Диссертация (786043), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Таким образом, справедлива теорема.Теорема 38. Критическая подсистема ℳℒ2 , заданная соотношениями(4.3.10), определяет в почти всюду инвариантное четырехмерное подмногообразие и индуцированная динамическая система является почти всюду гамильтоновой с двумя степенями свободы.Системы инвариантных соотношений (4.3.8) и (4.3.10) можно использовать при вычислении типа критической точки 0 ранга 2 в интегрируемой системе с тремя степенями свободы в смысле определения[26].
Знание типа критической точки интегрируемой системы отвечаети на все вопросы, связанные с характером устойчивости проходящей через нее траектории.Рассмотрим первый интеграл Φℒ , который обладает свойствомΦℒ (0 ) = 0 и Φℒ ̸= 0 в окрестности некоторой точки 0 ∈ ℳℒ . Тогда,в частности, точка 0 оказывается неподвижной для гамильтонова поляsgrad Φℒ и можно вычислить линеаризацию этого поля в точке 0 – симплектический оператор Φℒ в шестимерном касательном пространствек фазовому пространству в точке 0 . Этот оператор будет иметь четыренулевых собственных числа, оставшийся сомножитель характеристического многочлена имеет вид 2 − Φℒ . При Φℒ < 0 получим точку типа278“центр” (соответствующий двумерный тор – эллиптический, являетсяустойчивым многообразием в фазовом пространстве, пределом концентрического семейства трехмерных регулярных торов), а при > 0 получим точку типа “седло” (соответствующий двумерный тор – гиперболический, существуют движения, асимптотические к этому тору, лежащие на трехмерных сепаратрисных поверхностях).В нашем случае ситуация осложнена тем, что фазовое пространствозадано в R9 тремя неявными уравнениями (4.1.10) и вычислять ограничения операторов на касательные пространства затруднительно.
Однакофункции в левых частях уравнений (4.1.10) служат функциями Казимира для естественного продолжения на R9 скобки Пуассона симплектической структуры пространства , поэтому при вычислении симплектических операторов вида Φℒ они лишь добавят три нулевых корня вхарактеристический многочлен, имеющий в целом девятую степень. Таким образом, мы заранее знаем, что при условии sgrad Φℒ = 0 искомыйкоэффициент Φℒ есть коэффициент при 7 в характеристическом многочлене Φℒ () оператора Φℒ в R9 . Предложенный в [65] метод вычисления характеристического многочлена приводит к уравнению:Φℒ () = −7 (2 − Φℒ ),где Φℒ =1trace(2Φℒ ).2Сам же оператор Φℒ вычисляется и при наличии вырожденных скобокПуассона (для рассматриваемого здесь пространства R9 они определеныявно формулами (4.1.5)).Теорема 39.
В точках критической подсистемы ℳℒ1 коэффициент характеристического многочлена Φℒ1 определяется формулойΦℒ1 = 02 ,279где через 0 обозначена постоянная дополнительного интеграла 0 .Таким образом, любой двумерный тор {( , , ) ∈ ℳℒ : = ℎ,0 = 0 } имеет гиперболический тип за исключением, когда постояннаядополнительного интеграла 0 обращается в нуль.Теорема 40. В точках критической подсистемы ℳℒ2 коэффициент характеристического многочлена Φℒ2 определяется выражениемΦℒ2 = 16ℎ[ℎ(2 + 2 ) − 2].Коэффициент Φℒ2 обращается в нуль в точках касания поверхностей (4.2.6) и (4.2.8), если положить в уравнение поверхности (4.2.8)параметр деформации 2 равным нулю. Таким образом, точки критической подсистемы ℳℒ2 имеют как эллиптический тип (Φℒ2 < 0), так игиперболический (Φℒ2 > 0) тип.Если параметры деформаций 1 и 2 отличны от нуля, а параметр гиростатического момента равен нулю, соответствующие поверхности,заданные соотношениями (4.2.9) и (4.2.10), также порождают инвариантные почти всюду четырехмерные подмногообразия.
