Диссертация (786043), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Это одномерные объекты. Точки, служащие образами особых траекторий , обозначим через ( = 1, . . . , 8).Дадим теперь сводку информации по образам перечисленных вышеособых точек и подмножеств фазового пространства.В табл. 2.2.1 приведены значения всех первых интегралов в точкахтраекторий , то есть координаты точек во всех пространствах-образах отображений момента. Здесь для точки 4 координаты ℎ, и вычисляются по формулам (2.2.4) для 3 с определенным выше значением0 .Замечание 10.
В табл. 2.2.1 добавлена новая точка 9 . Она отвечаетнаименьшему значению энергии на множестве вырожденных критических точек 2 . В отличие от множеств 1 и 3 , где все экстремальные значения энергии отвечают случаям возникновения вырожденных201периодических решений, то есть бифуркациям вырожденных двумерных торов, на множестве 2 наименьшее значение достигается приотсутствии каких-либо дополнительных бифуркаций вырожденныхкритических точек ранга 2. Однако это значение энергии окажетсясущественным при классификации изоэнергетических инвариантов.Таблица 2.2.1ℎ1−20−200−2202003202004ℎ(0 )0(0 ) (0 )−0567892 + 3244 − 2 2242222443 + + 2 22422√−2 ( − )2 −2()3/2√2 √ 2−−121−2−−−( − )22()3/2−−42224 + 4√2 2−1− √ 2√− √√2Образы множеств вырожденных точек ранга 1 и 2 под действием202ℱ имеют вид⎧⎨ = 0,Δ1 :, ℎ > −2.⎩ 2 = 2 ℎ⎧1⎪√︁⎨ = 4 (2 − 2 ℎ)2[︂]︂√︁Δ2 :, ℎ > 22 .1444⎪⎩ = ± (ℎ) = 2 (2 − )ℎ ± ℎ2 − 224⎧2 2 + 34⎪⎪ℎ=⎪⎪23⎪⎪⎨3232 2 4 422Δ3 :=−+ + −+ 6 , 0 < 6 0 .2⎪424⎪⎪⎪2 24⎪⎪⎩ = 3 + 2Вид множеств Δ в плоскостях-образах частных отображений моментадан в табл.
2.2.2.Таблица 2.2.2Δ1Δ2Вид вВид вВид вR2 ( 2 , ℎ)R2 (, ℎ)R2 (, ℎ) = 0, = 0,ℎ > −2ℎ > −2–1 (−, −2), 2 (, 2), 3 (, 2)22 2 + 2ℎ + 1 = 0,<0Δ3–22 − 2ℎ + 2 = 0, > 034 − 2ℎ3 + 2 2 = 0, ∈ (0, 0 ]–Семействам ℒ отвечают значения первых интегралов, заполняющие кривые . В R3 (ℎ, , ) их уравнения таковы:1,2 = { = 2 ℎ ± 2 , = (ℎ ± 2)2 , ℎ > ∓( ± )},3,4 = { = 2 ℎ ∓ 2 , = (ℎ ± 2)2 , ℎ > −( ± )},5,6 = { = ±ℎ, = ( ∓ )2 , ℎ > −( ± )}.На плоскости R2 (, ℎ) образы ℒ1 , .
. . , ℒ4 под действием ℱ2 – это лучи1,2 = {ℎ = 2 ∓ 2, ℎ > ∓( ± )},3,4 = {ℎ = −2 ∓ 2, ℎ > −( ± )},203а на плоскости R2 (, ℎ) под действием ℱ3 образы всех шести семейств имеют вид1,2 = { = ∓, ℎ > ∓( ± )},3,4 = { = ∓, ℎ > −( ± )},5 = {ℎ = + , ∈ [−, −] ∪ (0, +∞)},6 = {ℎ = − , ∈ [−, 0) ∪ [, +∞)}.Во всех этих формулах верхнему знаку отвечает множество с первым индексом.Собирая все перечисленные образы особых множеств на плоскостяхобразах частных отображений момента ℱ1 , ℱ2 , ℱ3 , получим бифуркационные диаграммы Σ*1 , Σ*2 , Σ*3 подсистем ℳ1 , ℳ2 и ℳ3 .
Они изображенына рис. 2.1 – 2.3. Прокомментируем эти рисунки.1. Типичный прообраз точек кривых Δ1 и Δ2 в критическом множестве, как отмечалось, состоит из вырожденных критических точекранга 2, которые внутри критических подсистем с двумя степенями свободы могут и не быть бифуркационными. Однако при такомвыборе частных интегралов Δ1 и Δ2 являются внешними границами областей существования движений для подсистем ℳ1 и ℳ2 ,поэтому обязательно входят в бифуркационную диаграмму. Явления, происходящие в окрестности прообразов этих кривых внутри подсистем ℳ1 и ℳ2 , подробно изучены в [110, 165].
