Диссертация (786043), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Фиксируем точку (ℓ, ℎ), для которой 3ℓ,ℎ ̸= ∅. Множество таких точек — односвязная область на плоскости ℓℎ, ограниченная снизу кривой 1 (см. рис. 1.6), гомеоморфная замкнутой полуплоскости. Все 3ℓ,ℎ — компактны и связны, поэтому (3ℓ,ℎ ) — отрезок, стягивающийся в точку над 1 . В частности, — приведенное расслоениеотрезков над замкнутой полуплоскостью, гомеоморфное (но не диффеоморфное) замкнутому полупространству.109Фиксируем ℎ, рассмотрим компактное инвариантное подмножество4ℎ = −1 (ℎ) в 5 и бифуркационную диаграмму Σ (ℎ) отображения×|4ℎ : 4ℎ → R2 .Очевидно, что Σ (ℎ) есть образ при отображении момента пересечений4ℎ с критическими подсистемами ℳ .
Рассмотрим замкнутую область,ограниченную образом полосы между 1 и ℓ0 плоскости (, ℎ) на поверхности Π1 (то есть образом областей 1 , 12 ) и образом всей подсистемы ℳ2на Π2 (то есть образом областей 1 , 2 ). Образ подсистемы ℳ3 заведомоимеет точки внутри этой области (например, при ℓ = 0). В пространствеR3 (ℓ, ℎ, ) образ ℳ3 связен, поэтому если бы существовали точки в (ℳ3 )за пределами указанной области, то имелось бы трансверсальное пересечение образа (ℳ3 ∩ 4ℎ ) и замыкания объединения кривых 1 ∪ 12 (легко понять просто из геометрии Π1 , Π3 , что общая часть, служащая кривой касания, за пределы этой области поверхность Π3 не выводит).
Такое пересечение происходит по части кривой 2 на границе между 1 , 12 ,однако, по доказанному, на площадке, трансверсальной к ℳ1 в прообразе соответствующих точек диаграммы системы ℳ1 , все критическиеточки ранга 0 и 1 имеют эллиптический тип, поэтому выход за пределыуказанной ограниченной области невозможен.Различные типы оболочки сечений множества Σ ⊂ R3 (ℓ, ℎ, ) плоскостямипостояннойкоординатыℎприведенынарис.1.21:() −1 < ℎ < 2 /2; () 2 /2 < ℎ < ℎ (); () ℎ > ℎ () (без сечений поверхности Π3 , целиком лежащей внутри). При ℎ = −1 сечение допустимой области стягивается в точку.
В случае () пунктиром показан образобласти 2 , для точек которой, как показано выше, не существует вещественных движений. Таким образом, допустимая область имеет форму“носа ладьи”, причем вначале “палуба” гладкая, а затем в середине возникает “ребро”.110Перейдем к классификации областей в образе подсистемы ℳ3 .
Полное описание допустимой области на плоскостях констант интегралов, и , дано в работах [53, 90]. Следующая теорема соответствуетпредложению 5 работы [53].Теорема 13. (, )-диаграмма критической системы ℳ3 состоит из следующих множеств: = + (), ℓ = ±+ (), ∈ (−∞, 0];√︂1Δ0 : ℓ = ±(1 − 22 ), 0 < 6 2 ;2 ⎧2⎪ℓ ∈ R, 6 *⎨1√2/3Δ3 : = 2/3 ,.4 + 4/32−⎪2, > *⎩ |ℓ| > √ √2( 4 + 4/3 − 2/3 )1/22 :В допустимую область 3 не входят следующие компоненты дополнения к диаграмме, в которых не существует критических движений:при всех — область, прилегающая к оси = 0 и ограниченная ветвями кривых Δ0 , 2 ; при > * — область, ограниченная кривой 2 междудвумя ее точками пересечения с осью ℓ = 0 при ̸= 0.Перестройки типов диаграмм в области > 0 происходят при сле√дующих значениях параметра: 0, * , 1, * , 2.Неравенства для , , ℓ, определяющие допустимую область для точек ключевого множества, мгновенно следуют из критерия, данного впредложении 12.Для критических точек подсистем ℳ2,3 отдельно сформулируем утверждение о существовании вырожденных периодических решений, аналогичное предложению 11.Предложение 16.
В допустимую область на бифуркационной диаграмме Σ отображения момента входит следующий сегмент ребра возвра-111та Π3 – образ вырожденных критических движений ранга 1:⎧√︂⎨ [ℎ* , +∞), при 6 *ℎ − ℎ*Δ3 : ℓ = ±, ℎ∈,⎩ [ℎ** , +∞), при > *2где2/3ℎ =(3 − 4/3 ),2]︁1 [︁4/3 3/22/34/3**(4 + ) − (6 + ) =ℎ =4)︁2 (︁ √︀)︁1 (︁√︀2/32/34/34/3=4+ −2 4+ +.8или, в терминах констант , ℓ⎧⎪ 6 *⎨ ℓ ∈ R,1√Δ3 : = 1/3 ,.22/3 − 4 + 4/3⎪2, > *⎩ |ℓ| > √ √2( 4 + 4/3 − 2/3 )1/2*(1.4.31)Утверждение в координатах (, ℓ) — часть теоремы 13. Пересчет наплоскость (ℓ, ℎ) выполнен по формулам (1.2.8).
