Диссертация (786043), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Гиперболический 3-атом в граничной точке внутри трансверсальной критической подсистемы находим из табл. 2.3.2, тогда на этих ребрах 4-атомы определяются согласнолемме (последний столбец таблицы). Напомним, что 4-атомы, получающиеся из 3-атомов прямым произведением на окружность, мы обозначаем так же, как исходные 3-атомы.223Таблица 2.4.3РеброГраничнаяточкаГраничныйпереход3-атом4-атомна ребре8322 → 1 в ℳ36411 → 2 в ℳ29334 → 3 2 в ℳ327−622 → 42* в ℳ32*521 → 22 в ℳ1216312 → 34 в ℳ14Рассмотрим точки возврата Δ31 − Δ33 изоэнергетических диаграмм.Зная 4-атомы на входящих в эти точки эллиптических ребрах (2 наребрах 13 в Δ31 и 10 в Δ32 , Δ33 ), видим, что оставшиеся входящие ребра14 , 9 и 11 отвечают атомам 2. Точка возврата Δ34 новой информациине дает (атомы ребер 16 и 17 уже известны).Еще один блок информации может быть получен из следующего простого соображения.
Пусть критические точки в прообразе некоторогоребра образуют гиперболических двумерных торов, а при переходе через это ребро между соседними камерами число регулярных трехмерных торов меняется с на 2. Тогда атом ребра есть . Отсюда, имеяинформацию о количестве 2-торов, устанавливаем следующие атомы:2 на ребрах 7 , 8 и 15 (переходы III → V, IV → VI и III → VII соответственно), 4 на ребре 4 (переход VII → VIII).Остались неизвестными 4-атомы ребер 5 , 6 и 12 .
Все они соответствуют переходам через стенки между камерами, содержащими по четыре тора. Анализируем имеющуюся информацию по невырожденнымпериодическим траекториям в прообразе следующих точек изоэнергетических диаграмм: 43 для 5 (область 12), 44 для 6 (область 15), ±53224для 12 (область 13). Для всех этих точек известны 4-атомы на трех входящих ребрах из четырех и количество регулярных торов в прилегающих камерах.
Поэтому 4-атомы для оставшихся ребер таковы: 22 дляребер 5 , 6 и 4* для ребра 12 . Теорема доказана.На этом закончено описание оснащенных изоэнергетических диаграмм и грубой трехмерной топологии регулярных изоэнергетическихуровней.D13 d 32a3e3 d31a2e4D12d2he2fD112a1d1Æe1Рис. 2.1. Диаграмма подсистемы ℳ1 на плоскости ( 2 , ℎ).225b6D21l44b4b3ÆDD24 13 l224e5 l23 e3b9e6l43b7 D12l33b2l21 P3l42 e2b8P2l32 D11 l41l12b1ÆÆPe1 l1l1131P0b6D21l44b4D24Æe5b9l23D22 eD23 e69l43 b5l22b7P3l21b8 l42Рис.
2.2. Диаграмма подсистемы ℳ2 на плоскости (, ℎ) и ее фрагмент.226c4l33c3l12__ÆP2l61_ÆP1+e1+ l31e7 l51 +P0c1l11_c2 d 1l32_P1l62l44l24 Æc15e3 ec8 e_ 5d31 4 d32ee6l539+lc+ 53d 2 _ 10P3 _ e8 + P3 c7l52Æl52l21 l+62e2c6P2+hl+61s l41Æ_l51P0c14cD 1321D31l24l44c15e3e5c8c16 c17d 31 e4 d 32l23 De6 34ce9 D23 D33 c11l22 12l+52 P3+Dll53 43 D 22d2c9 32c10c5 _l_P3 52e8l42Æ_D 24+l53c7l21e2Æc6l41+l61P2+l+62ÆРис. 2.3.
Диаграмма подсистемы ℳ3 на плоскости (, ℎ) и ее фрагмент.227211278910133232h¢1714 16 18191511-154632101b¢Рис. 2.4. Разделяющее множество и пути просмотра.2285l11l116c1c1l32IIÆÆl50b1c2b1l50b8IIkgl314a1d1D11l121l11c3l±61ÆIIIc1c1l32l±51b2c6ÆIb1Ic2c1IIl31l12Æl±61l12c3l±61IIIb2c6c1l41Æb2IIl50l41b1l31D11IIIc6c1b12c3c1l±51l50a1d13l41b8b1l31Рис. 2.5. Оснащенные диаграммы: “левый круг”.229l1211l1210c3c4l±62c4IV bl±629IIIc7c3l33l33bc7 IV 9l21IIIb2b8l21IIl41Ib8l42l50Ækb1a1d1c2Æc5gD11a1d1l121d2c39D32IIIIIIb2b9c4IVcÆl±62Ic2b1a1IIa1d1l±618VIc11c6IIIVd2D32b2b7a2Ic3l12IIIl12c6c9±l61c1IIIc2l42IIVI c IIIc6l50b2Il32l±5210c11b2c6b8c5ÆVd2c2b7Æa2D12IId1a1l42c5d2IIID33V ab72D12Рис.
