Диссертация (786043), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Система (1.6.2), (1.6.3) без учетаограничений имеет три решения)︁1 (︁ 2/3222ℎ=3 + , ℓ = ;2⎧ 2 (︁)︁√︀12/324/3⎨ℎ=+ 2 + 3 3(2 − )4 −3(︁)︁ ;√︀⎩ ℓ2 = 1 −92/3 + 42 + 3 3(2 − 4/3 )8⎧(︁)︁√︀⎨ ℎ = 1 −32/3 + 22 − 3 3(2 − 4/3 )4(︁)︁ .√︀⎩ ℓ2 = 1 −92/3 + 42 − 3 3(2 − 4/3 )8(1.6.7)(1.6.8)(1.6.9)Пара точек (1.6.7) существует всегда. Очевидно, в этих точках[︁]︁√︀1*2**4/32/34/3ℎ − ℎ = > 0, ℎ − ℎ = (4 + ) 3 − 4 + .4Последняя разность должна быть положительна при > * , но она отрицательна лишь при < 1/23/4 = * < * , поэтому эти точки удовлетворяют всем ограничения. Интересно отметить, что эти точки лежат на техже уровнях ℓ, что и точки самопересечения кривой Δ0 в соответствии с(1.6.4) (если последние существуют).В точках (1.6.9) при условии вещественности < 24/3 значение ℓ2оказывается отрицательным, поэтому такое решение — постороннее.167Рассмотрим решение (1.6.8), вещественное при всех < 24/3 .
Проверим выполнение условий по ℎ на кривой Δ1 . Исключая из (1.4.6) иполагая в (1.6.8) ℎ = ℎ , придем к уравнению4/31 + 488/3+ 12√︁− 8 − 6 3(2 − 4/3 )(2/3 + 42 ) = 0.4(1.6.10)Подстановка = 4/3 сводит его к уравнению(2 − 1)3 (2 − 1 − 3 · 21/3 + 3 · 22/3 )×[︃(︂)︂2(︂)︂]︃33127× 2 + 2/3 − 1/3 − 1 + 2/3 1 + 2/3 + 22/3= 0.2222Отсюда видно, что (1.6.10) имеет ровно два положительных решения:трехкратный корень = * и простой корень(︂3 =9916145−−821/3 4 · 22/3)︂1/4≈ 0.0287,1 < 3 < * .(1.6.11)Условие ℎ < ℎ выполнено при > 3 .
Корень = * на это неравенство не влияет, его появление связано с особой точкой (1.3.30), определенной теми же уравнениями (1.4.6), но с положительным . Проверимвыполнение в точках (1.6.8) условий по ℎ на кривой Δ3 . Имеем[︂]︂√︁1ℎ − ℎ* =2 − 92/3 + 3 3(2 − 4/3 ) .4Эта величина неотрицательна при < (3/2)3/4 ≈ 1.3554, и тем более этоимеет место при < * ≈ 1.2408. Пусть > * . Тогда должна быть неотрицательна величина]︂[︂√︁1**22/34/33/2ℎ−ℎ =3 + 3 + 3 3(2 − 4/3 ) − (4 + ).4√Подстановка = (2/3 + 4 + 4/3 )2 сводит условие ℎ > ℎ** к неравенству( − 8)3 ( 3 − 12 2 − 32) 6 0,168решением которого является промежуток ∈ [8, 2(2 + 22/3 + 24/3 )], тогда ∈ [* , 4 ], где обозначено]︂1/414 = (25 − 27 · 21/3 + 9 · 22/3 )≈ 1.2740.2[︂(1.6.12)Итак, пара точек пересечения кривых Δ1 и Δ3 , определяемых уравнениями (1.6.8), существует при 3 < 6 4 .В результате получаем следующее утверждение.Теорема 21.
В случае Ковалевской – Яхья имеется десять структурно′(). Разделяющими значеустойчивых диаграмм Смейла–Фоменко ниями параметра служат0,1 ,3 ,* ,1,*,√︁√5 = 22 − 1,4 ,2 ,√2,(1.6.13)где 1 , 2 , 3 , 4 определены равенствами (1.3.44), (1.3.45), (1.6.11),(1.6.12).В расширенном пространстве R3 (ℓ, ℎ, ) расширенная диаграмма′Λ()=⋃︁′(()×{}порождает 29 камер.