Из них следует, что на Π3ℎ = 2ℓ2 + ℎ0 (),ℎ0 () =11212−+ 22 2 .22(1.4.32)ha9D0d3a5a61a9*a4a4d2D1a3a2ℓ0pa3a6 D1a7D0a2a5a1d1-1a8d2*(a)d3 *ha9a4d2a51ad 2 4 a3D0D1 a3a9D0a2a6ℓ0a11 a10a1pa5d1-1d3 *d2a9D1D01a2a6pd1D1*(b)ha4a2a6a4 a3ha9a3ℓ0D0 a11d21a1a6*a10a2D1ℓ0 a1-1(c)Рис. 1.11. (, )-диаграммы системы ℳ1 и увеличенные фрагменты.113d3*hha4D1a9 d 2a11a10a9a3D0ℓ0D0a2a4 a3a1d2D1 a10a11ℓ01p d1a2a6*-1d3 *ha41a3D0a2a11a12D0-1a3a2ℓ0a1a1a12d2*d1a10D1a11ℓ01pa4a9D1a9 d 2a12a1(d)ha2a1(e)h*d3a5d2a6*a3a2D1d3D0a5ℓ0a6D11pa1-1d1a8 a7a3a2*(f )Рис.
1.12. (, )-диаграммы системы ℳ1 и увеличенные фрагменты.114D0hℓ0d32a4a3 D12a2d1*d31a9a9a5a1a6d25D11D12a3*sd22*d23a7d24D13a8D03Da2 02 D11aD01a4a5d216(a) 0<l<2-3/4h* d32d31a3D02a4d1ℓ0a1D12a2D12D02 a3a2d25D11*a4dʹ28*sD04a10dʹ27a9d26 a11D11D01d21 a5a6-3/4(b) 2 <l<1ha3D02d31*d32d1D12 a4ℓ0*a9a2a1sa3 D a412D02 d25a9a2*D04dʹ28 D14a10dʹ27D113/4(c) 1<l<(4/3)a11d26a6Рис. 1.13. (, )-диаграммы системы ℳ1 и увеличенные фрагменты.115hD02d1a4D12a3ℓ0a1d31 * d32a3a4a3 d25a2*a2D04ℓ0a1dʹ28sa11D14a10*dʹʹ283/4(d) (4/3) <l<2a1d26ℓ0a3 a 4a2ℓ0a1a2d25dʹ28 aD14a9D0411a10dʹʹ28s*a12dʹʹ27(e ) l>2h1/2d31a3a2D02ℓ0d1a6d32D12D02*12d31*a3d1adʹ27dʹʹ27 a2D111/2h*a9*a5a6D11a1a3s*a2d3=d2d22 a7a8D03D13D02a5D11d21a6(f ) l=0Рис.
1.14. (, )-диаграммы системы ℳ1 и увеличенные фрагменты (продолжение).116D1hD0d3Cd2B1D2B5B3B4D1D0ℓ0pAd1B2d2D3D1(a)d3hd2ChB2D1D1D0D1pD0ℓ0d2D1B3B1d1D2ℓ0A(b)Рис. 1.15. Особые точки (, )-диаграммы системы ℳ1 .117B7B4B6B3D0hd1*Da9 1D3a9a5a6D1a1Ca4a3a2ℓ0*d3B1D2D1a3sD0a5B2a6a2AB5B4 d 2a7 a8B3*a4(a)h*d3D0d1D1Ca4ℓ0 a3*a4a2a2a1*sa1ℓ0a11d2B7a12A(b)B3B2a10D1B4B6 a 2a6B1D2Рис. 1.16. Особые точки (, )-диаграммы системы ℳ1 .118a3a9D0D1*d31 C d32a3 D a4 d2512a2D01 a9ℓ*ℓ0D4d1a1AB1D2 D02a9D12 d25 D01a7da8 24B4d23B5d22 D13 D03B3D1sa5a6a4a3a3B2D02d21a2 D11 a6a5(a) 0<l<2-3/4d* 32Cd31ℓ*a3ℓ0a2d1a1AD12 a4d25a5a9a6D02a4B2a227a2B3d25a9dʹ28 D14 D04a10 a11d26dʹsD2 D02a3 D12B4D11B5 a5a6D01d21(b) 2-3/4<l<1ℓ*d1Aℓ0a1a3*d31 Cd32a4D12d25a9a3ℓD12 a4d25D02a10a2B2D14 D04 adʹ289B3dʹ27d26aB411D1D11a6a1sD4ℓ0D2B1*3/4(c) 1<l<(4/3)Рис. 1.17.
