Диссертация (786043), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Этот пуассонов диффеоморфизм (M, ) ↦→ (M, p), переводящий скобку (5.1.1) в скобку (5.6.1) в334общем случае имеет вид [184]p = 1 + 2 ×M,(5.6.2)1 , 2 = const .Очевидно, для того чтобы гамильтониан (5.1.3) перешел в гамильтонианКовалевской1 = (12 + 22 + 232 ) − 1 ,4необходимо положить1 = −1 0 ,2 = −1 1 .(5.6.3)Преобразование, обратное к (5.6.2), запишется в виде[︀ 2]︀2p+M×p+(p·M)M=0 1120 + 21 M2 01 = p + 2[0 M×p + 1 M×(M×p)] .0 + 21 M2 =(5.6.4)Из (5.6.2), (5.6.3) для параметра пучка найдем2 21κ=− 2 ,поэтому нужная нормировка скобки на (3, 1)* достигается выбором параметра .
Функции Казимира для коалгебры g−1 возьмем в виде1 = M · p.2 = p2 − M2 ,Соответствующие константы обозначим через , . Преобразование (5.6.4) с учетом нормировки связывает константы , , и 1 , , ℓ соответствием = 1 ,20 − 41 ℓ2=,21Обратное к нему√︃ √︀0 2 + 4 2 − 1 =,2=0√︃ = 0 1 ℓ.2√︀, 2 + 4 2 − ℓ=Здесь, как и ранее, удобно считать 0 > 0 фиксированным.335.0Таким образом, все известные разделения переменных для случаяКовалевской – Комарова на (3, 1)* переносятся на задачу Ковалевской –Соколова. Полученные в результате зависимости допускают предельныйпереход при 1 → 0 к классическому волчку Ковалевской (как и случай Ковалевской – Комарова, если не нормировать параметр κ). С другой стороны, сам случай Ковалевской – Соколова является предельнымдля обобщенного двухполевого гиростата Соколова – Цыганова, интегрируемость которого доказана в [86] (при обращении в ноль второго однородного поля).
Для полного согласования с исследованиями особых(критических) движений классического волчка Ковалевской [76, 103,114] и гиростата Соколова – Цыганова [66, 89] будем строго следоватьметоду Кёттера.Введем переменные (i 2 = −1)111 = (1 + i 2 ), 2 = (1 − i 2 ), 3 = 3 ,221 = 1 + i 2 ,2 = 1 − i 2 , = 3 ,(5.6.5)и обозначим() = −4 + 2ℎ2 + 40 ℓ − + 21 [2 (2ℎ + 21 2 ) − 4ℓ2 ] + 20 2 ,1(1 , 2 ) = [(1 ) + (2 ) + (12 − 22 )2 ].2Прямое применение метода Кёттера приводит к следующему результату.Предложение 28 ([184]).
Переменные типа Ковалевской√︀√︀(1 , 2 ) − (1 )(2 )(1 , 2 ) + (1 )(2 )1 =, 2 =(1 − 2 )2(1 − 2 )2коммутируют {1 , 2 } = 0 и их динамика описывается разделеннымиуравнениями(1 − 2 )2 ˙ 21 = −2 (1 )(1 ),(1 − 2 )2 ˙ 22 = −2 (2 )(2 ),336где () = [ − (ℎ + 21 2 )]2 − ,() = 3 − 2ℎ2 + [(ℎ + 21 2 )2 + 2 20 − 421 ℓ2 − ] − 220 ℓ2 .Оказывается, что в этой задаче бифуркации первых интегралов вточности соответствуют дискриминантному множеству многочлена,участвующего в разделенных уравнениях, с обычными оговорками вещественности решений.Теорема 41. Бифуркационная диаграмма полного отображения моментаℱ = ×× : 5 → R3случая Ковалевской – Соколова есть отвечающая вещественным решениям часть дискриминантного множества многочлена () = ()(),которое состоит из следующих поверхностей:Π1 :Π2 :Π3 :Π4 : = 0;]︀21 [︀ = 4 21 (ℎ + 21 2 ) + 20 ;41[2 (ℎ + 21 2 ) − 2ℓ2 ]2;=4⎧1⎪2⎪ℓ=(ℎ − )2⎪2⎨0.(︂)︂22⎪44⎪11 322 22 2 2⎪⎩ = 2 + 3 − 2 ℎ − 4ℎ + 0 + (ℎ + 1 )00Доказательство можно получить из результатов работ [66, 89], гдедано описание бифуркационных диаграмм и множества критических точек отображения момента для гиростата в двойном поле.
