Диссертация (786043), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Эти области обозначены через A − G. Вслучае рис. 5.1,a все эти многообразия известны из случая Ковалевской3[102]: A) 3 ; B) R 3 ; C) 2 × 1 ; D) 23 . Здесь и далее через обозначенасвязная сумма экземпляров 2 × 1 . Такое изоэнергетическое многообразие получается в схеме Смейла как приведенное расслоение окруж328ностей над двумерным диском с дырками. В частности, естественносчитать 03 = 3 , 13 = 2 × 1 .
Для области E получим 3ℓ,ℎ = 2 3 изочевидной бифуркации на 4 (рис. 5.1,b). В область F удобно спуститься из области A через точку семейства 13 с индексом Морса 2, что соответствует вырезанию дырки в диске на сфере 2 (), отвечающем области A. Поэтому многообразие 3ℓ,ℎ в области F связно и диффеоморфно 2 × 1 . В частности, переход к нему из области E через пару точек семейства 36 – это приклейка двух ручек к двум сферам так, что результат связен, то есть хотя бы одна ручка приклеивается своими концамик разным сферам. Наконец, в область G также удобно спуститься из области A через точку семейства 14 с индексом Морса 2, что соответствуетвырезанию дырки в диске на сфере 2 (), отвечающем области D, который уже имеет две дырки.
Поэтому результатом для G является 33 .Интересно отметить, что изоэнергетическое многообразие 33 в классической динамике твердого тела (движение вокруг неподвижной точки вполе только силы тяжести) возможно в случае общего положения центра масс [177] (историю вопроса можно найти в [99]), однако, в интегрируемых задачах оно ранее появлялось лишь в случаях Клебша [178] иСоколова [145] для задачи Кирхгофа движения тела в жидкости (что всоответствующей задаче о движении вокруг неподвижной точки в первом случае означает наличие центрального ньютоновского поля вместополя силы тяжести, а во втором предполагает наличие гироскопическихсил, зависящих от ориентации тела).
Изоэнергетические многообразияслучая Клебша классифицированы в работе [100] (где, собственно, впервые и обнаружилось изоэнергетическое многообразие 33 ), фазовая топология случая Соколова изучена в работе [63]. Случай Соколова для уравнений Кирхгофа является предельным для рассматриваемой здесь задачи при 0 → 0. При таком переходе сохраняются области B, C, E, F, G, ановых областей не возникает. В частности, любая из областей A − G при329деформации параметров имеет выход либо на классический случай Ковалевской (1 = 0), либо на случай Соколова для уравнений Кирхгофа(0 = 0).Таблица 5.4.1. Классы относительных равновесийК-воИндексточекМорса11101211131141221122СегментыБифуркация 3ℓ,ℎТип[1 , ∞)∅ → 3“центр-центр”2 3 → 3 # 3 = 3“центр-седло” 2 × 2 → 3“седло-седло”[3 , 2 ], ()33 → 23“седло-седло”2[2 , ] 3 → R 3“седло-седло”12[, 1 ] 3 → R 3“седло-седло”2312[1 , 1 ]23 → 2 × 1“седло-седло”2411[1 , ∞) 3 → 2 × 1“центр-седло”3121 3 → 23“центр-седло”23 → 3“центр-центр”Код[1 , ∞), ()[2 , ∞), (, )2[1 , 2 ], ()[1 , 3 ] ∪ [2 , ∞), ()[1 , ], (, , )[1 , 2 ], ()3222[, 1 ], (, , )[3 , 1 ], ()3322[1 , ∞) 2 × 1 → R 3“центр-центр”3421[2 , ], () 2 × 1 → 33“центр-седло”3522[, 3 ], ()33 → 2 × 1“центр-центр”3621[3 , 2 ], (, )2 3 → 2 × 1“центр-седло”420[4 , ∞), (, , )∅ → 2 3“центр-центр”5.5.
Типы и устойчивость относительных равновесийХорошо известно [8], что в неподвижной точке матрица линеаризации канонических уравнений с гамильтонианом задает оператор :R6 → R6 , у которого характеристический многочлен содержит только330четные степени. Соответствующие собственные числа полностью определяют характер устойчивости, если все они различны. В силу вырожденности скобки (5.1.1) или, что то же самое, в силу наличия интегралов(5.1.4), два собственных числа оператора нулевые. Обозначим через () характеристический многочлен , сокращенный на 2 .
Очевидно, многочлен () есть биквадрат. Заменяя в уравнениях (5.1.2) гамильтониан на первый интеграл , той же процедурой получим оператор и биквадратный трехчлен ().Полагая = 2 и используя формулы (5.2.6) выпишем явно квадраты корней () в точках найденных семейств относительных равновесий:1 :12 :1⎧⎪⎪⎪⎨3 :⎪⎪⎪⎩.4 :.[︁]︁0 )︁0222=−, 2 = (1 − ) − Ω ;2(︁)︁[︁]︁0022222= 1 +, 2 = (1 + ) − Ω ;2[︂]︂22 (21 + Ω2 )1 = − 2(21 − Ω2 )2 − 0222(1 − Ω )]︂ ;[︂222 =(21 − Ω2 )3 + 02 (21 + 3Ω2 )2224(1 − Ω )2(︁21[︂]︂2 4201 = − 2 1 − 2 ,142 = −2 (21 + Ω2 ).Напомним, что в гамильтоновой системе с двумя степенями свободы, имеющей два функционально независимых первых интеграла , ,тип неподвижной точки определяется для так называемых невырожденных точек. Критерий невырожденности состоит в том, что операторы , линейно независимы и найдется такая их линейная комбинация, у которой все собственные числа различны [26, 122].
