Диссертация (786043), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Рассмотрим интеграл Φℒ регулярныйв окрестности точки 0∈ℳℒ , за исключением самой точки 0 ,Φℒ (0 ) = 0. Его линеаризация есть симплектический оператор Φℒ . Характеристический многочлен имеет видΦℒ () = (2 − Φℒ ),Φℒ =2901trace(2Φℒ ).2Если Φℒ < 0, то мы получаем “эллиптический” тип точки (соответствующие двумерные торы являются устойчивыми многообразиями в фазовом пространстве и представляют собой предел концентрического семейства трехмерных регулярных торов). Если Φℒ > 0, то мы получаем“гиперболический” тип точки (соответствующие двумерные торы будутнеустойчивые).Покажем, что любой тор, который принадлежит совместной поверхности уровня { = ℎ, 1 = 1 }, является эллиптическим (невырожденной особенностью ранга 2 эллиптического типа), кроме точек, где вырождается симплектическая структура. Для доказательства необходимо вычислить характеристический многочлен симплектического оператора Φℒ .
Здесь интеграл Φℒ определяется следующей формулойΦℒ = {21 [21 (2 + 2 ) + ] + 222 }2 − 441 .Характеристический многочлен симплектического оператора Φℒ имеетявный вид:√2 + 12881 12 = 0.(4.5.8)Здесь через 1 и обозначены постоянные дополнительного интеграла 1и общего интеграла . Откуда и следует выше утверждение.На рис. 4.4 изображены бифуркационная диаграмма Σ2 отображения момента ℱ2 = × и бифуркации торов Лиувилля.Параметризация бифуркационной диаграммы Σ2 описывается сле-29122T24T2B2TÆhh0gsnC222T4T24T2B2B22C22T2B22C2e2A4T222B4A2A24TpÆ4AC2Рис.
4.4. Бифуркационная диаграмма Σ2 отображения момента ℱ2 = × .292дующими кривыми:1ℎ = 2 + (2 + 2 2 )(2 − 2 ),22 > − ( + ) − 2 ,2 222ℎ21 4 22 2 2+−2,ℎ>−[ ( + 2 ) + 2],46211ℎ = 2 − (2 + 2 2 )(2 − 2 ), > − 2 (2 + 2 + 24 2 2 ),⎧⎪12 2 2⎪⎪⎨ ℎ = 2 − 2 − 2 ,⎪⎪2 22 2⎪⎩ = −2 2 2 − +, ∈ [−2 ; −] ∪ [; 2 ].2=Σ2 :4.6. Третья и четвертая системыЗаметим, что первые две подсистемы ℳ1 и ℳ2 удовлетворяют соотношениям (, , ) = 0, (, , ) = 0, = 1, 2,(4.6.1)если положить 1 = и 2 = [2+4 (2 + 2 )+2 ]2 −44 соответственно.Поэтому последние две подсистемы ℳ3 и ℳ4 определим уравнениями: (, , ) = 0, (, , ) = 0, = 3, 4.(4.6.2)Систему ℳ3 определим выбором функции3 = [(2 + 2 ) − 2 − 2 (2 − 2 )2 ]2 − 4(2 − 2 )2 ,а функцию 4 для ℳ4 можно явно записать, исключив из системыΦ() = 0,Φ()=0(4.6.3)параметр и подставив в полученное выражение вместо постоянных первых интегралов ℎ, , функции , и .