В следующихразделах 4.4 и 4.5 мы укажем явные уравнения этих четырехмерныхподмногообразий. Особый интерес может представлять задача определения инвариантных соотношений, отвечающей параметрически заданной поверхности (4.2.8), для которой параметры деформаций 1 , 2 и параметр гиростатического момента отличны нуля.2804.4. Первая система – обобщение интегрируемого случаяБогоявленского в динамике твердого телаПри отсутствии постоянного гиростатического момента (параметр равен нулю) дополнительные интегралы (4.1.7) принимают вид: = 12 + 22 , = 2 + 2 + 23 − 22 2 − 2 2 1 +(4.4.1)+2[2 (3 1 − 1 3 ) + 2 (2 3 − 3 2 )],где111 = (12 − 22 ) + 1 − 2 + (3 2 − 2 3 + 3 1 − 1 3 ) − 2 (2 − 2 ),222 = 1 2 + 2 + 1 + (1 3 − 3 1 + 3 2 − 2 3 ).Здесь и далее для краткости положили = 1 и 2 = 1.Рассмотрим фазовое пространство , задаваемое уравнениями(4.1.10).Предложение 20.
Система соотношений1 = 0,2 = 0(4.4.2)определяет инвариантное четырехмерное подмногообразие ℳ1 фазового пространства уравнений (4.1.3) с гамильтонианом = 12 + 22 + 232 − 2(1 + 2 ) + 2(2 3 − 3 2 + 3 1 − 1 3 ) (4.4.3)Доказательство. Действительно, с учетом (4.1.10) и (4.4.2) имеем:˙ 1 = {, 1 } = 43 2 = 0,˙ 2 = {, 2 } = −43 1 = 0.281Предложение 21. Функция0 = {1 , 2 } == [12 + 22 + 22 (1 2 − 2 1 ) − 2 (2 + 2 )]3 + 2(1 3 + 2 3 )++22 [1 (2 3 − 3 2 ) − 2 (1 3 − 3 1 )]++2[1 2 (1 − 2 ) − 12 2 + 22 1 ]является первым интегралом на подмногообразии ℳ1 , заданном уравнениями (4.4.2).Доказательство.
Действительно, в силу тождества Якоби, правилаЛейбница и уравнений (4.4.2), находим:˙ 0 = {, 0 } = {, {1 , 2 }} = 41 {3 , 1 } + 42 {3 , 2 } = 0.Отметим, что система уравнений (4.4.2) является обобщением инвариантных соотношений интегрируемого случая Богоявленского в динамике твердого тела [34, формула (6.6), c. 904].В точках подмногообразия ℳ1 непосредственно проверяется справедливость следующего тождества, которое является обобщением соответствующей формулы работы [157]:{2 + 2 [2 (2 + 2 ) + ]}[(2 + 2 ) − 2 + 2 (2 − 2 )2 ] − 02 = 0.Перечислим формально (без условия существования) все положения равновесия ( , , ) и их образы в R3 (ℎ, , ).
Положения равновесияявляются особенностями ранга 0 отображения момента ℱ = × × ,порождаемого первыми интегралами (4.4.1), (4.4.3). Особенности ранга0 образуют нульмерный остов Σ0 бифуркационной диаграммы Σ (образа282множества критических значений отображения момента):(︃)︃√√2 4 − 112 4 − 11,2 = 0, ∓, 0, 2 , 0, ±, 0, , 0 ,2(︂)︂1 + 2 4 + 22 (2 − 1)4 ( + 2 4 + 22 2 )1,2 = −,,−,2442)︃(︃√√24241 −1 −13,4 = 0, ∓, 0, 2 , 0, ±, 0, −, 0 ,2(︂)︂1 + 2 4 − 22 (2 + 1)4 ( + 2 4 − 22 2 )3,4 = −,,−,2442(︃ √5,6 =±2 4−1, 0, 0, , 0, 0, 0,1,±2√2 42−1)︃,)︂(︂1 + 2 4 + 22 (2 − 1)4 ( + 2 4 + 22 2 ),,−,5,6 = −2442)︃(︃ √√2424 −11 −1, 0, 0, −, 0, 0, 0, 2 , ±,7,8 = ±2(︂)︂1 + 2 4 − 22 (2 + 1)4 ( + 2 4 − 22 2 )7,8 = −,,−,24429,10,11,12 = (0, ±, 0, 0, 0, ±, 0) ,(︂)︂19,10,11,12 = ∓2( ± ), ( ∓ )2 [2 ( ± ) − 2]2 , ∓2( ± ) ,4(︃√√√︀2 4 − 1 12 4 − 113−16 = 0, ∓ 2 − 2 , ∓, 2, ∓,2)︃√√︀2 4 − 1 1± 2 − 2 , ±, 2, 0 ,2(︂ 4 2)︂2 + 2 + 22 2 4 ( + 2 ) + 2, 0, −,13−16 = −22283(︃√︀4 ( + )2 − 4217,18 = 0, 0, ±, 2,2 ( + ))︃√︀√︀4 ( + )2 − 44 ( + )2 − 42±, 0, ∓, 2,0 ,( + )2( + )2 ( + ))︂(︂ 4[4 ( + )2 + 4] ( + )2 + 4, 0, −,17,18 = −2222(︃√︀4 ( − )2 − 4219,20 = 0, 0, ±, 2,2 ( − ))︃√︀√︀4 ( − )2 − 44 ( − )2 − 42±, 0, ±,− 2,0 ,( − )2( − )2 ( − ))︂(︂ 4[4 ( − )2 + 4] ( − )2 + 4, 0,.19,20 = −2222√︁12При > max{ √ ; −} подмногообразие ℳ1 содержит положенияравновесия 13−20 .