Пусть такая комбинация. Оператор называется в этом случае регулярнымэлементом (алгебры симплектических операторов, порожденной парой , ). Говорят, что неподвижная точка имеет тип “центр-центр”, есливсе собственные числа чисто мнимые, тип “седло-седло”, если все они331вещественные, и тип “центр-седло”, если одна пара собственных чиселчисто мнимая, а вторая вещественна.
Теоретически имеется еще одинслучай, когда собственные числа имеют вид (± ± i ) с ̸= 0. Такиенеподвижные точки называются фокусными. При этом характеристический многочлен регулярного элемента неприводим над R. Однако ужеиз полученных выражений для () следует, что в рассматриваемой задаче фокусных точек нет.Найденные значения показывают, что многочлен () имеет нулевые корни только в некоторых из случаев, отмеченных выше как разделяющие для семейств . Более точно, нулевые корни существуют∙ в семействе 1 лишь при значении 21 = 1 , когда от 1 отщепляетсясемейство 4 , и в точке 2 ;∙ в семействе 2 только в точке 1 ;∙ в семействе 3 только в точках 1 , 2 и .В семействе 4 , за исключением момента его появления, все корни () чисто мнимые.Рассмотрим возможность другого типа вырождения, а именно, случай наличия двух одинаковых пар корней 1 = 2 .
На кривых 1 , 4 это,очевидно, невозможно. На кривой 2 это равенство дает значение (5.4.5),которому отвечает точка (5.4.6) на диаграммах Смейла. При этом совпадающие пары вещественны. Вычисляя многочлен Φ () для произвольной комбинации Φ = κ1 + κ2 , убеждаемся, что совпадение пар корней сохраняется для относительного равновесия в прообразе точки для любого такого интеграла Φ.
Поэтому это относительное равновесиевсегда вырождено, хотя на характер бифуркации 3ℓ,ℎ это не влияет, ипо-прежнему касательное пространство к ℓ4 можно разложить в прямую сумму плоскостей, в проекции на каждую из которых соответству332ющая неподвижная точка приведенной системы будет выглядеть седловой. Заметим, что операторы и остаются в этой точке линейнонезависимыми.На кривой 3 в обозначениях (5.4.2) равенство 1 = 2 дает2 ( − )2 (3 + 5) − 20 ( + 3) = 0.Выполним подстановку = + 2 .
Из условий для параметров на кривой 3 следует, что || > 1. Получим0 (32 − 1),=4 22 − 10 (52 − 3) =−,4 22 − 1то есть , должны иметь разные знаки, что невозможно. Итак, на кривой 3 случаев 1 = 2 нет.В результате приходим к следующему утверждению.Предложение 27. В интегрируемом случае Ковалевской – Соколова всеотносительные равновесия невырождены, за исключением тех, которые лежат в прообразе точек 1 , 2 , , , и всех относительных равновесий совпадающих семейств 1 = 4 при разделяющем значении параметров 21 = 1 .
Невырожденные относительные равновесия имеюттип, указанный в последнем столбце табл. 5.4.1.Поскольку все типы относительных равновесий удалось определить,исходя из многочлена (), то они полностью определяют характерустойчивости соответствующих неподвижных точек приведенной системы: точки типа “центр-центр” устойчивы по всем переменным, точкитипа “седло-седло” неустойчивы по всем переменным, а точки типа“центр-седло” устойчивы по двум переменным, а по двум – неустойчивы.Топология так называемой насыщенной четырехмерной окрестности неподвижной точки интегрируемой системы с двумя степенями сво333боды полностью определена типом для точек “центр-центр” и “центрседло” [26, 122].
Для седловых особенностей возможны различные варианты. Их определение требует знания топологии двумерных регулярных уровней первых интегралов приведенных систем в окрестности неподвижных точек и характера их бифуркаций. Следующий раздел содержит необходимую информацию по грубой топологии рассматриваемойзадачи.5.6. Разделение переменных и дискриминантныеповерхностиСистема на коалгебре g0 со скобкой (5.1.1) и гамильтонианом (5.1.3)тесно связана с обобщением случая Ковалевской на пучок коалгебрgκ = {(M, p)} (κ ̸= 0), в котором скобка Пуассона имеет вид{ , } = ,{ , } = ,{ , } = κ .(5.6.1)Это обобщение найдено в работе [28], там же предложена цепочка заменпеременных, приводящих в конечном итоге к разделенным уравнениямтипа Ковалевской.
Более подробно этот результат представлен в работе[29]. Во многих публикациях имеются модификации разделения переменных для этой задачи (см., например, [179–182]). Формулы построения разделения переменных в [181, 182], по существу, следуют тому варианту, который предложил Кёттер [183] для классического случая Ковалевской, однако, полученные переменные разделения все же не коммутируют. Чтобы записать результат разделения для рассматриваемойздесь задачи, рассмотрим диффеоморфизм коалгебры g0 на коалгебру gκс κ < 0, которая, как известно, есть (3, 1)* , причем нормировкой вектора p всегда можно добиться равенства κ = −1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
