Диссертация (786043), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Обозначим(1)(1)1 = 1 + i 2 ,(1)(1)2 = 1 − i 2 .В частности, интеграл примет вид = 1 2 .342Предложение 31. Замыкание 3 множества, заданного системой(3)1 = 0,где√(3)2 = 0,]︀1 [︀(1 2 + 2 1 ) − i 2 1 (1 − 2 ) ,1 2(︂)︂11 2(3)2 =1 − 2 ,i 12является критической подсистемой случая Ковалевской – Соколова, по(3)1 = 1 2 3 − √рожденной функцией[2 (ℎ + 21 2 ) − 2ℓ2 ]2.Φ3 (ℎ, ℓ, ) = −4На 3 определен частный интеграл[︂(︂)︂]︂√11 21(1 + i 1 )(2 − i 1 ) ++ 21 1 23 = √1 + 21 22 12такой, что(3)(3){1 , 2 } = 22 3 .Нулевой уровень 3 определяет в каждом 3 ∩ ℓ4 точки вырожденияиндуцированной симплектической структуры.В этом случае вырожденные критические точки появляются и не всвязи с вырождением индуцированной симплектической структуры.Предложение 32.
На инвариантном подмножестве 3 определен частный первый интеграл1= 22(︂)︂211 + 2 ,12такой, что постоянные общих интегралов связаны с постоянными интегралов 3 , соотношениями2(32 − 20 ), = 4 ,24( + 1 )1ℎ = −2 ( + 21 ) −(32 − 20 )22( + 1 )ℓ2 =343и характеристический многочлен имеет видΦ3 () = 2 + 44 32 .В частности, при 3 ̸= 0 и ̸= 0 все точки ранга 1 из 3 невырожденыи имеют тип “центр” при > 0 и тип “седло” при < 0. Для невырожденных точек ранга 0 эти же условия определяют внешний тип поотношению к 3 .Устремляя 1 к нулю, нетрудно убедиться, что критическая подсистема 1 есть аналог первого класса Аппельрота случая Ковалевской,критическая подсистема 3 есть аналог второго и третьего классов.
Критическая подсистема 2 является новой, она не имеет такого аналога инепуста лишь при условии 21 > 1 . Так называемые особо замечательныедвижения четвертого класса Аппельрота представляют собой наиболееустойчивую подсистему относительно различных обобщений случая Ковалевской. К ним относятся, например, случай Бобылева – Стеклова иего обобщение на гиростат весьма общего вида [79], обобщения на твердое тело в двойном поле [142, 159] и на гиростат в двойном поле [88].Аналог этого класса движений есть и в рассматриваемой задаче. Порождающую функцию Φ4 (ℎ, ℓ, ) можно получить, исключая из уравненийповерхности Π4 параметр , однако, в таком виде она, как и в классическом случае Ковалевской, оказывается бесполезной.Предложение 33. Множество 4 , заданное системой(4)1 = 0,(4)2 = 0,где1(4)2 = 1 3 − 1 2 1 + 0 3 ,2является критической подсистемой случая Ковалевской – Соколова.
На(4)1 = 2 ,4 имеется частный интеграл=−20 ,1344такой, что постоянные общих интегралов и интеграла связаны уравнениями поверхности Π4 и(4)(4){1 , 2 } = 2 − 3.Условие 2 − 3 = 0 определяет точки вырождения индуцированнойсимплектической структуры в каждом 4 ∩ ℓ4 . Геометрически оно задает ребро возврата поверхности Π4 .Для вычисления типов критических точек порождающая функцияΦ4 слишком сложна. Для нас важно следующее из уравнений поверхности Π4 соотношение на дифференциалы общих интегралов4(20 + 221 )ℓ + − 2(ℎ + 21 2 − ) = 0.Учитывая, что есть функция Казимира скобки Пуассона и, значит,sgrad ≡ 0, рассмотрим функциюΦ̃4 = − 2(ℎ + 21 2 − )ℎ.Очевидно, что на 4 тождественно sgrad Φ̃4 = 0, где косой градиент берется, конечно, от композиции Φ̃4 с отображением момента.
Более того,для упрощения процедуры следует до вычисления косого градиента иего линеаризации (то есть искомого симплектического оператора) считать коэффициент 2(ℎ + 21 2 − ) произвольной константой, и лишь послевычисления подставить в него функции , .Предложение 34. На инвариантном подмножестве 3 характеристический многочлен симплектического оператора имеет видΦ̃4 () = 2 − 4 ,где4 = 2(20 + 221 )(3 − 2ℎ)(20 2 − 2ℎ + 22 ).345В частности, при 4 ̸= 0 все точки ранга 1 из 4 невырождены и имеюттип “центр” при 4 < 0 и тип “седло” при 4 > 0. Для невырожденныхточек ранга 0 эти же условия определяют внешний тип по отношениюк 4 .Теорема 42. Множество критических точек отображения моментаслучая Ковалевской – Соколова является объединением инвариантныхподмножеств, служащих фазовыми пространствами перечисленныхвыше четырех критических подсистем,=4⋃︁ .=1Невырожденные точки ранга 0 являются трансверсальными пересечениями двух открытых подмножеств критических подсистем и типточек ранга 0 определяются парой внешних типов, вычисленных длякритических подсистем.Для доказательства отметим вначале, что критические точки произвольной функции на 5 определяются уравнениями (см.