2.6. Оснащенные диаграммы: “правый круг”.230D33D12c3c1a1Il42c5ÆD117b8c6 l±52b8l50l32c10l217l41IIIIIc9b8d1D12l33c6d17a2l12c1c2Vbc3l±61l32b2c6l50IIc6c2Ic39l12D32l33IIIb9c4IVcl±62l±52c6IIIl42c5Æa1d1IVD22c15VII D23c8III12D33l±62kc2D12IIl43IVl12c8D33c10c11l22 b72D12l12l33c3b9IIIc9b5 c10D32c4b5VIl22Vd2b7a2c8c7l±53D33c11IVl±62b2c12c5a1Vad2IIIVIIIIc5ÆVIl±53c2b514c10c7b2c12c9b9c4d1a1IIID32IIIÆl±53c7gc3l33d1VIb7a2VIb5b2c11d2l12l43c6Vc9c10b9c4c10b8l±62ÆIIIl21D32 c3l33c97c213IIIc2IID12l43c12VIID24 D22c5 V b c15c l23cb7VIIIIII41716D34a1d1d2a2VD12Рис.
2.7. Оснащенные диаграммы: “линия”.231VIb214l3315l12c3Æl43IVl±62c8c7±l53c9b5 c10c VIIc5 VIID24 D22b c15c l23cb7IXl±62a1b2IIc16VVIIId1c3Æc14VIIV cIIIb513b2D22c8c7l±62VVIIIa1d2a2l23bc174d32b2IIVc16 b7a316d31a2d1D12c3l33IIID21c8VIIl±53 c12 D24c15c5 V b4 l23 VVIII c17 c b7a2a3a2a1d32 d31d2c218Æl44c7c D c15l±53 12 24IIb6VIIc5l12b9IXc9c3l33IVD31c10IVD12c4IIIl43d1a2d2l12c4c2a1V17D32b9l±62b7D34gÆl33III4kD1216b217a2d2l12l44VIIc8c±l53 c 1512D24bc5 V c l23c216d1c3D21c7VI4c14c13b6IV17VIIID34IVD31b9D32III12c2IIIb9c4l33c4ÆD3219c4l33IVl12IIID31cc4 b9 9c10l43VIl±62 IVc7 c8 b5l±53 VIIc12D22c2c5D24c15cVIII 17 b4 VII b3 l24a1a2a3D13d32d2d1IIIIVb253IIÆIII24c5c15VIIbVc417d1a1d2a2d32Рис.
2.8. Оснащенные диаграммы: “блок”.232l12b2c14c13 l44b6D21c7 c8l± c12 Dc2c3b9IX±l62II VD12a3l24VIIIb3D13Глава 3Топологический анализ одного частного случаяинтегрируемости Д. Н. Горячева в динамикетвердого тела3.1. ВведениеУравнения Кирхгофа движения твердого тела в жидкости в общемслучае имеют вид˙ = × + × ,˙ =×,(3.1.1)где ∈ R3 – импульсивный момент, ∈ R3 – импульсивная сила, = ( , ) – полная энергия. Известными интегралами системы (3.1.1)являются геометрический интегралΓ = 12 + 22 + 32 ,интеграл площадей = 1 1 + 2 2 + 3 3и полная энергия . На совместном уровне,ℓ = {Γ = 2 , = ℓ},dim ,ℓ = 4система (3.1.1) гамильтонова с двумя степенями свободы, в связи с чемдля ее интегрируемости достаточно в дополнение к интегралу указатьеще один интеграл, независимый с почти всюду.В работе [166] найден случай интегрируемости, в котором11 = (12 + 22 ) + 32 + [(12 − 22 ) + 2 ].223233(3.1.2)В предположении=0(3.1.3)система (3.1.1) на ,0 имеет первый интеграл =[12−22(12 − 22 )1 2 22 2−+]+4[−].1232 322 32В частном случае = 0 этот интеграл найден С.
А. Чаплыгиным в статье[167], там же выполнено и сведение задачи при = 0 к эллиптическимквадратурам. Дальнейшие обобщения рассматриваемая интегрируемаясистема получила в работе Х. М. Яхья [142]. В работе [168] на основеидей бигамильтонова подхода предложен вариант выбора переменныхразделения случая Горячева.В настоящей главе представлено явное вещественное разделение переменных для случая Горячева, отличное от [168] и основанное на геометрическом подходе к разделению переменных, предложенном в [161,169]. Это решение не требует привлечения каких-либо математическихтеорий.
