , sgrad . Замечая, что на любой траектории (1.1.24),(1.1.25) переменная осциллирует между корнями многочлена (1.1.25),выберем на траектории точку 0 , в которой () = 0. Тогда касательнаяплоскость к трансверсальной площадке окажется натянутой на векторы2 )︀1 = 0, 1, 0, 0, 0, 0 ,2 = + , 0, −4, 2( − ), 0, 2(ℎ − − ) .2Эти векторы получены из системы уравнений для = (1 , .
. . , 6 )(︀ · grad Γ = 0,)︀2(︀ · grad = 0, · grad = 0, · sgrad = 0при условиях (2 , 3 ) = (1, 0) и (1 , 2 ) = (0, + ).В точке 0 достигается условный экстремум функции на совместном уровне 3ℓ,ℎ функций Γ, , в 6 . В частности, 0 есть критическая82точка функции с неопределенными множителями Лагранжа1 = − 2 − κ1 − κ2 Γ.Очевидно, часть этой функции, не содержащая функций Казимира , Γ,совпадает с (1.4.1), то есть = 2 .
Непосредственно вычисляется, чтоκ1 = 4, κ2 = 1.Тип условного экстремума определяется ограничением второго дифференциала функции с множителями Лагранжа на касательное пространство к многообразию ограничений [113]. Применительно к исследованию фазовой топологии гамильтоновых систем этот факт отметил ииспользовал А.А.
Ошемков [100].Ограничение 2 1 на линейную оболочку векторов 1 , 2 в силу выбора = 0 оказывается диагональной матрицей с элементами (собственными числами)11 = 4[ℎ − (2 + 2 ) + − 2 ] = 2[2 − ( − )2 ],222122 = −8(ℎ −− 3 )[ℎ −− 32 − ( + )2 ] =2222 32 3= −32(ℎ −− )[ℎ −− − ( + )2 ].2222В частности, произведение1 2 = 16(−2ℎ + 2 + 62 )[1 − (2ℎ − 2 − 22 )(2 + 2 )] == −32(2ℎ − 2 − 3)[(2ℎ + 2 − 2) − 1] =[︂]︂ [︂]︂3222= −64 − (ℎ − ) 2 − 2(ℎ + ) + 1222от не зависит и определяется расположением точки (, ℎ) относительнокривых вырождения критических точек ранга 1, заданных уравнением(1.4.2).
В силу этого, на невырожденных траекториях величины 1 , 2 ,которые будем называть показателями Морса – Ботта, в ноль не обращаются, а значит, не меняют знака.83Предложение 9. При возрастании интеграла на изоэнергетическомуровне 3ℓ,ℎ имеем следующие бифуркации в точках критической подсистемы ℳ1 на невырожденных критических окружностях:1) для эллиптических траекторий (тип “центр”) — рождение тора при 1 > 0, 2 > 0 (атом с ребром вверх), исчезновение тора при1 < 0, 2 < 0 (атом с ребром вниз);2) для одной гиперболической траектории на критическом уровне при 1 > 0, 2 < 0 — атом с “внешним” ребром (“головой”) вверх ипарой “внутренних” ребер (“ног”) вниз, при 1 < 0, 2 > 0 — атом с“внешним” ребром (“головой”) вниз и парой “внутренних” ребер (“ног”)вверх;3) для двух гиперболических траекторий на критическом уровне при совпадении знаков двух пар (1 , 2 ) — два атома , у которыхнаправление “внешнего” ребра определяется по тому же правилу (обе“головы” вверх при 1 > 0, 2 < 0, обе “головы” вниз при 1 < 0, 2 > 0);4) для двух гиперболических траекторий на критическом уровне при разных сочетаниях знаков в парах (1 , 2 ) – два атома * .Доказательство.
Для эллиптических траекторий утверждение очевидно (функция имеет локальный минимум или максимум на трансверсальной площадке).Можно показать, что для гиперболических траекторий вектор 1 направлен во внешнюю часть “восьмерки”: направление оси 2 отвечает за переход с критической поверхности к объемлющему ее тору. Такое понимание легко получить, анализируя, например, проекции интегральных многообразий на плоскость 1 2 (частично такое исследование выполнено в [97]).
Видно, что, как и в классической задаче [76, 114],разрывов проекции никогда не происходит в направлении оси 2 . Еслитеперь 1 > 0, то это означает, что на трансверсальной площадке функ84ция растет к “внешней” окружности и убывает к паре “внутренних”.Если на двух гиперболических окружностях наборы знаков в парах(1 , 2 ) различны, то, предполагая наличие двух атомов с противоположными направлениями “голов”, получим бифуркацию трех торов втри. Как отмечено в [85, 115], количество торов на регулярном уровнеможет быть равным лишь 1, 2 или 4 (для всех камер в R3 (ℓ, ℎ, ) ∖ Σ количество регулярных торов будет строго установлено ниже с применением только очевидных атомов типа ). Поэтому в данном случае мыимели бы бифуркацию четырех торов в четыре.
Однако, как мы увидимниже, таких примыкающих друг к другу камер в данной задаче нет. Если предположить, что в рассматриваемой точке имеется атом 2 , то ваналитическом решении (1.1.34) – (1.1.35) существовала бы гетероклиническая траектория, которой также здесь нет. Значит, в такой точкеимеется два атома * .Критерий существования движений в системе ℳ1 очевиден (предложение 1 работы [53]). Поскольку в (, ℎ)-плоскости нет “двойных” точек, мы легко дополним его информацией о количестве критическихокружностей на соответствующем уровне интегралов.Предложение 10. При заданных , ℎ вещественные решения (1.1.25) существуют тогда и только тогда, когда () > 0 для некоторого ∈ R.Если при этом все корни () простые (то есть на заданном интегральном уровне нет критических точек ранга 0), то количество периодических решений равно количеству промежутков неотрицательности().Замечание 7.
Напомним еще раз, что при переходе в пространствоR3 (ℓ, ℎ, ) в силу формул (1.1.30) пара точек из прообраза параболы (1.4.4)с противоположными знаками переходит в одну точку. В работе [85]этот факт отмечен как особый случай.85Замечание 8. Предложение 10 допускает очевидное обобщение. Если ()имеет кратный корень (а тогда, как показано выше, он единственный),то количество периодических решений равно количеству промежутков неотрицательности () между простыми корнями. Теперь, учитывая и предложение 5, мы получаем всю информацию о полном составе критических движений на совместном уровне общих интегралов, содержащих критическую точку ранга 0 соответствующего класса, таккак количество и расположение корней многочлена () легко устанавливается для всех классов, исходя из зависимостей ℎ(, ) и (, ), данных формулами (1.3.11), (1.3.12).Введем следующие обозначения:± () =]︀1 [︀2 − ]︀ [︀1( − ) ± ,± () = − ± ,2−2−√︀ = || = 4 + 2 ( − )2 > 0.(1.4.5)Обозначим через ℎ () значение энергии в вырожденной критическойточке 31 , заданной формулой (1.3.31).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
