Диссертация (786043), страница 37
Текст из файла (страница 37)
5.1,b), лежащая строго ниже всех предыдущихкривых.Дальнейшая эволюция диаграммы Смейла связана с появлением сегмента 3′′ в момент 21 = 2 . При этом значении 1 множество 3′′ состоит изединственной точки на оси ℓ = 0, принадлежащей 1 .Лемма 7. При 21 > 2 в полуплоскости ℓ > 0 кривая 3′′ имеет с кривой 1ровно одну точку касания 2 и не имеет с ней точек пересечения.Доказательство. Очевидно, что при таких значениях параметров кривая 3′′ начинается при Ω = 0 на оси ℓ = 0 ниже кривой 1 . Условие пересечения кривой 3′′ с параболой 1 , записанной в явной форме (5.3.3), в320подстановкеΩ2 = 21 − 2 − ,>0(5.3.6)дает уравнение 2 3 () = 0, где3 () = 3 3 + (21 + 0 )2 2 + 20 (221 − 0 ) + 220 (221 − 0 ).Кратный корень = 0 отвечает точке касания в конце промежутка изменения Ω, координаты которой вычисляются так:2 :√︁ℓ = (21 − 0 ),ℎ = (21 − 20 ).Многочлен 3 () при 21 > 2 положительных корней не имеет.Легко проверить, что 3′′ не имеет общих точек с другими кривымив составе диаграммы Смейла.
Отметим еще, что вдоль оси ℓ точка 2всегда лежит левее точки 1 (рис. 5.1,c).Появление нового (и последнего) разделяющего значения 21 = 3связано с возникновением пересечений кривых 3′ и 1 в тот момент, когда на 1 попадает точка возврата кривой 3′ .Лемма 8. В полуплоскости ℓ > 0 кривые 3′ и 1 не имеют общих точекпри 21 < 3 и имеют ровно две точки пересечения при 21 > 3 .Доказательство.
Условие пересечения 3′ с параболой 1 в подстановке(5.3.4) дает, после сокращения на ненулевые сомножители, уравнение3 3 − (21 − 50 )2 2 + 620 + 230 = 0.(5.3.7)Из него выразим 21 как функцию . При > 0 эта функция имеет единственный экстремум, а именно, минимум в точке = (1 +√ 03) ,и тогда из (5.3.7) получим значение 21 = 3 .321Две точки пересечения 3′ с 1 обозначим через 2 , 3 . Аналогично(5.3.5) отметим для этих точек зависимость между 1 и Ω, полученнуюиз (5.3.7):2,3 : 21 =3 3 + 50 2 2 + 620 + 230022,=Ω−(+).13 2(5.3.8)Здесь значение Ω взято в точках семейства 3′ , а в семействе 1 для тех жеточек 1 , 2 оно будет другим.Диаграмма Смейла для случая 21 > 3 показана на рис.
5.1,d.5.4. Показатели Морса и изоэнергетические многообразияПусть ℓ есть ограничение функции на четырехмерное симплектическое многообразие ℓ4 – фазовое пространство приведенной системы. Изоэнергетические многообразия 3ℓ,ℎ – это уровни функции ℓ , аотносительные равновесия на ℓ4 – это критические точки ℓ . Поэтомудля классификации изоэнергетических многообразий нужно найти индекс Морса функции ℓ в точках семейств относительных равновесий,описанных в предложении 24.
В свою очередь, индекс Морса функцииℓ в такой точке равен индексу Морса эффективного потенциала (5.3.1)как функции на сфере 2 () в точках (5.2.6). Индекс Морса как количество отрицательных собственных чисел второго дифференциала инвариантен относительно выбора систем координат. Однако сами собственные числа, которые ниже для краткости назовем показателями Морса, конечно, неинвариантны. Более того, при использовании избыточных координат для строгого вычисления показателей Морса нужно вводить функции с неопределенными множителями Лагранжа.