При этом камеры Смейла C, D, F, G не испытывают дополнительного разбиения, а из камер Смейла A, B, E, H возникают камеры Смейла – Фоменко A1 − A13 , B1 − B3 , E1 − E6 и H1 − H3 .На рис. 1.39 показана диаграмма Смейла – Фоменко при малых (0 < < 1 ). Допущены в целом небольшие гладкие искажения общейкартины. Напомним, что, как это видно из диаграмм третьей критической подсистемы (см., например, рис. 1.23), множества Δ3 и 2 имеютдве общих точки в области ℓ > 0 при малых – это точки 3 , 5 . В диаграмме Смейла – Фоменко кривая Δ3 проходит через точку возврата 2 .Это образ особой точки 3 и он имеет конечный предел при → 0. Образ169hA9E4A8E5D0d2E3d3B1A7E2B3E1A1A5 CDA3A6A4E2B2D1A2B3A7E3DCA5D3B1B2A6d1A1A4ℓРис.
1.39. Диаграмма Смейла–Фоменко при < 1 .же второй точки 5 имеет, согласно (1.4.20), ℎ-координату, стремящуюся к ∞. Поэтому значительное искажение сделано на кривой Δ3 прибольших ℎ с тем, чтобы показать “далекую” общую точку Δ3 с 2 (точкукасания) и границу между камерами A8 и A9 .Далее на рис. 1.40 и 1.41 показаны изменения, связанные с переходами через = 1 (исчезают камеры B3 , D) и через = 3 (исчезаеткамера B2 ). Новых камер здесь не появляется.E2B3A7E3B1B2A6A4(a) l<l1A8E2A4E3CA5B2B1A6B2A1A1A4(b) l=l1Рис.
1.40. Переход через 1 .170A8A7B1CA5A6A1A7E3DCA5E2(c) l>l1E2A8A7E2E3E3CA5B1A6E2A7A7E3A8CA5CA5A6A8A6B1B1B2A4A4A1A4A1(a) l<l3A1(b) l=l3(c) l>l3Рис. 1.41. Переход через 3 .A9E5A9 B 1A8B1E4E1 E2A3A4A8A10A1E3A4A1A2(a) l<l*E2E1 A3A2A7CA6A8A5(a) l<l*A1E4E5(c) l>l*A9E5E4E1A8E5 A11A10E6A3FA1A2(b) l=l*Рис. 1.42. Переход через * .171A2 A13A12(c) l>l*A1E6D0E5ℓE6d2E1A3D3E5E6A13A2d2E5A13A2A13A2D0D0hD3(a) l<1(b) l=1d2D3(c) l>1Рис. 1.43. Переход через = 1.E5E6A11FA13A12 A10A2 A1*E6A11A13FA12GA10H1A2 A1*(b) l <l<l4(a) 1<l<lE6 A11H3 G F A10A12H1 H2A A1E6H3A10H1A13GFA12 A10H2H1A2 A1E6H2A2A11(c) l4<l<l5A11GE6A11H3H2A1A11/2(f ) l>2A102(d) l5<l<l2(e) l2<l<2Рис. 1.44.
Перестройки при больших .1721/2Значительные изменения в диаграмме Смейла – Фоменко (как и вовсех ранее рассмотренных разделяющих множествах), а также в составекамер происходят при переходе через значение = * . При этом значении стягиваются в точку (и затем исчезают) петля, окружающая камеруE2 , камера E3 , ласточкин хвост кривой 2 вместе с камерами A5 , A6 , A7 , C,отрезки границ камеры A4 . При > * снова появляется хвост на кривой2 , но уже с другими новыми камерами в его окрестности.
Это камерыA10 , A11 , A12 , A13 , E6 , F. Переход показан на рис. 1.42.Переход через = 1 достаточно прост – общая точка касания 2 , Δ0 , Δ3попадает на ось симметрии ℓ = 0 и затем исчезает. При этом исчезаюткамеры A3 , E1 . Переход показан на рис. 1.43.Все дальнейшие перестройки диаграмм Смейла – Фоменко связаныс точками на оси ℓ = 0. Область, содержащая все такие перестройки, исоответствующие камеры показаны на рис.
