Диссертация (786043), страница 20
Текст из файла (страница 20)
При увеличении после прохождения этим параметром особого значения 2−3/4 шестая камера исчезает, а появляется седьмая.Теорема 19. Интегральные многообразия в прообразах точек камер пространства интегральных постоянных таковы: T2 для камеры I; 2T2для камер II − V; 4T2 для камер VI − VII.Для изучения тонкой топологии системы одним из основных объектов исследования, наряду с камерами и количеством торов в них, являются так называемые семейства торов Лиувилля. Обозначим для крат159VAAa9VIVA2Ac1c4AII2III2AA2c6IIVa9Aa4AAa2IA1a1AA1b11V2AAa9VIVa9a1b11'IVAA222IIAIc62c3 III2Aa8 2AVIIVI42A4a2AIA12b11Aa12'b1Aa1Рис.
1.37. Количество торов в камерах.кости через ̃︀ расширенное фазовое пространство:̃︀ = Λ( 5 ) =⋃︁(,ℓ)ℓ4 ×{(, ℓ)} =⋃︁ 2 ()×R3 ()×{} = 2 ()×R3 ()×R().Все интегральные многообразия ℓ,ℎ, () вкладываются в ̃︀ какℓ,ℎ, ()×{}. Естественно возникает следующее определение.Определение 11. Исключим из ̃︀ все связные компоненты критическихуровней, содержащие критические точки отображения момента.
Связная компонента оставшегося множества называется семейством торов Лиувилля.160Если в системе нет минимальных (максимальных) регулярных торов (а в рассматриваемой задаче их нет, что видно из классификациидиаграмм, оснащенных атомами), то пересечение прообраза точки любой камеры с любым семейством может состоять не более чем из одноготора. В некоторых задачах говорят о нескольких торах одного семействав прообразе точек камеры [27] или, что то же самое, о семействах, состоящих из нескольких торов [116].
В этом случае определение семействапринимается таким: в одно семейство относятся торы, которые испытывают одинаковые бифуркации на границах камеры [116]. Подобныесемейства встречаются в классическом случае Ковалевской = 0 [27]и в частном случае ℓ = 0 [116], однако, как легко видеть, в общем случае ℓ ̸= 0 таких семейств просто нет. Действительно, в камерах II, IIIимеется два тора и стенка с одним входом, на которой, следовательно,подвергается бифуркации только один тор. Между камерами IV, V имеется стенка, содержащая один вход и один выход, поэтому два тора этихкамер испытывают заведомо различные бифуркации.
У камер VI, VII,точкам которых отвечают четыре тора, не только в расширенном пространстве, но и при любых фиксированных , ℓ, при которых эти камерысуществуют, имеются одна либо две стенки с двумя входами из соседнихкамер, причем, если стенок две, то на них испытывают бифуркации разные пары торов. Поэтому и здесь нет сразу четырех или даже двух торов,испытывающих одинаковые бифуркации. Еще раз подчеркнем, что прилюбых фиксированных , ℓ, таких что ℓ ̸= 0, не существует камер, награницах которых все торы этих камер испытывали бы одинаковые бифуркации.Установим количество семейств и их распределение по камерам.Отметим одно свойство случая Ковалевской – Яхья: в прообразе точкибифуркационной диаграммы регулярные торы не могут присутствоватьодновременно с гиперболическими атомами.
Иначе говоря, если ребру161диаграммы отвечают гиперболические атомы, то в бифуркациях участвуют все торы прилегающих камер3 . Поэтому для того, чтобы в двух камерах присутствовало одно и то же семейство, необходимо (но, конечно, не достаточно), чтобы из одной из них существовал путь в другую,состоящий из входов или выходов. Если в некоторой камере семействотолько одно, то наличие из нее выхода в любую камеру является и достаточным условием того, что данное семейство сохранится во второйкамере.
