Диссертация (786043), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Знание типа критической точки интегрируемой системы позволило ответить на все вопросы, связанные с характером устойчивости проходящей через нее траектории.Исследования представлены в работах [56], [57].∙ Исследована фазовая топология интегрируемых случаев уравненийКирхгофа движения твердого тела в жидкости с дополнительныминтегралом четвертой степени по импульсам (случаи интегрируемости Чаплыгина, Яхья, Горячева, Соколова (2001)). Для случаяинтегрируемости Горячева найдено явное вещественное разделение переменных, основанное на геометрическом подходе к разделению переменных.
Полученные аналитические формулы позволилиисследовать фазовую топологию, в частности, бифуркации лиувиллевых торов, а также устойчивость невырожденных (в смысле особенностей) траекторий.353Указанные исследования представлены в публикациях [59], [60],[61], [62], [63], [58], [64].∙ Для обобщенного двухполевого гиростата (случай интегрируемости Соколова-Цыганова) удалось выделить аналитически четыреновых инвариантных четырехмерных подмногообразия, на которых индуцированная динамическая система является почти всюду гамильтоновой с двумя степенями свободы.
Система уравнений,задающая одно из инвариантных подмногообразий, является обобщением инвариантных соотношений интегрируемого случаяО. И. Богоявленского вращения намагниченного твердого тела воднородном гравитационном и магнитном поле. Остальные три инвариантных подмногообразия являются новыми в динамике твердого тела. Для каждого из них указан дополнительный интеграл.Для описания фазовой топологии всей системы в целом используется метод критических подсистем. Для каждой подсистемы построены бифуркационные диаграммы и указаны бифуркации торов Лиувилля как внутри подсистем, так и во всей системе в целом.Исследования представлены в работах [66], [68].∙ Исследована фазовая топология интегрируемой гамильтоновой системы на (3), найденной В.В.Соколовым (2001) и обобщающей случай Ковалевской.
Обобщение состоит в том, что к однородному потенциальному силовому полю добавлены гироскопические силы,зависящие от конфигурационных переменных.– Классифицированы относительные равновесия, вычислен ихтип, определен характер устойчивости.– Установлены виды диаграмм Смейла и дана классификацияизоэнергетических многообразий приведенных систем с дву354мя степенями свободы.– Множество критических точек полного отображения моментапредставлено в виде объединения четырех критических подсистем, каждая из которых при фиксированных физическихпараметрах является однопараметрическим семейством почтигамильтоновых систем с одной степенью свободы.– Выписаны уравнения поверхностей, несущих бифуркационную диаграмму отображения момента. Приведены изоэнергетические диаграммы с полным описанием соответствующейгрубой топологии (регулярных торов Лиувилля и их бифуркаций).Исследования выполнены в работах [69, 70].Все изложенные результаты могут быть использованы для исследования фазовой топологии более сложных задачах динамики твердого тела в произвольном потенциальном поле и в жидкости [186], [187], [23],[188], [189], в том числе для описания динамической модели левитрона.Полученные в диссертации результаты позволяют находить явные решения и исследовать их устойчивость, что имеет важное значение длярешения прикладных задач механики, в том числе робототехники и мехатроники.355Список литературы1.
Пуанкаре А. Избранные труды. В 3 т. Москва: Наука, 1971.2. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.–Л: ГТТИ, 1947.3. Биркгоф Дж. Д. Динамические системы. Ижевск: Издательскийдом “Удмуртский университет”, 1999.4. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний.Москва: Физматгиз, 1959.5. Четаев Н. Г. Устойчивость движения: работы по аналитическоймеханике.
Москва: Изд-во АН СССР, 1962.6. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.–Л.: Гостехиздат, 1949.7. Зигель К. Л. Лекции по небесной механике.Москва: Изд-воиностр. лит., 1959.8. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. Москва: Наука,1966.9. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. Собр. соч.М.–Л.: Изд-во АН СССР, 1956.10. Mаркеев А. П. Устойчивость плоских колебаний и вращений спутника на круговой орбите // Космич. исслед.
1975. Т. 13, № 3.С. 322–336.11. Брюно А. Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. Москва: Наука, 1979.12. Джакалья Г. Е. Методы возмущений для нелинейных систем.Москва: Наука, 1979.13. Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний.Москва: Гостехиздат, 1956.14. Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики.356Москва: Наука, 1981.15. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методытеории нелинейных колебаний. Москва: Наука, 1974.16. Найфе А.
Х. Введение в методы возмущений. Москва: Мир, 1984.17. Колмогоров А. Н. О сохранении условно-периодических движенийпри малом изменении функции Гамильтона // ДАН СССР. 1954.Т. 98, № 4. С. 527–530.18. Арнольд В. И. Доказательство теоремы А.Н.
Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // УМН. 1963. Т. 18, № 5(113). С. 13–40.19. Арнольд В. И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике // УМН. 1963. Т. 18,№ 6. С. 91–192.20. Мозер Ю. Лекции о гамильтоновых системах. Москва: Мир, 1973.21. Козлов В. В. Методы качественного анализа в динамике твердоготела. Москва: Изд-во МГУ, 1980.22. Козлов В. В.
Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновоймеханике. Ижевск: Изд-во Удмуртского университета, 1995.23. Борисов А. В., Мамаев И. С. Современные методы теории интегрируемых систем. Ижевск: Изд-во РХД, 2003.24. Smale S. Topology and Mechanics. I, II // Inventiones Mathematicae.1970. Vol. 10, no. 4. P. 305–331.25. Харламов М. П. Топологический анализ интегрируемых задач динамики твердого тела. Ленинград: Изд-во ЛГУ, 1988.26. Болсинов А.