В третьейподсистеме ℳ3 кривые Δ2 , Δ3 бифуркаций, внутренних по отношению к ℳ3 , не вызывают. Но, являясь образами вырожденных точек полного отображения момента, они разделяют точки подсистемы ℳ3 с различным внешним типом. Поэтому на рис. 2.3 эти множества также изображены (пунктиром).2. Диаграммами Σ* ( = 1, 2, 3) точки подсистем ℳ1 , ℳ2 и ℳ3 ранга 2(то есть регулярные точки по отношению к этим подсистемам) раз204делены также на определенные классы (для ℳ3 к разделяющемумножеству мы также добавляем кривые Δ2 , Δ3 ).
Эти классы (точнееподобласти с непустыми интегральными многообразиями, возникающие в образе частных отображений момента) обозначены дляпервых трех подсистем символами , , с соответствующими индексами. Связные компоненты дополнения бифуркационных диаграмм принято называть камерами [26]. Здесь для разбиения накамеры мы также учитываем образы 2-торов, вырожденных в 6 .3. Диаграмма Σ*4 состоит из изолированных значений энергии, разделяющих разные типы периодических решений. Это значения√ℎ = ± ± в точках ранга 0 и ℎ = ±2 , разделяющие движениясемейства ℒ5 на принадлежащие подсистеме ℳ3 и изолированныеот предыдущих критических подсистем. Для последнего семейства√√участок образа, отвечающий значениям ℎ ∈ (−2 , 2 ), не попавший на рисунки, обозначен далее через 50 .Замечание 11.
Кривые Δ , разделены на различные участки узловыми точками 1 , . . . , 9 . Аналогичное деление имеется на кривой 3 точкой 4 . Такие участки снабжаются вторым индексом после номера кривой.Пользуясь полученной информацией, дадим явное описание бифуркационной диаграммы Σ отображения ℱ. Введем некоторые обозначения.На кривых (2.2.4) определим обращения зависимостей ℎ() на монотонных участках1 : = 1 (ℎ),ℎ ∈ [−2, +∞), 1 (ℎ) ∈ [−, 0),2 : = 2 (ℎ),ℎ > 2,2 (ℎ) ∈ (0, ],31 : = 31 (ℎ), ℎ ∈ [ℎ0 , 2], ∈ [, 0 ],32 : = 32 (ℎ), ℎ ∈ [ℎ0 , +∞), ∈ [0 + ∞).205Здесь ℎ0 – значение ℎ(0 ) на кривой 3 . Уравнение (2.2.5) для вычислениязначения 0 теперь получим, записывая условие минимума ℎ на кривой3 в виде√︀√︀1 √︀ 2( − 2 )(2 − 2 ) = 2 − 2 − 2 − 2 .(2.2.6)Единственность решения при > очевидна.Из соотношений (2.2.1) для Π1 найдем зависимость на 1 : = 1 (ℎ) = 3 +− 2 ()|=1 (ℎ) ,ℎ > −2.Рассматривая интервалы монотонности ℎ() на кривых 5 −6 обозначим√√√ℎ − ℎ2 − 4ℎ + ℎ2 − 4ℎ + ℎ2 + 451 (ℎ) =, 52 (ℎ) =, 6 (ℎ) =.222Теперь бифуркационная диаграмма полностью описывается следующейтеоремой [156], которая сформулирована так, чтобы все условия давалиявные неравенства на параметры поверхностей при фиксированном значении энергии ℎ.Теорема 23.
1. Множество Σ1 = Π1 ∩ Σ имеет вид⎧⎨ ℎ > −2.⎩ = 0, 1 (ℎ) 6 6 1 2 ℎ22. Множество Σ2 = Π2 ∩ Σ лежит в полупространстве ℎ > −( + ) иописывается следующей совокупностью систем неравенств:⎧⎧⎧√√⎨ ℎ > √2⎨ −( + ) 6 ℎ 6 2⎨ℎ> 2;;.⎩ 2 ℎ − 2 6 6 2 ℎ + 2 ⎩ 2 ℎ − 2 6 6 − (ℎ) ⎩ + (ℎ) 6 6 2 ℎ + 23. Множество Σ3 = Π3 ∩ Σ полностью описывается следующей совокупностью условий на плоскости (, ℎ).
