Диссертация (786043), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Если – его ранг, то количество связных компонент интегрального многообразия, накрывающего прямоугольник Π равно 2 [118]. В случае, когдакомпонент, зависящих только от аргументов первой группы, не остается, полагаем = 0, и соответствующий прямоугольник накрываетсяодной компонентой. В критическом случае (наличие кратного корня умаксимального многочлена) делаем то же самое с дополнительной оговоркой о том, что радикалы, содержащие кратный корень, всегда относятся ко второй группе, даже если этот кратный корень – внутренняя точка для промежутка осцилляции и фактически за конечное время не достигается соответствующей переменной разделения.
Приведенные рассуждения применяются без учета возможности выбора различ√ных знаков у радикала 1 + 2 . Этот выбор задает одно из двух инвариантных подмногообразий в , на которые фазовое пространство системы разбивает исключенное из рассмотрения подмножество 3 = 0 особенностей потенциала. Поэтому в полном фазовом пространстве все последующие результаты о количестве компонент связности необходимоумножить на два.
Будем считать, что для определенности мы ограничи250ваемся подмногообразием в , заданным неравенством 3 > 0 (очевидно,рассматриваемая система обладает симметрией – обращением знака величин 1 , 2 , 3 ).Информация о достижимых областях, аргументах второй группы иостающихся после редукции компонентах булевой вектор-функции собрана в табл. 3.5.1.Таблица 3.5.1ДостижимаяВтораяРедуцированнаяобластьгруппафункцияI[1 , 1 ]×[2 , 2 ]2,3,4,6II[1 , 2 ]×[1 , 2 ]III21,201T23,4,51 ⊕ 2 ⊕ 622T2[−1 , 1 ]×[2 , 2 ]2,4,61 ⊕ 3 ⊕ 522T2{1 = 2 }×[1 , 2 ]3,4,51 ⊕ 2 ⊕ 622 12{1 = 1 }×[2 , 2 ]2,3,4,60113{−1 = 1 }×[2 , 2 ]2,4,61 ⊕ 3 ⊕ 522 14[−1 , 1 ]×{2 = 2 }2,4,61 ⊕ 3 ⊕ 522 15[1 , 1 ]×{2 = 2 }2,3,4,60116[1 = −1 , 1 ]×[2 , 2 ]2,3,4,6011 ∨ 1011 ∨ 117.[1 , 1 = 2 ]×[1 = 2 , 2 ] 2,3,4,5,6Поясним преобразования матрицы (3.4.7) в трех основных случаях.Для области I и сегментов 2, 5 − 7 последовательно исключаем пары«столбец-строка» (2 , 2 ), (3 , 3 ), (4 , 4 ).
Остается одна строка, в которойаргумент 6 из второй группы – исключаем и ее. Остается вектор-функция без компонент (в табл. 2 она отмечена как тождественный ноль), тоесть = 0.Для области II и сегмента 1 последовательно исключаем пары «столбец-строка» (3 , 3 ), (4 , 4 ), после чего к строке 1 прибавим строку 2 .Столбец 5 становится единичным и исключается пара (5 , 1 ).
Остается251одна строка, отвечающая функции 1 ⊕ 2 ⊕ 6 , в которой все аргументыиз первой группы. Следовательно, = 1.Для области III и сегментов 3, 4 исключаем пары (2 , 2 ) и (4 , 4 ), после чего к строке 3 прибавим строку 1 . Столбец 6 становится единичным и исключается пара (6 , 1 ). Остается одна строка, отвечающая функции 1 ⊕ 3 ⊕ 5 с аргументами из первой группы. Следовательно, = 1.ABAAAAAAРис. 3.5. Круговые молекулы для узловых точек.Теперь по количеству компонент связности однозначно определяются и интегральные многообразия, лежащие в выбранной «половине»системы (фиксированный знак 3 ). Они указаны в последнем столбцетаблицы.
Соответственно, вдоль всех путей 1 − 3 с учетом указанногонаправления имеем одну и ту же последовательность бифуркаций ∅ →2 → 2T2 → → T2 → → ∅, а вдоль пути 4 – бифуркацию ∅ → 2 →2 → ∅. Молекулы показаны на рис. 3.5. Здесь для базовых бифуркаций [104] использованы современные обозначения атомов [26, 124, 171].При переходе к значениям > 1 происходят очевидные упрощения– исчезает регулярная область III с двумя торами Лиувилля и примыкающие к ней сегменты 3, 4, 6.Отметим, что наличие явного алгебраического решения с разделенными переменными позволяет легко вычислить инварианты траекторной эквивалентности, основываясь на числах вращения.2523.6. Аналитическая классификация особенностей игрубый инвариант А. Т.