В частности, вэтих работах множество критических точек отображения момента представлено как объединение так называемых критических подсистем.3375.7. Критическое множество и типы критических точекЧтобы сформулировать описание критического множества отображения момента в случае Ковалевской – Соколова, напомним понятиекритической подсистемы [87–89]. Рассмотрим неприводимую интегрируемую систему с тремя степенями свободы с инволютивным набороминтегралов, который обозначим так же, как и в нашей задаче, через, , . Предположим, для простоты, что в ней отсутствуют фокусныеособенности ранга 1.
Тогда в представлении бифуркационной диаграммы отображения момента в виде двумерного клеточного комплекса, будут отсутствовать изолированные одномерные клетки. ПустьΦ(ℎ, ℓ, ) = 0уравнение двумерной поверхности, несущей на себе некоторую двумерную клетку бифуркационной диаграммы. Рассмотрим систему уравненийΦ = 0,Φ = 0,(5.7.1)в которой вместо (ℎ, ℓ, ) подставлены соответствующие функции. Рангэтой системы на множестве ее решений Φ почти всюду равен двум.
Поэтому множество решений есть замыкание четырехмерного многообразия Φ0 , состоящего целиком из критических точек ранга 2. На Φ индуцируется динамическая система, которая почти всюду гамильтоновас двумя степенями свободы. Множество Φ называем критической подсистемой, порожденной функцией Φ.С другой стороны многообразие Φ0 может быть записано в виде системы инвариантных соотношений1 = 0,2 = 0,(5.7.2)в которой функции 1 , 2 независимы на Φ0 . В таком представлении мож338но говорить, что критическая подсистема Φ = Cl(Φ0 ) определена инвариантными соотношениями (5.7.2).Известно [162], что 2-форма, индуцированная на Φ0 симплектической структурой фазового пространства, вырождается на множестве{1 , 2 } = 0.Замечание 15.
Обычно систему инвариантных соотношений можно выбрать так,чтобы было˙ 1 = κ1 2 ,˙ 2 = κ2 1с некоторыми функциями κ1 , κ2 (точкой обозначено дифференцирование в силу исходной гамильтоновой системы). Тогда (см., например, [72]) скобка {1 , 2 } будет частным интегралом на Φ0 и, следовательно, на его замыкании Φ . В [26] отмечено, чтона многообразиях, сформированных невырожденными критическими точками одногоранга, индуцированная симплектическая структура не вырождается. В частности,это означает, что нулевой уровень частного интеграла {1 , 2 } целиком состоит извырожденных критических точек.В нашем случае механическая система на (3) приводима и, после факторизации по группе симметрий 1 вращений трехмерного пространства вокруг вектора , решения систем вида (5.7.1) заполняют трехмерные многообразия в 5 , расслоенные уровнями интеграла на почтигамильтоновы системы с одной степенью свободы в ℓ4 . В частности, рангом критической точки отображения момента будем называть ее ранг вприведенной системе на ℓ4 .Далее следуем процедуре, описанной в [89], с учетом приводимостинашей системы.
Пусть Φ – функция, порождающая критическую подсистему Φ . Рассмотрим композицию Φ ∘ ℱ функции Φ с отображением момента на всем R6 (M, ) и вычислим характеристический многочлен соответствующего этой функции симплектического оператора, тоесть оператора, задающего линеаризацию гамильтонова векторного по339ля sgrad(Φ ∘ ℱ). Допуская очевидную вольность, обозначим оператор через Φ (строго говоря, здесь в индексе следовало бы указывать Φ ∘ ℱ).
