Диссертация (786043), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Параметризация критической окружности имеет видℒ3 : 1 = 3 = 2 = 0,12 = 1 − ,32 = ,122 = [ 2 + (2ℎ − 1) − ],(3.6.6)где вспомогательная переменная удовлетворяет дифференциальномууравнению˙ 2 = 4(1 − )( 2 + (2ℎ − 1) − ),ℎ> ,21 √︀ ∈ [ ( (2ℎ − 1)2 + 4 + 1 − 2ℎ); 1].2Тип критической окружности (3.6.6) можно определить при помощи функции = −4(2ℎ−1), для которой = 0. Характеристическое258уравнение симплектического оператора имеет вид2 + 64(2ℎ − 1)( + 1 − 2ℎ) = 0.Из этого уравнения следует, что для значений энергиииℎ>+122< ℎ <12критическая окружность является невырожденной гиперболи-ческой особенностью ранга 1, а для12<ℎ<+12– невырожденной эллип-тической.Наконец, при условии = −2 + (2ℎ + 1)2параметризация критических окружностей ℒ4 задается формуламиℒ4 :2 = 3 = 1 = 0,22 = 1 − ,32 = ,112 = [(2ℎ + 1) − 2 − ].(3.6.7)Вспомогательная переменная удовлетворяет дифференциалному уравнению(︀)︀˙ 2 = 4(1 − ) (2ℎ + 1) − 2 − ,[︂]︂√√√2ℎ+1− (2ℎ+1)2 −4(2ℎ+1)2 −4+2ℎ+1∈;,−22[︂]︂√2ℎ+1− (2ℎ+1)2 −4∈; 1 , ℎ > 2 .2Дляопределениятипаможно126 ℎ 6 2 ;рассмотретьфункцию = − 4(2ℎ + 1).
Тогда на множестве (3.6.7) = 0. Характеристическое уравнение симплектического оператора имеет вид2 + 64(2ℎ + 1)(2ℎ + 1 − ) = 0.(3.6.8)Из уравнения (3.6.8) следует, что участкам бифуркационной диаграммы 4 и 5 отвечает невырожденная эллиптическая особенность ранга 1.Зная типы особенностей ранга 1, можно легко указать перестройки торов Лиувилля при критических значениях отображения момента259(3.6.1). На рис. 3.6 перестройка торов Лиувилля описывается атомом,обозначение которого указано около стрелки.
В рассматриваемом интегрируемом случае встречаются только два вида атомов: и .22AÆB12T7q1A2hq22T2Ak632T2ÆB54a)P1P2Æ2AA212A2T B7hÆT2Aq22k5AÆ.б) P2Рис. 3.6. Бифуркационная (, ℎ)–диаграмма: а) 0 < < 1; б) > 1.Также легко устанавливается топологический тип3ℎ () = {( , ) ∈ : = ℎ} изоэнергитеческой поверхности по Смейлукак приведенного расслоения окружностей над областью возможности260движения на сфере Пуассона { : () 6 ℎ}. Здесь () – эффективный потенциал, который определяется выражением1 () = [12 − 22 + 2 ].23Для различных значениях параметров и ℎ многообразие 3ℎ () представляет собой либо 3 , либо 2 3 .Из определения топологического инварианта [171] следует, что всостав множества параметров, разделяющего различные инварианты Фоменко на изоэнергетических многообразиях 3ℎ (), нужно к диаграммеСмейла, как образа неподвижных точек системы уравнений (3.1.1), добавить образ множества вырожденных критических точек ранга 1.
Отметим, что для классических задач динамики твердого тела аналогичные диаграммы построены в работах А. А. Ошемкова [100, 130].Таким образом, мы приходим к следующей простой системе разделяющих кривых на плоскости параметров (, ℎ):ℎ=√ − 21 , 0 6 6 1;ℎ = 2 , > 0;ℎ = 12 , 0 6 6 1;ℎ=+12 ,> 0.Для системы с гамильтонианом (3.1.2) на рис.
3.7 изображены разделяющие кривые на плоскости R2 (, ℎ). Они разбивают плоскость на четыре области разного типа.В каждой области указана пара (3ℎ (), ), то есть изоэнергетическое 3-многообразие и соответствующая ему молекула в виде графаФоменко. Таким образом, получается полный список, состоящий из четырех пар, который классифицирует систему (3.1.1) с точностью до грубой лиувиллевой эквивалентности.2613AS ,ABAS3, A3ABS ,AAAÆh2SA,A3bAAРис.