Рассмотрим диаграммы для областей 1, 1′ , 3 и 3′ (рис. 1.38). Семейства нумеруем арабскими цифрами и, как множества, помещаем вфигурные скобки (в отличие от номеров областей на (, ℓ)-плоскости).Обозначим через {1} семейство, начинающееся в камере I. Из диаграммы для области 1 видно, что из камеры I имеется ровно по одному входув камеры II, III. Поэтому семейство {1} продолжает жить и в этих камерах. Могут ли торы, рождающиеся на входах в эти камеры, принадлежать одному семейству? На диаграммах c нанесенными атомами только типа прослеживаем, что между камерами II, III не существует путитолько с атомами , не заходящего в камеру I (при таком заходе новыесемейства умирают). Поэтому вторые семейства в этих камерах различны.
Обозначим их через {2} и {3}. Из диаграммы для области 1′ такжевытекает, что семейство {1} продолжает жить и в камерах IV, V. Могутли торы, рождающиеся на входах в эти камеры, принадлежать одномусемейству? Очевидно, нет, поскольку общая стенка имеет вход и выход,поэтому при ее пересечении сохраняется лишь семейство {1}, а другогопути только с атомами между камерами IV, V, не заходящего в камеру I, не существует.
Аналогично устанавливаем, что семейства, рождающиеся на общей стенке камер IV, V, не могут совпадать ни с одним изуже введенных. Поэтому обозначим эти новые семейства через {4}, {5}.Из диаграммы для области 3 видно, что в камеру VI с четырьмя торами3Это свойство не имеет места, например, в случае Горячева – Чаплыгина.162имеется по два входа из камер II, IV. Поэтому там сохранятся семейства{1}, {2}, {4}, а родится лишь одно новое семейство, которое обозначим{6}. Аналогично, из диаграммы для области 3′ видно, что в камеру VII счетырьмя торами имеется по два входа из камер III, V.
Поэтому там сохранятся семейства {1}, {3}, {5}, а родится лишь одно новое семейство,которое обозначим {7}. Номера семейств, присутствующих одновременно в камере, соединяем знаком “плюс”.VAAIVVD01IVD02d21I{1+4}AA{1+5}IIAd25A{1+2}A{1+3}{1}IIIA{1}D33AAAD31D111ID12d11'd1{1+5}AAVIV{1+4}D01d24D12{1+5}D04{1+4}2A{1+2}AVId23Ad1VIIA2A{1+3}{1+2}A{1+3}d262A{1+4}III{1+3+5+7}{1+2+4+6}AIVD032AIIIV3AAVIIID33d22D11{1}{1+5}IIIAdʹ27AA3'D02dʹ28VAID31A{1}d1Рис. 1.38. Семейства торов в камерах.Теорема 20.
В случае Ковалевской – Яхья существует ровно семьсемейств регулярных торов и их распределение по камерам указано в163таблице 1.5.1.Таблица 1.5.1КамераСемействаI{1}II{1 + 2}III{1 + 3}IV{1 + 4}V{1 + 5}VI{1 + 2 + 4 + 6}VII{1 + 3 + 5 + 7}1.6. Топологические инварианты1.6.1. Диаграммы Смейла – ФоменкоДля того чтобы классифицировать графы Фоменко на 3ℓ,ℎ (), нужно на плоскость с диаграммой Смейла наложить проекцию образа множества вырожденных критических точек ранга 1, так как именно переход через такие точки определяет перестройки в графах, не связанные с изменением топологии 3ℓ,ℎ ().