Этого можно избежать, подобрав подходящим образом дифференциальный оператор, заменяющий второй дифференциал.322Лемма 9 ([54]). Пусть функция определена и дифференцируема вокрестности сферы 2 () = {2 = 2 }. Введем дифференциальный операторD = ×.Тогда критические точки ограничения | 2 определяются уравнениемD = 0,а в качестве показателей для определения индекса Морса можно взятькорни квадратного уравнения(︀)︀1det D2 − = 0.(5.4.1)Очевидно, что какие-либо изменения свойств относительных равновесий внутри семейств, объединенных вдобавок по всем значениямфизических параметров, могут происходить либо при глобальном изменении семейства на разделяющем значении параметров, либо при пересечении точкой семейства одной из отмеченных выше узловых точекдиаграммы Смейла, каковыми являются 1 , 2 , , 1 , 2 , 3 .
По договоренности, фиксируем произвольные положительные параметры , 0 и рассматриваем произвольные значения 1 > 0. В расширенном пространстве R3 (ℓ, ℎ, 1 ) образы семейств относительных равновесий заполнят поверхности . Кривые, образованные множествами узловыми точек, разбивают эти поверхности на подобласти, в которых сохраняются свойства соответствующих относительных равновесий. Подобласти будемснабжать вторым индексом, так что они получат обозначения вида .Поскольку не все поверхности – образы относительных равновесийоднозначно проектируются на координатные плоскости расширенногопространства, оказывается удобным изображать их на плоскости (1 , Ω),где Ω – величина, определяющая угловую скорость относительного равновесия, и одновременно параметр кривых в записи (5.3.2).
Поскольку323мы условились считать все параметры и величину ℓ неотрицательными,то все зависимости можно записать через 21 , Ω2 . Поэтому в дальнейшеммы применяем обозначения = 21 , = Ω2 ,(5.4.2)используемые в том числе и на иллюстрациях.Начнем с семейства 1 . На плоскости (, ) разделяющие кривыеотвечают случаям = 1 (при этом узловыми становятся все точки 1 ,так как из них рождается кривая 4 ), образу точки 2 , которая отвечаетзначению = 0 в (5.3.6) и дает = − 2 ,и образу пары точек 2 , 3 , который в силу (5.3.8) запишется в параметрической форме(0 + )(220 + 40 + 2 2 )=,3 2(220 + 40 + 2 2 )2 =,2 2 (0 + ) > 0.(5.4.3)Здесь = Ω2 отвечает параметру на 1 в записи (5.3.2). Таким образом,возникают четыре типа относительных равновесий в семействе 1 .
Нарис. 5.2,a они обозначены через 11 − 14 .Корни уравнения (5.4.1) в подстановке точек 1 из (5.2.6) имеют вид:1 = (0 − 221 ),2 = Ω2 + (0 − 21 ),и знаки показателей Морса на 1 таковы: (+ +) для 11 ; (− +) для 12 ; (− −)для 13 и для 14 . Число минусов есть индекс Морса функции ℓ в соответствующем относительном равновесии.Рассмотрим семейство 2 . На плоскости (, ) разделяющие кривыеотвечают образу точки 1 , которая отвечает значению = 0 в (5.3.4) идает = (0 + ),324(5.4.4)T1WWT2d24d23I1I3d11d12d14d22XI2d130z1z3z2d21z0z1z3z2(a)z(b)Рис. 5.2.
Разбиение семейств () 1 ; () 2и образу точки 1 , который в силу (5.3.5) запишется в параметрическойформе(0 + )(2 2 − 220 )=,(20 + )2(220 + 20 + 2 2 )2 =,2(0 + )(20 + )2√ 0> 2 .Здесь = Ω2 отвечает параметру на 2 в записи (5.3.2). Кроме того, наплоскости (, ) имеется прямая = 1 , соответствующая значениюпараметра Ω кривой 2√︂Ω=0,2(5.4.5)которое порождает на 2 у всех диаграмм Смейла (см. рис. 5.1) точку√︂300: ℓ=, ℎ=.(5.4.6)22Об этой точке ниже будет сказано особо при вычислении типов. Подчеркнем, что (5.4.5) не имеет отношения к разделяющему значению = 1 .Таким образом, возникают четыре типа относительных равновесийв семействе 2 . На рис. 5.2,b они обозначены через 21 − 24 .325Корни уравнения (5.4.1) в подстановке точек 2 из (5.2.6) имеют вид:1 = −(0 + 221 ),2 = Ω2 − (0 + 21 ).Первый всегда отрицателен, второй меняет знак при переходе через точку 1 согласно (5.4.4).
