Диссертация (786043), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Поэтому назовем две диаграммы эквивалентными, если существует диффеоморфизм некоторых их окрестно217стей в плоскости, сохраняющий как сами диаграммы, так и указанноевыше оснащение.Что значит указать бифуркацию? Пусть – гладкий сегмент одномерного остова (ℎ) и = (, ) ∈ . Проведем через маленький одномерный отрезок , трансверсальный и не имеющий других общихточек с (ℎ), кроме .
Полный прообраз в фазовом пространстве естьчетырехмерное многообразие ℱ −1 () ⊂ ℎ , расслоенное на 3-торы Лиувилля с одним особым слоем на каждой связной компоненте. Множество критических точек на каждом таком особом слое состоит из конечного числа 2-торов, все точки которых – это точки ранга 2. Связнуюкомпоненту в ℱ −1 () назовем 4-атомом (см.
замечание 13). Определенный набор 4-атомов получим, умножая стандартные 3-атомы на окружность. Для них очевидным образом сохраним общепринятые обозначения , , 2 , * и т.п. Таким образом, оснащенная диаграмма должна содержать на каждом гладком ребре обозначение соответствующего 4-атома. С другой стороны, гладкое ребро (ℎ) получается сечением на уровнеℎ соответствующей камеры одной из критических подсистем, а 4-атомполучается при рассмотрении бифуркации, получаемой при трансверсальном пересечении гладкого листа – образа критической подсистемы.Поэтому удобно на изоэнергетических диаграммах нанести на ребра обозначения соответствующих камер критических подсистем, а затем, наоснове полученной выше информации и эволюции диаграмм (ℎ), указать все 4-атомы, отвечающие этим камерам.Очевидно, что (ℎ) зависит не только от ℎ, но также и от физических параметров , .
Назовем тройку (, , ℎ) разделяющей, если в любойее окрестности в R3 существуют тройки с неэквивалентными диаграммами. При этом, поскольку стратифицированное многообразие (ℎ) составлено из ℎ-сечений Σ (ℎ) множеств Σ ( = 1, . . . , 4), перестройки (ℎ)происходят тогда и только тогда, когда перестраивается одно из стра218тифицированных многообразий Σ (ℎ).
Как следует из теоремы 23 (см.замечание 12) сечения Σ (ℎ) перестраиваются при прохождении черезграничные значения, фигурирующие в условиях на ℎ в этой теореме,что дает восемь разделяющих значений ℎ (в зависимости от , ), то естьвосемь разделяющих поверхностей в R3 (, , ℎ). В целом же, разделяющие значения ℎ являются критическими значениями величины ℎ, рассматриваемой как функция на стратифицированных многообразиях Σ( = 1, . .
. , 4) [112, 148]. Как легко видеть из приведенных выше рисунков 2.1 – 2.3, критические значения ℎ на Σ – это ℎ-координаты точек0 − 3 и 1 − 9 . Обращаясь к табл. 2.2.1, приходим к следующей теореме [156].Теорема 29. В пространстве параметров R3 (, , ℎ) разделяющими поверхностями при классификации изоэнергетических диаграмм (ℎ) являются 13 поверхностей, рассматриваемых в естественном ограничении 0 6 6 :Sep1 − Sep4 : ℎ = ∓ ∓ ;Sep5 : ℎ = −2;Sep6 : ℎ = 2;Sep7 : ℎ = 2;)︂(︂⎧1 √︀ 22⎪⎪ℎ=3−−( − 2 )3⎪22⎨√︃ [︂ (︂Sep8 :)︂]︂ , ∈ [, √23 ];2√︀⎪22⎪⎪ 3 − 2 − 2 (2 − 2 )3⎩=11Sep9 : ℎ = (2 + 32 );Sep10 : ℎ = (32 + 2 );2 √√︀√ 2Sep11 : ℎ = −2 ;Sep12 : ℎ = 2 ;Sep13 : ℎ = 2(2 + 2 ).(2.4.1)Непустым диаграммам отвечает область ℎ > − − . Все сечения плоскостями постоянного ̸= 0 переводятся в сечение = 1 преобразованием подобия ℎ′ = ℎ/, ′ = /, что отвечает выбору значения в качествеединицы измерения напряженностей силовых полей.Здесь комментарий требуется лишь для поверхности Sep8 : она полу219чена как параметрическая запись значения ℎ(0 ) в точке 4 с использованием уравнения (2.2.6) и соответствующего уравнения для ℎ на кривой3 .Разделяющее множество изображено на рис.
2.4 в проекции на сечение = 1. Непустым изоэнергетическим диаграммам отвечают 19 областей в пространстве параметров. Выбирая в каждой из них по точке,соединим их путями, удобными для просмотра и анализа трансформаций диаграмм. В соответствии с рис. 2.4 назовем эти пути “левым кругом”, “правым кругом”, “линией” и “блоком”. Круги имеют общую область 1, правый круг и линия – общую область 9, линия и блок – общую область 14. Соответствующие диаграммы приведены на рисунках2.5 – 2.8.