(, )-диаграммы подсистемы ℳ1 : детализация.119sℓ a3D4D02a2 a10*d1 a1B3Ad31 C *a3 a d324d25B2D a9B1a1a6ℓ0B4204a11D14 a11d26a12 ℓ a3 a2 a10dʹʹ27 dʹʹ28 D02 dʹ28 dʹ27a1a D11a6a1D1 ssD12*3/4(d) (4/3) <l<2a3*B3d31*ℓd1ℓa1d32D12 a4d25a9a11/2a2dʹʹ27 dʹʹ28a1sAa3a4d25B2dʹ28D04a10a11 a9D14 D1 sa12B1D02D12*(e ) l>21/2d31ℓd31 *a3**B30d1a3d21a1d 23a7d22 D13a5a6D11sD02a8D03a5a2D110d 24B2D02*C=B4a6d21(f) l=0Рис. 1.18.
(, )-диаграммы подсистемы ℳ1 : детализация (продолжение).120ℓD023d2k0D3s1Рис. 1.19. Особый случай.d32ℓb2ℓb2d31d311d1Cd1*b1Ab1s*s-1b2b2(a) l>0(b) l=0Рис. 1.20. (, )-диаграмма системы ℳ2 с полной детализацией.121d1*a1b1kℓ(a)d1*a1ℓ0a2D0a9 a3kd2a4b1D1ℓd1(b)*a1ℓ0b1k a2 D0a2a3ℓb2a9d2b1d31a4d32(c)Рис. 1.21. Сечения допустимой области плоскостями ℎ = const.122Рис. 1.22.
Носовая часть допустимой области.123c1ℓ*c2D31D4D31D01d25B5D01c6D02D03D1B Dc4 c71 5 c6*sD33d24d23B3B2 c7d21D02D32 c8c9d22B4D33c6-3/4(a) 0<l<2c1ℓ*d25c2D31B2*D4B1c7B3dʹ28D02c4D31 c2c1D33 D01c6D5 D1 sc4B4dʹ27c5c3 DD04 34B5d21c7c2D01D33 c6-3/4(b) 2 <l<1d25ℓ*D4D02c4B2c1dʹ28D04D1D31 c2B3 dʹ27d26D34c3c5D5B4B1 s3/4(c ) 1<l<(4/3)Рис. 1.23. (, )-диаграммы подсистемы ℳ3 : детализация.124d26ℓ*D4 d25c1D02B2dʹʹ28D04dʹ28c3D1B6c43/4B3dʹʹ27 B7*(d) (4/3) <l<2B4c2D31dʹ27 d26 sc5B11/2ℓ*d25D02 D4 B2dʹʹ27dʹʹ28*(e) l>2B1s1/2ℓD03 c91D02dc4 21c2B3D04dʹ28 B6c3c4D1*D31c1d22B2c7s-1(f ) l=0Рис.
1.24. (, )-диаграммы подсистемы ℳ3 : детализация (продолжение).125Нетрудно видеть, что наименьшее значение ℎ0 () достигается при = 1/(21/3 ), то есть в точке пересечения кривой минимума ℎ на ℳ3 собразом ребра возврата Δ3 , и это значение естьmin ℎ0 () = ℎ* .>0Тогда при 6 * и ℓ ∈ R имеем ℎ ∈ [ℎ* , +∞). Граничная точка – новая особая точка на ключевых множествах, имеющая значение при рассмотрении -атласов, так как она является точкой экстремума ℎ-координатына образе Δ3 семейства вырожденных точек ранга 1:5 : ℓ = 0,2 =1,21/3ℎ=2/3(3 − 4/3 ),2 ∈ [0, * ].(1.4.33)В случае же > * , вычисляя значение (1.4.32) на Δ3 при наименьшемдопустимом значении |ℓ| из (1.4.31), приходим к величине ℎ** .
Эти значения отвечают ранее полученной особой точке 3 в составе ключевыхмножеств.На рисунках 1.23 и 1.24 представлены (, )-диаграммы критической подсистемы ℳ3 : () 0 < < * ; () * < < 1; () 1 < < * ;√√() * < < 2; () > 2; ( ) предельный случай = 0. Здесь уместно напомнить обозначения (1.3.40). Пунктиром показаны кривые вырождения Δ0 , Δ3 за исключением той части кривой Δ0 , которая является внешней границей допустимой области 3 — она показана сплошнойлинией.
Как и ранее, звездочкой отмечены области (здесь это 1 , 2 ), вкоторых критические движения отсутствуют. На диаграммах нанесенадетализация ключевых множеств в соответствии с данной выше классификацией критических точек ранга 0, а также очевидным разбиениемна гладкие участки кривых Δ0 (разбиение уже получено ранее в подсистеме ℳ1 ) и Δ3 . Напомним, что это разбиение порождено общими точками этих кривых с образом точек ранга 0 и точками взаимного пересечения.
Соответствующая аналитика будет предъявлена в следующемразделе.126Теорема 13 в утверждениях относительно кривых в составе диаграммы является следствием определения диаграммы. Перестройки диаграммы по вычисляются непосредственно (детали см. в [53]) или же по общему свойству: это разделяющие значения для сечений = const семейства разделяющих кривых для точек ранга 0 в плоскости (, ) и множества экстремумов ℓ на образах вырожденных точек ранга 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