Наличие особенностей ранга 0 в системе ℳ1 и их аналитическая классификация по типу позволяет применить метод круговых молекул для анализа бифуркаций торов Лиувилля и построения инварианта Фоменко-Цишанга [129], [133]. Соответствующая бифуркационная диаграмма Σ1 отображения момента ℱ1 = × 0 изображена нарис. 4.2. Здесь же указаны бифуркации торов Лиувилля.На рис. 4.3 приведена “предельная” бифуркационная диаграмма.При указанных значениях параметра деформации параметризацию бифуркационной диаграммы Σ1 явно можно описать следующимобразом:⎧√︀22 2222⎪ℎ=−(+)+2(2+)−(1+)(2 − 2 )(2 − 2 ),⎪⎪⎪⎪⎪⎪√︁⎪√︀⎪2⎪22⎪⎨ 0 = ± (1 + ) [ (2 − 2 )(2 − 2 ) − 2 ] − ×1 :√︀√︀√︀⎪⎪42 − 2 )(2 − 2 )( 2 − 2 +⎪×(2 − 2 ),⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ ∈ [− 1 ; 0),2284Рис.
4.2. Бифуркационная диаграмма Σ1 отображения момента ℱ1 = × 0 .285Рис. 4.3. “Предельная” бифуркационная диаграмма.286⎧√︀22 2222⎪ℎ=−(+)+2(2+)+(1+)(2 − 2 )(2 − 2 ),⎪⎪⎪⎪⎪⎪√︁⎪√︀⎪2⎪2⎪⎨ 0 = ± (1 + ) 2 [ (2 − 2 )(2 − 2 ) + 2 ] + ×2 :√︀√︀√︀⎪⎪4222222⎪× ( − )( − )( − − 2 − 2 ),⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ ∈ [−; − 1 ],2⎧√︀22 2222⎪⎪ℎ=−(+)+2(2+)−(1+)(2 − 2 )(2 − 2 ),⎪⎪⎪⎪⎪√︁⎪√︀⎪2⎪2⎪22⎨ 0 = ± (1 + ) [ − (2 − 2 )(2 − 2 )] + ×3 :√︀√︀⎪√︀⎪4⎪2 − 2 )(2 − 2 )( 2 − 2 −⎪×(2 − 2 ),⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ ∈ [ ; −].0Здесь через 0 обозначено выражение√︀1420 = − 2 [4 + ( + ) + 16 + 8(2 + 2 − 6)4 + ( + )4 8 ].8⎧√︀22 2222⎪⎪ℎ = − ( + ) + 2(2 + ) + (1 + ) (2 − 2 )(2 − 2 ),⎪⎪⎪⎪⎪√︁⎪√︀⎪2⎪⎪⎨ 0 = ± (1 + 2 ) 2 [ (2 − 2 )(2 − 2 ) + 2 ] + ×4 :√︀√︀⎪√︀⎪4⎪222222⎪× ( − )( − )( − − 2 − 2 ),⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ ∈ (0; ],⎧√︀22 2222⎪⎪ℎ=−(+)+2(2+)−(1+)(2 − 2 )(2 − 2 ),⎪⎪⎪⎪⎪√︁⎪√︀⎪2⎪⎪⎨ 0 = ± (1 + 2 ) 2 [2 − (2 − 2 )(2 − 2 )] + ×5 :√︀√︀⎪√︀⎪4⎪222222⎪× ( − )( − )( − − 2 − 2 ),⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩ ∈ [, +∞).2874.5.