1.44.При переходе через * рождаются камеры G, H1 , при переходе через4 появляется камера H2 . Переход через 5 сопровождается исчезновением камеры A13 и появлением H3 . При переходе через 2 исчезает камера√F, а при переходе через последнее разделяющее значение 2 исчезаюткамеры G, H1 , A2 . Ниже информация по времени существования камерсобрана в таблицу (см. табл. 1.6.1).1.6.2. Графы ФоменкоДля каждой камеры в пространстве R3 (ℓ, ℎ, ), вырезанной диаграммой Смейла – Фоменко, определен грубый топологический инвариант —граф Фоменко или молекула ℓ,ℎ (), то есть граф, полученный стягиванием в точку каждой связной компоненты интегрального многообразияс указанием для каждого критического уровня дополнительного интеграла типа и, при необходимости, ориентации соответствующего ато-173ма.
Два графа Фоменко считаются совпадающими (индентичными), если существует гомеоморфизм графов, продолжающийся на атомы (подробности см. в [26]).Все возникающие в этой задаче графы Фоменко на гладких изоэнергетических уровнях 3ℓ,ℎ , не содержащих критических точек ранга 0 ивырожденных критических точек ранга 1, описаны в работе [54] и представлены на рис. 1.45. Здесь в группы собраны графы, формально идентичные, но в рамках данной системы они не могут быть переведены одинв другой. Группы 1–6 соответствуют типам графов 1 − 6 , найденнымв работе [85].
Группы 7–9 являются новыми. В группах 7, 8 атомы несоединены “голова в голову”, как в группе 3 и в типе 3 [85], а в группе 9, в отличие от графа 7 [85], ребро из атома 2 идет в “ногу”, а не в“голову” атома , что порождает иное слоение Лиувилля.Естественно, что имеются совпадающие графы Фоменко даже дляразличных типов изоэнергетических поверхностей. Для того, чтобы различать такие графы, необходимо применять тонкую классификацию[26]. Собирая информацию по всем возникающим камерам в табл.
1.6.1,видим, что для большинства графов метки могут быть получены непосредственно из аналогов для случаев = 0 или ℓ = 0. Отметим, что вработе [54] в аналогичной таблице допущена неточность – время жизни камеры A2 указано неограниченным, хотя ее и соответствующего ейграфа не существует при 2 > 2.174A2 A10A1B1A4A8AAABBH2AA3AAAAA12BB3BAABAAAAAAA12E2E13A465AAC2B45A*A*A*A*AAAA78A5 A7 E 3AB6BBBAAA9A6AABABAAAAABBBBBBAA1011AAB2A AA16A17A18AABA9AAC2AABBBAAA20Рис. 1.45. Графы Фоменко175E5AA191514BAAAABBAA8AAE4ABBBAAA9H1ABBBB1312AAABAAAABABBAABAAB3BBBG H3DAA12A7AAAAACA13 E 6A11 F2122Таблица 1.6.1Группа графаВремя жизниВыход наМеченая(номер)по = 0/ℓ = 0молекулаA11(1)0 6 < +∞Да/ДаA22(2)A33(6)A4Камера0<<√2 [27, Табл.
3],[116, Табл. 8]Нет/Да [116, Табл. 8] [27, Табл. 3],06<1Да/Да2(3)0 6 < *Да/Нет [27, Табл. 3]A56(9)0 6 < *Да/Нет [27, Табл. 3]A67(16)0 < < *Нет/НетA76(9)0 < < *Нет/НетA82(3)0 < < +∞Нет/НетA98(20)0 < < +∞Нет/НетA102(2) > *Нет/НетA116(10) > *Нет/НетA127(17)* < < 2Нет/НетA136(11)* < < 5Нет/Да [116, Табл. 8]B12(4)0 6 < +∞Да/Нет [27, Табл. 3]B27(18)0 < < 3Нет/Нет176[116, Табл. 8]Таблица 1.6.1 (продолжение)Группа графаВремя жизниВыход наМеченая(номер)по = 0/ℓ = 0молекулаB36(15)0 6 < 1Да/Нет [27, Табл. 3]C6(12)0 < < *Нет/НетD6(13)0 6 < 1Да/НетE15(8)06<1Да/ДаE24(7)0 6 < *Да/Нет [27, Табл. 3]E36(9)0 6 < *Да/Нет [27, Табл. 3]E48(21)0 < < +∞Нет/НетE59(22)0 < < +∞Нет/Да [116, Табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