Для отрицательных значений ⎧⎧⎧⎨ −( + ) 6 ℎ 6 −2√⎨ −2√ 6 ℎ 6 −2⎨ ℎ > −2;;.⎩ ∈ [−, −]⎩ ∈ [−, 1 (ℎ)]⎩ ∈ [−, 51 (ℎ)] ∪ [52 (ℎ), −]206Для положительных значений ⎧⎧⎨ − + 6 ℎ 6 2⎨ 2 6 ℎ 6 ℎ0;;⎩ ∈ [, 6 (ℎ)]⎩ ∈ [2 (ℎ), 6 (ℎ)]⎧⎧⎨ ℎ 6 ℎ 6 2⎨ ℎ > 20;.⎩ ∈ [2 (ℎ), 31 (ℎ)] ∪ [32 (ℎ), 6 (ℎ)]⎩ ∈ [2 (ℎ), ] ∪ [32 (ℎ), 6 (ℎ)]4. Множество Σ4 = Π4 ∩ Σ состоит из двух лучей⎧⎧⎨ ℎ > −( + )⎨ ℎ > − + ;.⎩ = ℎ, = ( − )2⎩ = −ℎ, = ( + )2Замечание 12. Эта теорема дает возможность изобразить во всех деталях любое сечение диаграммы Σ плоскостями фиксированного ℎ иотследить с помощью компьютерной графики эволюцию этих сеченийс изменением энергии. Граничные значения в условиях на величину ℎслужат разделяющими значениями энергии. В частности, из условийдля Σ2 становится ясна необходимость введения точки 4 как точкиэкстремума ℎ на Δ2 .
Однако граничные значения ℎ не обязательно исчерпывают все разделяющее множество. Более точное утверждение приведено ниже.2.3. Классификация критических точек по типамНеобходимые определения, связанные с понятием невырожденности критических точек и их типов, даны в [26]. Сделаем одно замечание,касающееся используемой здесь терминологии.В топологическом анализе систем с двумя степенями свободы в [26]используются термины: 3-атом для описания бифуркации в окрестности невырожденной точки ранга 1 (связная компонента прообраза малого отрезка, трансверсального гладкому сегменту бифуркационной диаграммы, расслоенная на 2-торы Лиувилля с одним особым слоем) и2074-атом для описания насыщенной окрестности невырожденной точкиранга 0 (как правило, в виде почти прямого произведения атомов системс одной степенью свободы).Замечание 13.
Имея дело с системой с тремя степенью свободы, мы закрепим термин 3-атом для характеристики бифуркации в окрестности точки ранга 1 внутри соответствующей критической подсистемы с двумя степенями свободы, а 4-атом будет всегда означать бифуркацию в полном шестимерном фазовом пространстве в окрестностиневырожденной точки ранга 2.Таким образом, 4-атом определяется как расслоенная на 3-торы Лиувилля с одним особым слоем связная компонента прообраза малого отрезка, трансверсального гладкому двумерному листу бифуркационнойдиаграммы отображения момента ℱ : 6 → R3 . При изучении изоэнергетических диаграмм удобно считать такой малый отрезок лежащим нафиксированном уровне энергии, так как в соответствующей невырожденной точке ранга 2 гамильтониан заведомо регулярен.В четырех точках ранга 0 (неподвижных точках системы) гамильтониан есть функция Морса и, как отмечалось, ind ( ) = .
Это в значительной мере определяет характер поведения системы в окрестностиэтих точек. Однако строгая классификация требует указания их типакак критических точек отображения момента.Теорема 24. Все критические точки ранга 0 невырождены в 6 . Приэтом 0 имеет тип “центр-центр-центр”, 1 имеет тип “центр-центрседло”, 2 имеет тип “центр-седло-седло”, а 3 имеет тип “седло-седлоседло”.Для доказательства в [57] явно вычислены характеристические многочлены симплектического оператора в точках .208Таблица 2.3.1Образ в0Образ вТип в ℳ23R (ℎ, , )01230123Тип в ℳ32R (, ℎ)центр-центрцентр-седлоцентр-седлоседло-седло0−центр-центр0+центр-центр1−центр-седло1+центр-центр2−седло-седло2+центр-седло3−седло-седло3+седло-седлоЗаметим, что в точках встречаются три локальных критическихподсистемы – подсистема ℳ2 и две части подсистемы ℳ3 , которая имеетв этих точках особенность типа самопересечения.
В частности, на плоскости (, ℎ) каждая такая точка изображается двумя. В этом смысле каждая точка пары ± диаграммы Σ*3 имеет свой тип (тип точки по отношению к некоторому выбранному гладкому участку ℳ3 в ее окрестности).Соответствующее описание критических точек ранга 0 в критическихподсистемах ℳ2 и ℳ3 сведено в табл. 2.3.1.Обратимся к точкам ранга 1, организованным в особые периодические траектории.Теорема 25. Точки ранга 1, образующие семейства траекторий ℒ и ( = 1, . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