ФоменкоДля аналитической классификации особенностей удобно рассмотреть отображение моментаℱ : → R2 ,(3.6.1)полагая (, ℎ) = ℱ() = ((), ()).Обозначим через совокупность всех критических точек отображения момента, то есть точек, в которых rank ℱ() < 2. Множество критических значений Σ = ℱ( ∩ ) также называется бифуркационной диаграммой. Множество можно стратифицировать рангом отображениямомента, представив его в виде объединения = 0 ∪ 1 . Здесь = { : rank ℱ() = }.Бифуркационную диаграмму Σ отображения момента (3.6.1) можно получить из бифуркационной диаграммы, построенной на плоскости(, ), используя преобразование = 2 + 4ℎ − 2 .Теорема 32 переформулируется следующим образом.Теорема 33.
Бифуркационная диаграмма Σ отображения момента (3.6.1)состоит из следующих множеств: при 0 < < 1√) = 2, − 12 6 ℎ 6 12 ,) = 4ℎ − 2 ,ℎ>+12 ,ℎ > 2 ,) = 2 + (2ℎ − 1)2 ,) = −2 + (2ℎ + 1)2 ,ℎ>√ − 12 ;а при > 1) = 4ℎ − 2 ,ℎ>) = 2 + (2ℎ − 1)2 ,+12 ,ℎ > 2 ,253) = −2 + (2ℎ + 1)2 ,ℎ > 2 .Далее мы используем стандартную скобку Ли-Пуассона{ , } = − ,{ , } = − ,{ , } = 0, = 12 ( − )( − )( − ).1 6 , , 6 3,Множество 0 исчерпывается неподвижными точками системы(3.1.1): : = 0, = (0, 1√︀1−√√, 2 4 ),(3.6.2) : = 0, = (0, 0, 3 ),где 21 = 22 = 23 = 1 и, соответственно, = 1, .
. . , 4, = 1, 2, причем точки существуют лишь для 0 < 6 1. Значения первых интегралов образуютнульмерный остов бифуркационной диаграммы.1 = ℱ( ) : = 2,ℎ=2 = ℱ( ) : = 2 + 1,√ − 12 ,ℎ = 2 .Теорема 34. Особым точкам 1 и 2 бифуркационной диаграммы Σ соответствуют невырожденные особенности и ранга 0 отображениямомента. В зависимости от значений параметра тип особенностейопределяется таблицей 3.6.1.Доказательство. Линеаризации векторных полей sgrad и sgrad в точках (3.6.2) являются линейными симплектическими операторами , : , → , . Непосредственно проверяется, что они линейно независимы, то есть порождают подалгебру в sp(4, R) размерности 2.Характеристические уравнения оператора в точках и имеют соответственно вид : [2 + 4(1 −√)][2 + 2(2 −√ : (2 + − 1)(2 + − 1) = 0.254)] = 0,Таблица 3.6.10Образ в R2 (, ℎ)Тип в 0<<11центр-центр2центр-седло>1центр-центр2При значениях параметра , указанного в табл.
3.6.1, все корни соответствующего характеристического уравнения различны и разбиваются на пары, определяющие тип невырожденной особенности.Перейдем к описанию особенностей ранга 1.Рассмотрим участок бифуркационной диаграммы 3, что соответствует выбору√ = 2,−116ℎ6 .22Параметризация особенности ранга 1 в этом случае имеет вид⎧2 − 1 − 2ℎ 2⎪2⎪⎨ 1 = 0, 2 =, 32 =( − ),2ℒ1 :⎪1 − 2ℎ 2 2 1 − 2ℎ⎪⎩ 12 = 1 − − , 2 =, 32 = .22Зависимость () определяется дифференциальным уравнением(︂)︂1 − 2ℎ 22˙ = 4 1 − − ( 2 − ),2[︂]︂√︀√111 ∈ ;− 6ℎ6 .( 2 + 2 − 4ℎ − ) ,1 − 2ℎ22Рассмотрим многообразие ℳ1 , заданное уравнениями1 = 0,2 = 0,255где1 = 1 ,2 = 22 +− 32 .23Пересечение многообразия ℳ1 с дает двумерную поверхность 1 , которая является симплектическим подмногообразием, за исключениеммножества меры нуль точек вырождения индуцированной симплектической структуры при ℎ = 12 .