Здесь через Φ() обозначен мно-293гочленΦ() = 4 − ℎ3 +(︂)︂1 2[ℎ + 22 (2 + 2 )ℎ + 4 (2 − 2 )2 ] + 2 + 2 − − 2 −4− + 2 2 .Параметр в результате исключения из системы (4.6.3) как функция = (, , ), на самом деле, является частным интегралом для системы ℳ4 .Отметим, что уравнению 4 (ℎ, , ) = 0 принадлежат две прямые⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎨ = ℎ,⎨ = −ℎ,⎪⎪⎪⎩ = 1 ( − )2 [4 ( + )2 + 22 ℎ + 4], ⎪⎩ = 1 ( + )2 [4 ( − )2 + 22 ℎ + 4].44Систему (4.6.3) (поверхность кратных корней многочлена Φ()) можно записать в параметрическом виде следующим образом:⎧⎪1 2 2 2222⎪⎪=3−2ℎ+++ℎ − 2 +⎪⎪4⎪⎪⎪⎨1 222 2 2 1 2322+[2−ℎ+(+)ℎ−] + ( − 2 )4 4 ,⎪24⎪⎪⎪⎪⎪⎪22 232⎪⎩ = −2 + ℎ +, ∈ R ∖ 0.Если в приводимых выше формулах положить параметр деформации равным нулю, то получим формулы для аналогов систем ℳ3 и ℳ4в задаче обобщения волчка Ковалевской на случай двойного поля [149],[158], [87].При >max{ √1 ;√︁2− }бифуркационные диаграммы Σ3 , Σ4 отобра-жений моментов ℱ3 = × и ℱ4 = × для систем ℳ3 и ℳ4 изображены на рис.
4.5 и 4.6 соответственно. На этих же рисунках указаны ибифуркации торов Лиувилля. На рис. 4.7 приведена бифуркация тора втор, которая соответствует * .В основе анализа бифуркациий торов Лиувилля лежат аналитические работы [159], [161], [160], [111] и [57]. Закрашенным областям со294ответствуют устойчивые двухчастотные периодические решения или, вдругой терминологии, невырожденные особенности ранга 2 эллиптического типа полного отображения момента ℱ = × × , а остальнаячасть — двухчастотным периодическим решениям (двумерным торам)гиперболического типа по отношению ко всей системе с тремя степенями свободы. Построения велись для следующих значений параметров: = 1, = 25 , = 3.Рис.
4.5. Бифуркационная диаграмма Σ3 отображения момента ℱ3 = × .Предъявим явное описание (параметризацию) бифуркационной диа295граммы Σ3 :ℎ=Σ3 :1− (2 + 2 2 )(2 − 2 ),2⎧⎪2 + 2⎪⎪,⎨ ℎ = 2 +⎪⎪22 222⎪⎩ = ( + ) +,>−1 2( + 2 + 24 2 2 ),2 ∈ [−2 2 ; −1] ∪ (0, ; +∞),22221 + 22 + 4 2ℎ>−,22221 − 22 + 4 2ℎ>−,2 = ℎ + 2( − ), = ℎ − 2( − ),1ℎ = 2 + (2 + 2 2 )(2 − 2 ),222 = ℎ − 2( − ),22 > − ( + ) − 2 ,2 2221 + 22 + 4 2ℎ>−,21 − 22 + 4 2.2Пересечение систем ℳ1 и ℳ3 происходит в точках вырождения ин = 2 ℎ + 2(2 − 2 ),дуцированнойℎ>−симплектическойструктуры,чтосоответствуетна рис. 4.5 прямойℎ=1[2 − 2 (2 − 2 )2 ],22 +>−1 2( + 2 + 24 2 2 ).2Параметризация бифуркационной диаграммы Σ4 явно описываетсясистемой кривых:√︀22ℎ = − ( + ) + 2(2 + ) − (1 + ) (2 − 2 )(2 − 2 ),1 ∈ [− 2 ; 0);√︀2ℎ = −2 (2 + 2 ) + 2(2 + 2 ) + (1 + 2 ) (2 − 2 )(2 − 2 ),1 ∈ [−; − 2 ] ∪ (0; ];2962Σ4 :222√︀2ℎ = −2 (2 + 2 ) + 2(2 + 2 ) − (1 + 2 ) (2 − 2 )(2 − 2 ), ∈ [0 ; −] ∪ [; +∞);Σ4 :ℎ = 2 +2, ∈ [0 ; 1 ] ∪ (0; +∞);ℎ = 2 −2, ∈ [3 ; 0) ∪ [2 ; +∞),12 2 2−,ℎ = 2 −22 = ±, ∈ [−2 ; −] ∪ [; 2 ],1 ∓ 22 + 4 2ℎ>−;2 = ±,1 ∓ 22 + 4 2ℎ>−.2(4.6.4)В формулах (4.6.4) через обозначены выражения√︀1 4216 + 8 ( + )4 + 8(2 + 2 − 6)4 ],[(+)+4±28√︀1= − 2 [4 ( − )2 + 4 ∓ 16 + 8 ( − )4 + 8(2 + 2 + 6)4 ].80,1 = −2,3Закрашенная область ограничена кривыми1 = − 2,ℎ > ℎmin2 + 2ℎ = 2 +,ℎ = 3 +2 2,34 (2 + 2 ) + 2=−,2 ∈ [−2 2 ; −1] ∪ (0; +∞),2√3 ∈ [− 2 2 2 ; 4 ] ∪ (0; 5 ],где 4,5 – единственные корни уравнений√︀3 (2 + 2 − 22 )2 − 4 + 2 2 = 22 (1 + 2 ) (2 − 2 )(2 − 2 ), ∈ [−; 0),√︀4 − 3 (2 + 2 − 22 )2 − 2 2 = 22 (1 + 2 ) (2 − 2 )(2 − 2 ), ∈ [; +∞).297Рис.