3.7. Грубый инвариант Фоменко (3ℎ (), ).262Глава 4Фазовая топология одной неприводимойинтегрируемой задачи динамики твердого телаВ данной главе рассматривается интегрируемая система с тремя степенями свободы, для которой В. В. Соколовым и А. В. Цыгановым указано представление Лакса. Представление Лакса обобщает – пару длягиростата Ковалевской в двойном поле, найденную A. Г. Рейманом иM. A. Семеновым-Тян-Шанским. Здесь мы приводим явные формулы для(независимых почти всюду) дополнительных первых интегралов и ,которые функционально связаны с коэффициентами спектральной кривой – пары В. В.
Соколова и А. В. Цыганова. Благодаря такой формедополнительных интегралов , и параметрической редукцииМ. П. Харламова, удалось выделить аналитически четыре инвариантных четырехмерных подмногообразия, на которых индуцированная динамическая система является почти всюду гамильтоновой с двумя степенями свободы. Система уравнений, задающая одно из инвариантныхподмногообразий, является обобщением инвариантных соотношений интегрируемого случая О. И. Богоявленского вращения намагниченноготвердого тела в однородном гравитационном и магнитном поле. Для описания фазовой топологии всей системы в целом используется метод критических подсистем.
Для каждой подсистемы построены бифуркационные диаграммы и указаны бифуркации торов Лиувилля как внутри подсистем, так и во всей системе в целом.2634.1. ВведениеРассмотрим твердое тело с неподвижной точкой (Рис. 4.1). Выберем триэдр с началом в , вращающийся вместе с телом, и отнесемк нему все векторные и тензорные объекты. Обозначим через 1 2 3 канонический единичный базис в R3 , тогда сам подвижный триэдр имеетпредставление 1 2 3 . Постоянное поле – это силовое поле, порождающее вращающий момент относительно точки вида × , где – постоянный вектор, а соответствует некоторому физическому вектору,неподвижному в инерциальном пространстве; указывает из точки вцентр приложения поля, есть вектор напряженности поля.
Для двухпостоянных полей вращающий момент имеет вид = 1 × + 2 × .Он может быть представлен как момент одного постоянного поля, еслилибо 1 × 2 = 0, либо × = 0. Далее мы предполагаем, что 1 × 2 ̸= 0, × ̸= 0.(4.1.1)Два постоянных поля, удовлетворящие (4.1.1), называются независимыми.Рис. 4.1.
Механическая модель.264Полагаем, что главные моменты инерции подчинены условиям Ковалевской: = = 2. Радиус-векторы центров приложения сил параллельны экваториальной плоскости 1 2 ( ⊥ 3 ); , – векторы напряженностей полей. Гиростатический момент направлен по осидинамической симметрии = 3 , ( = ).Как показано в [99] без потери общности для независимых сил можно полагать 1 = 1 , 2 = 2 .(4.1.2)Прошло пятнадцать лет с тех пор, как в [86] была доказана интегрируемость системы˙ = × + × + × ,˙ =×,˙ = ×,(4.1.3)которая описывает динамику двухполевого обобщенного гиростата приналичии двух силовых полей c деформированным гамильтонианом = 12 + 22 + 232 + 23 − 21 · ( 1 × + 2 × )−−22 [( 1 · ) + ( 2 · )]или, с учетом (4.1.2), = 12 + 22 + 232 + 23 − 22 (1 + 2 )(4.1.4)+21 (2 3 − 3 2 + 3 1 − 1 3 ).Здесь трехмерные векторы , , представляют собой проекциикинетического момента и двух силовых полей на оси, жестко связанные с твердым телом; – параметр гиростатического момента, направленного вдоль оси динамической симметрии; 1 и 2 – параметры деформации.
Если параметр деформации 1 обращается в нуль, то функция265(4.1.4) совпадает с гамильтонианом в задаче о движении гиростата Ковалевской в системе двух полей [35, формула (3), c. 56]). Системы с такими гамильтонианами, существенно зависящими от и , не допускаютнепрерывной группы симметрии, и поэтому неприводимы глобально ксемейству систем с двумя степенями свободы.Соответствующая скобка Ли–Пуассона задается формулами{ , } = , { , } = , { , } = ,{ , } = 0, { , } = 0, { , } = 0, = 12 ( − )( − )( − ),(4.1.5)1 6 , , 6 3.Функциями Казимира являются выражения 2 , · и 2 .Относительно скобки Ли–Пуассона, заданной соотношениями(4.1.5), систему (4.1.3) можно представить в гамильтоновом виде:˙ = {, },где через обозначена любая из координат.Фазовое пространство системы уравнений (4.1.3) задается общимуровнем функций Казимира 2 = 2 , 2 = 2 , · = ,(0 < < , || < ).(4.1.6)В работе [86] указана соответствующая − пара для гамильтониана (4.1.4).