В., Фоменко А. Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. В 2-х т. Ижевск:Изд. дом «Удмуртский университет», 1999.27. Болсинов А. В., Рихтер П., Фоменко А. Т. Метод круговых молекул и топология волчка Ковалевской // Математический сборник.3572000. Т. 191, № 2. С. 3–42.28. Комаров И. В. Базис Ковалевской для атома водорода // Теоретическая и математическая физика. 1981.
Т. 47, № 1. С. 67–72.29. Komarov I. V., Kuznetsov V. B. Kowalewski’s top on the Lie algebras (4), (3) and (3, 1) // J. Phys. A: Math. & Gen. 1990. Vol. 23.P. 841–846.30. Yehia H. M. New integrable cases in the dynamics of rigid bodies // Mechanics Research Communications. 1986. Vol.
13, no. 3.P. 173–180.31. Sokolov V. V. A generalized Kowalewski Hamiltonian and new integrable cases on (3) and (4) // In «Kowalevski property», ed.V.B. Kuznetsov, CRM Proceedings and Lect. Notes, AMS.2002.P. 304–315.32. Борисов А. В., Мамаев И. С., Соколов В. В. Новый интегрируемыйслучай на so(4) // Доклады Академии Наук. 2001. Т. 381, № 5.С. 614–615.33. Борисов А. В., Мамаев И. С. Нелинейные скобки Пуассона и изоморфизмы в динамике // Регулярная и хаотическая динамика.1997.
Т. 2, № 3–4. С. 72–89.34. Bogoyavlensky O. I. Euler equations on finite-dimension Lie algebrasarising in physical problems // Commun. Math. Phys. 1984. Vol. 95.P. 307–315.35. Reyman A. G., Semenov Tian-Shansky M. A. Lax representation witha spectral parameter for the Kowalewski top and its generalizations //Lett. Math.
Phys. 1987. Vol. 14, no. 1. P. 55–61.36. Kamchatnov A. M. and Sokolov V. V. Nonlinear waves in two-component Bose-Einstein condensates: Manakov system and Kowalevskiequations // Phys. Rev. A. 2015. Vol. 91. P. 043621–0436211.37. Иртегов В. Д. Об устойчивости маятниковых колебаний гироскопа358С.В. Ковалевской // Тр. Казан. авиац. ин-та. 1968. № 97. С. 38–40.38. Брюм А.
З. Исследование орбитальной устойчивости при помощипервых интегралов // ПММ. 1989. Т. 53, № 6. С. 873–879.39. Маркеев А. П. Об ограниченности траекторий в окрестности орбитально неустойчивого периодического движения гамильтоновойсистемы // ПММ. 2002. Т. 66, № 1. С. 24–32.40. Mаркеев А. П. Об устойчивости плоских движений твердого тела вслучае Ковалевской // ПММ. 2001.
Т. 65, № 1. С. 51–58.41. Mаркеев А. П., Медведев С. В., Чеховская Т. Н. К задаче об устойчивости маятниковых движений твердого тела в случае Ковалевской // Изв. РАН. МТТ. 2003. № 1. С. 3–9.42. Mаркеев А. П. О маятникообразных движениях твердого телав случае Горячева–Чаплыгина // ПММ.2004.Т. 68, № 2.С. 282–293.43. Карапетян А.
В. Инвариантные множества в задаче Горячева–Чаплыгина: существование, устойчивость, ветвление //ПММ. 2006. № 2. С. 221–224.44. Mаркеев А. П. О плоских и близких к плоским вращениях тяжёлого твердого тела вокруг неподвижной точки // Изв. АН СССР МТТ.1988. № 4. С. 29–36.45. Mаркеев А. П. О движении твердого тела с одной неподвижной точкой в случае Стеклова // Изв. РАН. МТТ. 2005.
№ 1. С. 20–33.46. Бардин Б. С. К задаче об устойчивости маятникообразных движений твердого тела в случае Горячева–Чаплыгина // Изв. РАН.МТТ. 2007. № 2. С. 14–21.47. Бардин Б. С. Об орбитальной устойчивости маятникообразныхдвижений твердого тела в случае Бобылева–Стеклова // Нелинейная динамика. 2009. Т. 5, № 4. С. 535–550.48. Бардин Б. С. Савин А. А. Об орбитальной устойчивости маятнико359вых колебаний и вращений симметричного твердого тела с неподвижной точкой // Нелинейная динамика.2012.Т.
8, № 2.С. 249–266.49. Болсинов А. В., Борисов А. В., Мамаев И. С. Топология и устойчивость интегрируемых систем // УМН. 2010. Т. 65, № 2(392).С. 71–132.50. Рябов П. Е. О вычислении бифуркационного множества в случае Ковалевской–Яхьи // Механика твердого тела. 1995. № 27.С. 36–40.51. Kharlamov M. P., Ryabov P. E. The bifurcations of the first integralsin the case of Kowalewski-Yehia // Regular and Chaotic Dynamics.1997. Vol.
2, no. 2. P. 25–40.52. Рябов П. Е. Аналитическая классификация особенностей интегрируемого случая Ковалевской–Яхья // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки. 2010. № 4. С. 25–30.53. Харламова И. И., Рябов П. Е. Электронный атлас бифуркационных диаграмм гиростата Ковалевской–Яхья // Вестн. Удмуртск.ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