Онимеет четыре нулевых собственных значения. Поэтому здесь через Φ ()обозначим характеристический многочлен Φ , сокращенный на 4 . Тогда Φ () = 2 − , а знак определяет тип критической точки из Φпо отношению к малой площадке, трансверсальной к Φ ∩ ℓ4 в ℓ4 . Дляточки ранга 1 это полный тип, а для точки ранга 0 это называют внешним типом по отношению к подсистеме Φ . Поскольку невырожденныеточки ранга 0 принадлежат трансверсальному пересечению двух критических подсистем или трансверсальному самопересечению одной системы, то они получают два внешних типа, которые и определяют их полный тип в соответствующей приведенной системе.Следующие утверждения относительно критических подсистем имножества критических точек отображения момента случай Ковалевской – Соколова получаются из результатов работ [66, 89] предельнымпереходом при обнулении второго поля, но, конечно, могут быть проверены и непосредственным вычислением.
Для каждой из подсистем вводятся частные интегралы, обозначенные прописными буквами. Их константы обозначаются соответствующими строчными буквами (в том числе, с индексами). Для краткости индуцированной симплектическойструктурой мы называем 2-форму, индуцированную на четномерных подмногообразиях в ℓ4 исходной симплектической структурой на (3)или, что то же самое, симплектической структурой на симплектическихлистах ℓ4 скобки Пуассона. Мы явно указываем, где эта форма имеетточки вырождения. Более того, инвариантные соотношения выбраны всоответствии с замечанием 15 так, чтобы их скобка Пуассона была частным интегралом критической подсистемы, поэтому и множество точеквырождения описано в терминах таких интегралов.340Предложение 29. Множество 1 , заданное системой(1)1 = 0,(1)2 = 0,где1(1)1 = (12 − 22 ) + 1 (2 3 − 3 2 ) + 0 1 − 21 2 ,41(2)1 = 1 2 + 1 (3 1 − 1 3 ) + 0 2 ,2является критической подсистемой случая Ковалевской – Соколова, порожденной функцией Φ1 (ℎ, ℓ, ) = .
На 1 определен частный интеграл(1)(1)1 = {1 , 2 }:11 = (12 + 22 )3 + 1 (1 2 − 2 1 )1 + 0 3 1 − 21 2 3 ,4причем на 1 постоянные интегралов 1 , , связаны соотношением12 = [20 + 221 (ℎ + 21 2 )][2 (ℎ + 21 2 ) − 2ℓ2 ].Нулевой уровень 1 определяет множество точек вырождения индуцированной симплектической структуры в каждом 1 ∩ ℓ4 .
Характеристический многочлен имеет видΦ1 () = 2 + 412 ,в частности, при 1 ̸= 0 все точки ранга 1 из 1 невырождены и имеют тип “центр”. Невырожденные точки ранга 0, лежащие в 1 , имеютвнешний тип “центр”.Предложение 30. Множество 2 , заданное системой(2)1 = 0,где(2)1(2)2(2)2 = 0,√︀20 + 21 (12 + 32 ) 2√︀[1 (3 − 21 2 )3 − 20 21 1 + 20 ],=2221 0 + 1 31223= √︀ 2[(+2)+2212131 1 1 3 +0 + 21 32+0 (0 2 − 221 2 1 + 20 1 3 )],341является критической подсистемой случая Ковалевской – Соколова, порожденной функциейΦ2 (ℎ, ℓ, ) = −]︀1 [︀ 22 22 22(ℎ+)+110 .441(1)(2)На 2 определен частный интеграл 2 = 0 {2 , 2 }:√︁2 = 2 20 + 21 (12 + 32 )[20 + 21 (3 − 21 2 )2 ].Нулевой уровень 2 определяет в каждом 2 ∩ ℓ4 точки вырожденияиндуцированной симплектической структуры.
Характеристическиймногочлен имеет видΦ2 () = 2 +4 2 ,20 2в частности, при 2 ̸= 0 все точки ранга 1 из 2 невырождены и имеют тип “центр”. Невырожденные точки ранга 0, лежащие в 2 , имеютвнешний тип “центр”.Замечание 16. Простое выражение для скобки {2(1) , 2(2) } получено в точках 2 путем исключения переменных 1 , 3 в силу инвариантных соотношений. В этом представлении легко видеть, что на 2 условие 2 = 0 равносильно тому, что 2 = 0.Таким же путем проверяется, что на 2 частным интегралом является функция = √︀220+21 (12+ 32 ),и, кроме уравнения поверхности Π2 , не содержащего ℓ, имеется следующее соотношение на постоянные первых интегралов861 ℓ2 − 20 (20 + 221 ℎ) =212 .2Следующую критическую подсистему удобно записать в переменных (5.6.5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