Бигамильтонова структура для обобщенного двухполевогогиростата Ковалевской впервые получена в работе [172]. Хорошо известно, что коэффициенты спектральной кривой ℰ(, ) = 0 для − парывсегда являются первыми интегралами. Оказывается необходимый дополнительный интеграл (коэффициент при 4 в алгебраической кривойℰ(, ) = 0) можно выразить через другие (независимые почти всюду)дополнительные интегралы той же системы (формула (4.1.9)).
Деформации интегрируемых гамильтонианов, анонсированные в [86], также266упоминаются в книгах [23] ([23, формула (4.18), c. 128]) и [99] ([99, замечание 2, c. 265]).При отсутствии второго силового поля ( = 0) и наличии ненулевого параметра (параметра гиростатического момента) интегрируемостьдоказана В. В. Соколовым. Явное выражение дополнительного интеграла (на алгебре (3)) содержится в работе [31]. В [64] дополнительный интеграл Соколова представлен в виде, удобном для исследования фазовой топологии в системе с двумя степенями свободы. Бигамильтоновыструктуры интегрируемых деформаций волчка Ковалевской и интегрируемого случая Соколова получены в [172].Для гамильтониана (4.1.4) дополнительные интегралы имеют следующий явный вид ([66], [89], [172], [68]): = 12 + 22 − [(3 + )(12 + 22 ) + 22 (3 1 + 3 2 )]+21 (2 + 2 )3 + 21 [2 12 − 1 22 − (1 − 2 )1 2 ] − 221 , = 2 + 2 + 2(3 + ) − 22 (2 2 + 2 1 )+21 [ 2 (2 3 − 3 2 ) − 2 (1 3 − 3 1 )]+2( · )[2 (2 + 1 ) + 1 (3 1 − 1 3 + 2 3 − 3 2 )].(4.1.7)где1 = 12 (12 − 22 ) + 2 (1 − 2 )+1 [3 (2 + 1 ) − 2 3 − 1 3 ] + 12 21 ( 2 − 2 ),2 = 1 2 + 2 (2 + 1 ) − 1 [3 (1 − 2 ) + 3 2 − 3 1 ] − 21 ( · ), = 1 1 + 2 2 + 3 3 , = 1 1 + 2 2 + 3 3 , = 1 (2 3 − 3 2 ) + 2 (3 1 − 1 3 ) + 3 (1 2 − 2 1 ).Функции и записаны таким образом, чтобы их можно было267сравнить с интегралами 1 и 2 из работы [35] или [95].
А именно, еслиположить значения параметров деформации 1 = 0 и 2 = 1, то получаются выражения для 1 и 2 ([35, формула (5), c. 57]).Укажем явное выражение алгебраической кривой ℰ(, ) ([66], [68]):ℰ(, ) : 4 4 + 2 2 + 0 = 0,(4.1.8)где4 = − 4 − 21 (2 + 2 ) 2 − 41 [2 2 − ( · )2 ],2 = 2 6 + [21 (2 + 2 ) − ℎ − 2 ] 4 + [22 (2 + 2 ) − 21 ] 2+221 22 [2 2 − ( · )2 ],0 = − 8 + ℎ 6 + 1 ,2 4 + 22 2 − 42 [2 2 − ( · )2 ].Коэффициент 1 ,2 при 4 , как отмечалось выше, всегда является первым интегралом.
Нам удалось выразить коэффициент 1 ,2 через казимиры 2 , 2 и другие (независимые почти всюду) дополнительные интегралы (4.1.7) той же системы:1 ,2 = 21 + − 41 ( · )2 −1− [ℎ2 + 221 (2 + 2 )ℎ + 41 (2 − 2 )2 ] − 22 (2 + 2 ).4(4.1.9)где ℎ, и – постоянные первых интегралов (4.1.4) и (4.1.7).Как показано в [149], [88], [173] без ограничения общности можносчитать векторы и взаимно ортогональными, причем || > ||. Тогдагеометрические интегралы, порождаемые функциями Казимира, запишутся в виде||2 = 2 ,||2 = 2 , · = 0,( > > 0).(4.1.10)Тот факт, что любая задача о движении твердого тела в двух постоянных полях может быть сведена к задаче, в которой одна из пар 1 , 2268или , ортонормирована, известен из [99].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