Теоретически также возможно явление расщепления некоторых типов атомов без возникновения вырожденных точек (см. [26]), но, как показано выше путем перечисления всехвозникающих в этой задаче атомов, здесь мы с этим явлением не встречаемся. Выпишем уравнения образа множества вырожденных критических точек ранга 1 с учетом условий существования движений нужноготипа в соответствии с предложениями 11 и 16.Напомним обозначения (1.3.40) и еще раз соберем вместе информацию по образам вырожденных точек ранга 1. В состав кривых, классифицирующих графы Фоменко, входят следующие (см. теорему 13 ипредложение 16):1641) кривая касания поверхностей Π1 , Π3 полностью⎧√︂⎪⎪⎨ℓ=±(1 − 22 )12Δ0 :, 0 < 6 2;22⎪21 − + 2⎪⎩ℎ=2(1.6.1)2) ребро возврата поверхности Π1 между его пересечениями с кривой 3 (то есть между точками – образами класса 31 вырожденных точекранга 0, переходящими в точки 3 на ключевых множествах)Δ1 :2 3/22√(ℎ − ) ,ℓ=±23 326 ℎ 6 ℎ ()2(1.6.2)где зависимость ℎ () находится согласно (1.4.6);3) ребро возврата поверхности Π3 в следующих пределах⎧√︂⎨ [ℎ* , +∞), при 6 *ℎ − ℎ*Δ3 : ℓ = ±,, ℎ∈⎩ [ℎ** , +∞), при > *2(1.6.3)где*ℎℎ**2/3(3 − 4/3 ),=2]︁1 [︁4/3 3/22/34/3(4 + ) − (6 + ) ==4[︁ √︀]︁1 √︀2/32/3 24/34/3= ( 4 + − ) ( 4 + − ) + 12 .16′Определение 12.
Назовем диаграммой Смейла – Фоменко объедине-ние с образом множества вырожденных точек ранга 1 под действием отображения ×.Такие диаграммы впервые строил А.А. Ошемков [100] для классических задач динамики твердого тела.Поскольку множество точек пересечения кривых Δ с основной диаграммой состоит из вырожденных точек ранга 0, то его трансформациипо уже учтены. Для классификации расширенных диаграмм нужнодобавить значения , при которых перестраивается множество165Δ0 ∪ Δ1 ∪ Δ3 .
Рассмотрим эволюцию самопересечений и двойных пересечений этих кривых (тройных пересечений нет, Δ0 ∩ Δ1 ∩ Δ3 = ∅). Кривые Δ1 и Δ3 определяются однозначными зависимостями ℎ(ℓ) и поэтомусамопересечений не имеют. Кривая Δ0 имеет самопересечение, отвечающее значениям1±± =√1 − 84,42ℎ=1 − 4,22ℓ = ±√ ,2(1.6.4)где ± , при условии их существования 6 * = 1/23/4 , всегда лежат винтервале (0, 1/22 ).Условие пересечения Δ0 ∩ Δ3 представим в виде 2(ℎ − ℎ* − 2ℓ2 ) = 0,где ℎ, ℓ — значения (1.6.1). В подстановке = 2/3 получим уравнение( + 1)(2 − 1)2 = 0, имеющее единственный положительный корень = 1/2, причем этот корень кратный, поэтому имеем точку касания скоординатами1 √︀ −2/3ℓ=±− 2/3 ,2]︁1 [︁ −2/32/32+ 2 − ,ℎ=2(1.6.5)существующую при 6 1.
Так как 1 < * , то нужно еще убедиться, что внайденной точке ℎ > ℎ* . При 6 1 для значения ℎ из (1.6.5) имеем1 − 4/3ℎ−ℎ => 0.22/3*Непосредственно проверяется, что точки (1.6.5) – это образ вырожденных точек ранга 0, отвечающих кривой 21 [98].Условие23 [4(ℎ −2 32)пересеченияΔ0∩Δ1представимввиде− 27ℓ2 ] = 0, где ℎ, ℓ — значения (1.6.1). Отсюда имеем(82 − 22 + 1)(2 − 22 + 1)2 = 0.Первый сомножитель имеет корни]︁1 [︁ 2 √︀ 4= ± −8 ,8166(1.6.6)но тогда]︁31 [︁ 2 √︀ 4 =− ± − 8 < 0,128то есть эти решения — посторонние. Второй сомножитель в (1.6.6) отве2чает за точку касания и дает положительный корень=√︀4 + 1 − 2 ,для которого точки3 √︀ 4ℎ= + 1 − 2 ,2√︂ℓ=±1 √︀ 4( + 1 − 2 )32существуют при всех и являются образом вырожденных точек ранга 0,отвечающих кривой 22 [98].Рассмотрим пересечения Δ1 ∩ Δ3 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