4.6. Бифуркационная диаграмма Σ4 отображения момента ℱ4 = × .298*AРис. 4.7. Бифуркация тора в тор, которая отвечает * .2994.7. Атлас бифуркационных диаграмм и пример сетевойдиаграммыВ этом разделе приводится атлас бифуркационных диаграмм полного отображения момента ℱ = × × и его фрагмент.
Здесь податласом мы понимаем набор разделяющих кривых на плоскости параметров. На рис. 4.8 по оси абсцисс откладывается уровень энергии ℎ, пооси ординат – отношение . Атлас построен для значений параметров: = 1, = 2. Все кривые, которые формируют атлас, аналитически определяются по бифуркационным диаграммам Σ , = 1, ..., 4. На рис. 4.9приводится “предельный” атлас бифуркационных диаграммРис. 4.8.
Атлас бифуркационных диаграмм полного отображения моментаℱ = × × и его фрагмент.Для построения бифуркационной диаграммы Σℎ0 множества Σ полного отображения момента ℱ = × × на уровне ℎ = ℎ0 необходимозафиксировать значения параметров , . Тем самым определено сечениеатласа с камерами. Для определенной камеры выбираем значения параметров и ℎ0 (сечение изоэнергетической поверхности).
На бифуркационных диаграммах Σ , = 1, . . . , 4 (рис. 4.2 – 4.6) это сечение отмеченопунктирной линией. На указанных диаграммах для выбранного сече300Рис. 4.9. “Предельный” атлас бифуркационных диаграмм.301ния ℎ0 аналитически вычисляются границы, по которым и строится бифуркационная диаграмма Σℎ0 .На рис. 4.10 и 4.11 бифуркационные диаграммы Σℎ0 построены дляследующих значений параметров: = 1, = 25 , = 3, ℎ0 = −0, 25 и = 1, =19100 , = 5, ℎ0 = 15. Мы также приводим “предельную” для 4.11 би-фуркационную диаграмму, которая соответствует камере 25 (Рис. 4.12).На стенках камер указаны как количество компонент (двумерных торов), так и соответствующие бифуркации в системе с тремя степенямисвободы.
Для промежутка (, ), который отвечает системе ℳ1 , количество двумерных торов необходимо удвоить. Пример сетевой диаграммыдля выбранного изоэнергетического сечения (аналога многомерной сетиА Т. Фоменко [133],[132]) указан на рис. 4.13. Такой сетевой диаграммынет среди сетевых диаграмм в задаче о движении волчка Ковалевской вдвойном поле, полный список которых представлен в [56]. Поэтому никакими заменами переменных рассматриваемую систему нельзя преобразовать в известные.4.8. ЗаключениеВ данном разделе диссертации предложен возможный подход к описанию фазовой топологии новой интегрируемой системы с тремя степенями свободы, используя метод критических подсистем. Понятие критической подсистемы было введено М. П. Харламовым в начале 2000-хгодов в задаче исследования фазовой топологии неприводимых систем стремя степенями свободы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