Для наглядности допущены искажения плоскими диффеоморфизмами (то есть в пределах определенного выше класса эквивалентности диаграмм). Все элементы диаграмм оснащены обозначениями соответствующих участков, введенными выше для диаграмм критическихподсистем. Кроме того, римскими цифрами I – IX занумерованы связные компоненты дополнения к бифуркационному множеству полногоотображения момента в допустимом множестве (то есть в множестве,отвечающем непустым интегральным многообразиям) в расширенномпространстве R5 (, , ℎ, , ). Такие компоненты мы по-прежнему называем камерами. В них сохраняется структура регулярного интегрального многообразия при изменении как интегральных постоянных, таки физических параметров.
“Внешнюю”, недопустимую камеру (содержащую сколь угодно большие значения интегралов и потому заведомоотвечающую пустым интегральным многообразиям) обозначаем символом ∅ и называем нуль-камерой. Теперь мы можем обосновать количество регулярных 3-торов в камерах, описать семейства этих торов иустановить все типы 4-атомов.220Теорема 30.
Изоэнергетические диаграммы делят расширенное пространство параметров на 10 камер, одна из которых (внешняя) отвечает пустым интегральным многообразиям. В фазовом пространствес учетом изменений всех параметров имеется 23 семейства трехмерных регулярных торов Лиувилля. Между камерами имеется 29 стенок,отвечающих двумерным камерам, определенным диаграммами критических подсистем.
При пересечении этих стенок бифуркации задаются 4-атомами, приведенными в табл. 2.4.1.Таблица 2.4.1Сегмент(область)К-во2-торовПереход4-атомСегмент(область)12∅ → II242∅ → IV224∅→V452II → V238∅ → VIII861I → III11∅→I72II → IV2*22∅ → III282IV → VII234∅ → VII492III → VI244VII → VIII4102III → VI254VI → VII22112III → VI264VII → IX22124V → VII4*72III → V2132IV → IX281I → II142IV → IX292III → IV2152III → VII211∅→I164V → VIII422∅ → II2174V → VIII4221К-воПереход 4-атом2-торовТаблица 2.4.1 (продолжение)Сегмент(область)К-во2-торовПереход4-атом32∅ → III2Сегмент(область)К-воПереход 4-атом2-торовДоказательство проведем в несколько шагов.
Вначале, пользуясьтолько уже известными эллиптическими бифуркациями, определим количество регулярных 3-торов в камерах и соответствующие семейства.Напомним, что семейством регулярных торов называется слоениена торы Лиувилля связной компоненты множества в фазовом пространстве, которое получается выбрасыванием всех особых слоев. В пределаходной камеры всегда живут фиксированные семейства, но одно семейство может присутствовать и в нескольких камерах.Стенки между камерами (в том числе между регулярной камерой инуль-камерой), отвечающие 4-атомам вида ( ∈ N), назовем -переходами.
Расставим все -переходы на диаграммах, пользуясь бифуркациями типа “центр” из предложения 18. Получим информацию, собранную в табл. 2.4.2. Таким образом, установлено количество регулярныхторов во всех камерах, а также общее количество семейств торов. Каквидим, их оказалось 23. Общие семейства имеются в парах камер III, VI(два семейства), IV, IX (два семейства) и V, VIII (четыре семейства).На следующих шагах устанавливается тип гиперболических бифуркаций. Часть из них определяет лемма, аналог которой для двух степеней свободы можно получить из результатов [26].Лемма 3. Пусть 0 – невырожденная критическая точка ранга − 2типа “центр-седло” в интегрируемой системе с степенями свободыи отображением момента .
Обозначим через 1 и 2 две локальныекритические подсистемы с − 1 степенью свободы, пересекающиесяв 0 трансверсально, причем в 1 точке 0 отвечает гиперболический222Таблица 2.4.2КамераПереходСегменты4-атомКол-воторовНовыхсемействI∅→I1 , 111II∅ → II1 , 2222III∅ → II2 , 3222IV∅ → IV4222V∅→V2444VIIII → VI10242VII∅ → VII3444VIIIV → VIII17484IXIV → IX13242-атом , а в 2 точке 0 отвечает эллиптический -атом ( ∈ N). Рассмотрим малое двумерное сечение, трансверсальное гладким листам (1 ) и (2 ), проведенное через точку (0 ).
Пусть –точка на ребре этого сечения, порожденном листом (2 ). Тогда( + 1)-атом, содержащий прообраз , есть ( × 1 ).В табл. 2.4.3 перечислены ребра, удовлетворяющие условиям леммы, то есть такие, вдоль которых внутри критической подсистемы-прообраза бифуркация в граничной точке – эллиптическая, а прообраз граничной точки имеет тип “центр-седло”.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