лемму 9)M = 0,D = 0.(5.7.3)Критические точки уже изучены. Поэтому в линейных комбинациях дифференциалов можно один из коэффициентов при остальных интегралах считать ненулевым. Записывая условия (5.7.3) для комбинации вида − , получим подсистемы 1 , 2 . Таким образом, эти подсистемы отражают зависимость и без учета их ограничения на уровень функции . В частности, для оставшихся критических точек мыможем считать ненулевым коэффициент при дифференциале . Вводяфункцию = − − , запишем условия (5.7.3) и исключим из них, .
Получим систему инвариантных соотношений, ранг которой в искомых точках должен равняться двум. Легко проверить, что каждое из346этих уравнений можно записать в двух видах()()1 1 + 2 2 = 0( = 3, 4).Вначале запишем систему для = 3, затем, предполагая, что вектор(3)(3)(1 , 2 ) ненулевой, исключим эти функции. Полученные уравнения(4)(4)представим в том же виде для = 4.
Предполагая вектор (1 , 2 ) ненулевым, исключим и эти функции. Возьмем любое независимое уравнение вида = 0 из оставшихся и убедимся, что в силу исходной системы дифференциальных уравнений ¨ не обращается в нуль тождественно при = 0 и ˙ = 0. Таким образом, ранг оставшейся системы инвариантных соотношений больше двух, и она может порождать толькокритические точки ранга 0, которые уже известны.Трансверсальность пересечений (или самопересечений) критических подсистем в невырожденных точках ранга 0 следует из существования двух вычисленных выше внешних типов. Теорема доказана.5.8. Примеры изоэнергетических диаграмм и грубаятопологияВ силу того, что уровни энергии компактны, что следует, например,из представления функции в виде (5.2.1), удобно рассматривать бифуркационные диаграммы ограничения отображения момента на изоэнергетические уровни, то есть ограничения отображения × на четырехмерные многообразия 5 ∩ { = ℎ}.
Конечно, такие диаграммы –это сечения общей бифуркационной диаграммы отображения моментаплоскостями ℎ = const. С этой целью и уравнения несущих поверхностейΠ1 − Π4 записаны так, чтобы в них величина ℎ играла роль параметра.Для описания грубой топологии мы приводим оснащенные диаграммы,то есть такие, в которых на каждом ребре указан атом происходящей би347фуркации, а в непустых клетках дополнения указано количество торовЛиувилля.k ÆAA22Td111T2C222T22A2AdB2A2B4A233 4TAd24d42C22A*22Td36C2d21 B2ABℓd4222T2A*2T2 4T2Æ2TBB2BA22d1224A4T1TA2A2T2AÆ2A22d13kÆA2T2A2T22T2B 2B2A2T1TB2T2A2B2ℓkAAAÆ2T2Bd42A1T22T2A*Æk ÆAd222BB d132B2AÆ2B22Aℓ4T4Ad36ℓРис.
5.4. Примеры оснащенных бифуркационных диаграммПолная классификация изоэнергетических диаграмм полученав [70]. Считая, как и ранее, параметры 0 , заданными, рассмотрим кривые на плоскости (1 , ℎ), которые служат образами вырожденных точекранга 0 и экстремальных значений на семействах вырожденных решений ранга 1 [54]. Полученные кривые оказываются разделяющим множеством при классификации изоэнергетических диаграмм. Так, дляволчка в двойном поле таких диаграмм получилось 19 (см. [149]), а длягиростата Ковалевской – Яхья имеется 33 диаграммы (см. [53, 90].
Нарис. 5.4 – 5.5 приведены примеры оснащенных диаграмм, на которых348d42AkÆ A2A*22TA1T2T22TB22C222TB2A*22T2A2B2A2AB2d22d13d32d31 d362TÆ1T2B2T2d22 (d23)4T22B B d2T22B13(d14)24T2A4A2Ad32 (d35) d31 (d34) d36ℓ2B4AℓРис. 5.5. Пример оснащенной бифуркационной диаграммы с фрагментомвидны все найденные выше невырожденные критические точки ранга0. Естественно, диаграммы в целом симметричны относительно оси .Типы бифуркаций в седловых особенностях ранга 1 определяются предельным переходом из задачи о гиростате в двойном поле [66].Отметим, что представители пар классов (13 , 14 ), (22 , 23 ), (31 , 34 )и тройки классов (32 , 33 , 35 ) как точки ранга 0 на самом деле не отличаются: точку одного из таких классов можно непрерывно перевести врасширенном фазовом пространстве в точку другого класса, не пересекая множества вырожденных точек ранга 0.