Для доказательства достаточно найти скобку Пуассона функций 1 и 2 :⃒1√ √{1 , 2 }⃒1 =2 1 − 2ℎ.Гамильтониан является первым интегралом на 1 . Уровень энергиигладко расслаивает 1 на одномерные множества ℒ1 . Множества ℒ1 с индуцированной на них динамикой далее называем критическими окружностями.Зная параметризацию критических окружностей ℒ1 нетрудно аналитически определить их тип. Рассмотрим функцию , для которой вточках ℒ1 дифференциал интеграла равен нулю, т.е. = 0. Характеристеское уравнение симплектического оператора в этом случае имеет вид2 + 128(1 − 2ℎ) = 0.Поэтому критические окружности ℒ1 представляют собой невырожденные особенности эллиптического типа ранга 1 отображения момента, заисключением значения ℎ = 21 .
Точке касания 1 = ( = 2; ℎ = 21 ) на бифуркационной диаграмме отвечает вырожденная особенность ранга 1 cпараметризацией1 = 3 = 2 = 0;˙ 2 = 4(1 − )( 2 − ),22 = 2 − ;1 = 1 − ;32 = ;√ ∈ [ ; 1].Рассмотрим теперь участок бифуркационной диаграммы 1, для ко256торого+1.(3.6.3)2В случае (3.6.3) постоянная интеграла Горячева = 0 порождает = 4ℎ − 2 ,ℎ>многообразие ℳ2 , заданное функциями1 = 0,2 = 0,где1 =12−22+32(12 − 22 )−,321 2.32Пересечение многообразия ℳ2 с дает двумерную поверхность 2 , ин2 = 1 2 −вариантную относительно фазового потока (3.1.1), расслоенную постоянной ℎ гамильтониана на критические окружности ℒ2 . Вычислениескобки Пуассона двух функций 1 и 2 приводит к выражению√ √︀⃒⃒{1 , 2 } 2 = 2 (2ℎ − )2 − 1.Таким образом, 2 является почти всюду симплектическим подмногообразием, за исключением значения ℎ =+12 .Параметризация критиче-ских окружностей ℒ2 задается формулами:⎧2ℎ − 1 − 2ℎ + 1 − 22⎪⎪,=1 ,=212⎪⎪44⎪⎪⎪⎪(2ℎ + 1 − )(2ℎ − 1 − ) 2⎪2⎪= ,⎪3⎪4⎪⎨2ℎ + 1 − 2ℎ − 1 − ℒ2 :12 =2 , 22 =1 , 32 = ,⎪⎪44⎪⎪⎪⎪⎪1 () = (2ℎ + 1 − ) 2 + 2 − 2,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩2 () = ( − 2ℎ + 1) 2 − 2 + 2,ℎ>+1,2(3.6.4)где зависимость вспомогательной переменной () описывается дифференциальным уравнением1˙ 2 = 1 2 .257Аналитическое решение (3.6.4) является аналогом решения Делонев случае волчка Ковалевской.Для определения типа критических окружностей ℒ2 рассмотримфункцию = − 4, для которой = 0 на ℒ2 .
Характеристеское уравнение симплектического оператора имеет вид2 + 64(2ℎ + 1 − )(2ℎ − − 1) = 0.(3.6.5)Из уравнения (3.6.5) следует, что участку бифуркационной диаграммы1 соответствует невырожденная особенность эллиптического типа ран+12 . Точке ка= +12 ) отвечаетга 1 отображения момента, за исключением значения ℎ =сания бифуркационной диаграммы 2 = ( = 2 + 2, ℎвырожденная особенность ранга 1 c параметризацией 2 + − 2; 1 = 1 − ; 32 = ; [︂]︂1 √︀ 222˙ = 4 (1 − ) · ( + − ); ∈ ( + 4 − ); 1 .21 = 3 = 2 = 0; 22 =Пусть теперь = 2 + (2ℎ − 1)2 ,ℎ> .2Это условие соответствует участкам бифуркационной диаграммы с номерами 6, 2, 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