Вторая системаПо-прежнему, предполагаем = 0. Рассмотрим функциональноеравенство, которое выполняется тождественно в точках фазового пространства :{21 [21 (2 + 2 ) + ] + 222 }2 − 441 = 21 + 22 + 23 ,(4.5.1)где1 = 21 [(3 2 − 2 3 )31 + (2 1 + 2 2 + 3 3 )21 −−(1 3 + 2 3 )1 − 2 2 ],2 = 21 [(3 1 − 1 3 )31 + (1 1 + 1 2 + 3 3 )21 ++(2 3 + 2 3 )1 − 1 2 ],{︀[︀]︀}︀3 = 2 (1 2 − 2 1 ) 1 4 + 1 3 (1 − 2 ) 3 + 3 2 − 2 (1 + 2 ) 1 2 + 2 2 .Выберем постоянные первых интегралов, удовлетворяющих соотношению=1 2 2 2{1 [1 ( + 2 ) + ℎ] + 222 }2 .441Тогда соотношение (4.5.1) приводит к системе уравнений = 0,(4.5.2) = 1, 2, 3.Отметим, что любые два уравнения системы (4.5.2) дают третье.
Определим множество решений системы (4.5.2) как множествоℳ2 = {( , , ) ∈ :1 = 0,2 = 0},(4.5.3)где1 = 1 (21 1 − 2 ) + 1 [2 3 + 1 (2 1 + 3 3 ) + 21 (3 1 − 1 3 ) + 2 3 ],2 = 21 2 (21 1 − 2 ) + [21 32 − 31 (2 − 1 )3 − 2 (21 1 − 2 ) − 41 1 2 ].288или, в симметричном виде,1 = (21 1 − 2 )(1 − 1 3 ) + 1 (3 + 1 1 )(2 + 1 3 ),2 = (21 1 − 2 )(21 2 − 2 ) + 21 (3 + 1 1 )(3 − 1 2 ).Отметим, что если положить параметры деформации 1 = 0, 2 = 1,то система, которая определяет ℳ2 , не имеет решений. Откуда следует,что не существует аналога данной системы для волчка Ковалевской вдвойном поле. Система ℳ2 на самом деле существует уже при26 .21(4.5.4)Ограничимся выбором параметра деформации = 1 и 2 = 1,√︁21}.
В этом случае системам (4.5.2), (4.5.3) удовлетворя > max{ √ ; −ют положения равновесия 1 –8 и 13 – 16 . Исключим из рассмотренияуказанные положения равновесия. Тогда имеет местоПредложение 22. Система соотношений (4.5.3) определяет инвариантное четырехмерное подмногообразие ℳ2 фазового пространства уравнений (4.1.3) с гамильтонианом (4.4.3).Доказательство. Действительно, справедливы равенства2(11 1 + 12 2 + 1 2 ),1 (21 1 − 2 )221˙2 = {, 2 } = 2(21 1 + 22 2 ),1 1 − 2˙ 1 = {, 1 } =где11 = 21 (1 2 − 3 )[3 + 1 (1 − 2 )],12 = −(21 1 − 2 )1 − 21 2 (2 + 1 3 ),21 = 3 (21 1 − 2 ) + 1 3 (3 − 1 2 ),22 = −3 (2 + 1 3 ).В силу (4.5.3) имеем: ˙ 1 = 0, ˙ 2 = 0.289Предложение 23. Функция√︀(21 1 − 2 )2 + 21 (1 1 + 3 )21 =×21 1 − 2(4.5.5)×[2 3 − 1 2 (2 − 1 ) + 21 1 3 − 3 (21 1 − 2 )]является первым интегралом на подмногообразии ℳ2 , заданном уравнениями (4.5.3).Доказательство.
Действительно, в точках подмногообразия ℳ2 справедливо равенство˙ 1 = {, 1 } = 0.Отметим важное тождество21 {41 [ + 221 (2 2 − 2 )] − 22 } = 242 + 41 12 .(4.5.6)Найдем скобку {1 , 2 }:{1 , 2 } =−21√︁(21 1 − 2 )2 + 21 (1 1 + 3 )2 1 .(4.5.7)Таким образом, вырождение симплектической структуры происходиткак раз в точках нулевого уровня функции 1 . Отсюда следует, что ℳ2является почти всюду гамильтоновой системой с двумя степенями свободы. В качестве независимых почти всюду первых интегралов можновзять гамильтониан и 1 .Систему инвариантных соотношений (4.5.3) можно использоватьдля определения типа критической точки 0 ранга 2 в интегрируемой системе с тремя степенями свободы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