На рисунке фрагмента варианты расположения точек в эквивалентных по существу диаграммахуказаны в скобках. В плоскости параметров (, ) такие классы разделены следами точек 1 , 2 , 3 трансверсального пересечения кривых .На изоэнергетических диаграммах они различаются порядком проекций всего набора точек, отвечающих относительным равновесиям, наось ℓ. Глобальное топологическое отличие здесь в том, что при пересечении соответствующих значений (ℓ, ℎ) происходят, как показано вышев табл.
5.4.1, различные бифуркации трехмерных изоэнергетическихмногообразий приведенных систем, а изменение порядка проекций влечет изменение набора тонких инвариантов Фоменко – Цишанга, отвеча349ющих фиксированному значению энергии.hg2 Bd¢3g4T1I1XA2ADg3hd2Cg2Bd1ET2FA3d²3g1d2XA23GA1FT1A T2DI2A g3 IℓA1g4I1d4Cd¢3Cd²3d1Eg1 d4ℓCA3A4A4Рис. 5.6. Примеры диаграмм Смейла – ФоменкоРассматривая сечения изоэнергетических оснащенных диаграммпрямыми ℓ = const, получим соответствующие грубые инварианты Фоменко на трехмерных изоэнергетических уровнях 3ℓ,ℎ приведенных систем.
Основные примеры таких инвариантов можно извлечь из представленных рисунков. Для их полной классификации нужно на плоскость (ℓ, ℎ) нанести в дополнение к диаграммам Смейла кривые, которые являются образами вырожденных точек ранга 1. Из предложения29, замечания 16 и предложений 32, 34 следуют уравнения этих кривых:1 : 2ℓ2 − 2 (ℎ + 21 2 ) = 0,2 : 861 ℓ2 − 20 (20 + 221 ℎ) = 0,3 : 4ℎ3 − 2720 ℓ2 = 0,4 : 8ℓ4 − 42 ℎℓ2 + 20 6 = 0.Полученное множество называют диаграммой Смейла – Фоменко. Этадиаграмма служит разделяющим множеством для различных инвариантов Фоменко – Цишанга. Отметим, что теперь иначе объяснимо и появление точки на диаграммах Смейла – в ней сходятся две последние350разделяющие кривые. Примеры диаграмм Смейла – Фоменко показанына рис.
5.6.Классификация всех диаграмм Смейла – Фоменко получена в [70].Пример такой классификации (для случая Ковалевской – Яхья) имеется работе [54].Теперь, исходя из грубой топологии четырехмерных изоэнергетических уровней, представленной оснащенными изоэнергетическимидиаграммами, устанавливаем вид 4-атома (и, соответственно, круговоймолекулы) для всех точек ранга 0 типа “седло-седло”, то есть в тех случаях, где такой 4-атом не определен однозначно типом самой точки. В данном случае, получаем атом × для точек 13 , 14 , 22 , 23 и атом (×2 )/Z2для точек единственного класса 21 .В заключение отметим, что все полученные здесь результаты, в силу эквивалентности задач, автоматически переносятся на задачу о волчке Ковалевской на коалгебре (3, 1)* .
В описании критического множества отображения момента имеется определенное соответствие с уравнениями для волчка Ковалевской на (4)* , полученными в работе [185],однако, последние не представлены в “неприводимой” форме систем минимального ранга и не позволяют явным образом вычислять типы критических точек.351ЗаключениеВ заключении приведем выводы, которые были представлены в диссертационной работе.∙ Изложены строго обоснованные результаты по аналитическим решениям и топологическому анализу интегрируемого случая Ковалевской – Яхья:– представлена полная аналитическая классификация бифуркаций гиростата Ковалевской–Яхья, возникающих в особых периодических движениях (критических точках ранга 1 отображения момента);– найдены все разделяющие значения гиростатического момента при классификации диаграмм Смейла;– разработан «конструктор» построения инвариантов, применение которого дало полное описание грубой топологии этого интегрируемого случая;– доказано, что имеется девять групп эквивалентных инвариантов (без меток), содержащих 22 устойчивых графа и 6 неустойчивых по отношению к количеству критических окружностейна критических уровнях;– обоснованы результаты об устойчивости периодических решений, полученные при помощи бифуркационной диаграммы;приведено полное описание динамики системы в окрестностиособых (критических) периодических траекторий.Перечисленные выше результаты представлены в публикациях [51],[52], [53], [54].352∙ Приводится полное исследование неприводимой системы с тремястепенями свободы, которая описывает движение волчка Ковалевской в двойном поле:– приводится описание критических подсистем и бифуркационных диаграмм;– дана классификация всех невырожденных критических точек– положений равновесия (невырожденных особенностей ранга0), особых периодических движений (невырожденных особенностей ранга 1), а также критических двухчастотных движений (невырожденных особенностей ранга 2);– предъявлены явные формулы характеристических уравненийдля собственных чисел соответствующих симплектическихоператоров, которые и определяют тип невырожденной особенности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