Итак, знаки показателей Морса на 2 таковы: (− −)для 21 − 23 ; (− +) для 24 , что и определяет индекс Морса приведенногогамильтониана ℓ .WI1d33d32I3d35Cd34I2T1d31Æd360z1z2z3T2zРис. 5.3. Разбиение семейства 3Обратимся к семейству 3 . На плоскости (, ) разделяющие кривые – это образ точек 1 , 2 , которые отвечают значению = 0 в (5.3.4)и значению = 0 в (5.3.6). Используя параметр = Ω2 семейства 3 ,получим2 : = − 2 .1 : = + 2 ,Из (5.3.5) найдем выражения для образов точки возврата и точки пе-326ресечения 1 :3 3 + 30 2 2 − 230(0 + )(220 + 20 + 2 2 ): =, =,420420√0 > ( 3 − 1) ;√ 02(0 + )3( + 0 )(2 2 − 220 ),=,>1 : =2 .( + 20 )2(20 + )2Наконец, образ пары точек 2 , 3 найдем из (5.3.8):2 , 3 :(0 + )(220 + 40 + 2 2 )2(0 + )3=, =,3 23 2 > 0.Отметим, что, в отличие от представления (5.4.3), здесь = Ω2 – параметр семейства 3 .Нанесем полученные кривые на плоскость (, ), получим разбиение семейства 3 на шесть подсемейств, как показано на рис.
5.3. Между прямыми, порожденными точками 1 , 2 , относительных равновесийнет, что соответствует разрыву между подсемействами 3′ и 3′′ .Корни уравнения (5.4.1) в подстановке точек 3 из (5.2.6) простоговыражения не имеют. Для того чтобы установить индекс Морса функции ℓ на семействе 3 , выпишем вначале свободный член уравнения(5.4.1). Отбрасывая заведомо положительные сомножители, получим}︀{︀sgn 1 2 = sgn [2 ( − )2 − 20 ][2 ( − )3 − 20 ( + 3 )] .Первый сомножитель в правой части обращается в нуль в точках 1 , 2 ,являющихся граничными для семейств 3′ , 3′′ , то есть внутри семействвлияния на изменение знаков 1 , 2 он не оказывает.
Более того, он положителен внутри обоих семейств. Обращение в нуль второго сомножителя соответствует, как легко видеть, точке возврата . Поэтому нижекривой, порожденной точкой этот сомножитель отрицателен (например, при = 0), а выше – положителен (что очевидно при больших > 0). Итак, 1 2 < 0 на 31 , 34 , 36 и 1 2 > 0 на 32 , 33 , 35 . Осталось327определить общий знак 1 , 2 для последних трех подсемейств. Запишемвыражение для суммы показателей:1 + 2 = 2 ( − 2 ) +)2 [20 1×+ 2 ( − )2 ( + 2)]( −]︀[︀ 2 2× 0 ( − )2 (5 2 + 3 − 3 2 ) − 4 ( − )4 2 − 40 (3 + 5) == 2 ( − 2 ) + ( −1 ).Очевидно, при больших > 0 эта сумма отрицательна, а так как выше кривой, отвечающей точке возврата , знаки 1 , 2 неизменны, то на32 , 33 , 35 оба показателя отрицательны.Наконец, образ на плоскости (ℓ, ℎ) семейства 4 , существующей приусловии 21 > 1 , не имеет никаких пересечений с другими кривыми, поэтому ни семейство, ни обозначенная так же кривая, дополнительныхразбиений не получают.
Корни уравнения (5.4.1) в подстановке точек 4из (5.2.6) таковы:1 =421 2 − 20,2212 =821 4 (21 + Ω2 )2.20 + 421 2 (21 + 2Ω2 )Очевидно, в области существования они всегда положительны, так чтоздесь положительны все показатели Морса функции ℓ .Найденная информация об относительных равновесиях собрана втабл. 5.4.1 (последний столбец обсуждается в следующем параграфе).Зная количество точек и индекс Морса, находим топологические типы3ℓ,ℎ и характер бифуркаций (в таблице они записаны в направлении возрастания ℎ). В расширенном пространстве R3 (ℓ, ℎ, 1 ) объединение диаграмм Смейла определяет семь областей с непустыми 3ℓ,ℎ (очевидно, чтониже всех парабол 3ℓ,ℎ = ∅).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