Полученные аналитические формулы позволяют исследовать фазовую топологию, в частности, бифуркации лиувиллевых торов и построить грубый инвариант А.Т. Фоменко. Исследования фазовой топологии интегрируемого случая представлены в [58], [67].3.2. Параметризация интегральных многообразийВ этом параграфе мы используем замену С. А. Чаплыгина [167] игеометрический подход к разделению переменных, предложенныйв [161, 169, 170].Вместо одного из интегралов , можно рассматривать интеграл вформе, указанной в [168]: = [12 + 22 + 2] + 232 (12 − 22 ) + 2 34 .23234При условии (3.1.3) он выражается через и следующим образом:42 = + 2 − 4.(3.2.1)Подходящим выбором направления подвижных осей и единиц измерения можно добиться того, чтобы было выполнено = 1 и = 1.Введем переменные , , , полагая2 = 12 + 22 , = 32 , = 12 + 22 +.32(3.2.2)При = 0 соответствующие переменные введены в [167] и привелик найденному там разделению.
Следуя С. В. Ковалевской, введем такжекомплексную замену (i 2 = −1)1 = 1 + i 2 , 2 = 1 − i 2 ,(3.2.3)2 = 1 − i 2 .1 = 1 + i 2 ,Геометрический интеграл примет вид2 + = 1,(3.2.4)а поскольку сама постановка задачи предполагает 3 ̸= 0, из (3.1.3),(3.2.3), (3.2.4) выразим3 = −2 1 + 1 2√.2 (3.2.5)Подстановка (3.2.2), (3.2.5) в уравнения = ℎ,(3.2.6)=интегрального многообразия ℎ, ⊂ = 1,0 приводит их к виду12+22 − 2=− ,(3.2.7)(︂)︂1.21 (22 + ) + 22 (12 + ) = 4ℎ − 2 − 2 1 −235(3.2.8)Из определения (3.2.2) с использованием (3.2.4), (3.2.7) имеем также1 2 = − ,(3.2.9) 2 (12 + )(22 + ) = 2 − 2 + 2 ,(3.2.10)1 2 = 1 − .(3.2.11)Из (3.2.7), (3.2.9) находим1 √√1 = √ ( − + + ),2 1 √√2 = √ ( − − + ),2 где± (, ) = ± 2 − ( ± )2 .Введем комплексно сопряженные переменные1 = (12 + ),2 = (22 + ),(3.2.12)и пусть 2 = 1 2 .
Тогда уравнение (3.2.10) примет вид2 = 2 − 2 + 2 .(3.2.13)Отсюда, в частности, следует, что любая траектория системы изображается в виде кривой на поверхности второго порядка (3.2.13) в вещественном трехмерном пространстве R3 (, , ).Из (3.2.12), (3.2.7) находим1 + 2 = 2 − 2 + .Обозначая ± = 2 − 2 + ± 2, можем записать√√︀ )︁1 (︁√︀1 =+ + − ,2√√︀ )︁1 (︁√︀2 =+ − − .2Обозначим± = 2ℎ 2 − ( + ) + ± (1 − ).236(3.2.14)Тогда из (3.2.8), (3.2.11), (3.2.12) получим√︀ )︁√︀ )︁1 (︁√︀1 (︁√︀1 = √+ + − ,2 = √+ − − ,2221или, с учетом (3.2.14)1 =√√√+ + −√ ,2√+ − −2 =√√√+ − −√ .2√+ + −Выражения для 3 , 3 находим теперь из (3.2.5) и второго соотношения(3.2.2). Таким образом, найдены все алгебраические выражения для фазовых переменных через две вспомогательных переменных , .
Возвращаясь к вещественным компонентам фазового вектора, имеем√︂√︂1 − +1 =, 2 = −,22√︀ √︀ )︁ √ (︁√︀ √︀√︀ √︀ )︁}︁1 {︁√ (︁√︀ √︀3 = √+− + + + − − −− − + + + ,4 2√︀ √︀ )︁1 (︁√︀ √︀1 = √+ + + − − ,2 2√︀ √︀ )︁ (︁√︀ √︀√2 = −+ − + − + ,2 2√3 = .(3.2.15)Считая, что в представленных выше формулах выбрано > 0, запишем условие существования вещественных решений (3.2.15) в видесистемы неравенств+ (, ) 6 0,− (, ) > 0,+ (, ) > 0,− (, ) 6 0,+ (, ) > 0,− (, ) 6 0.Заметим,что подстановка через постоянную интеграла , которую по очевидным соображениям обозначим через 2 , дает+ − = [ − − + ( + − 2ℎ)][ − + + ( − − 2ℎ)] 2 .237(3.2.16)Кроме того+ − = + − = [( − )2 + 2 − ][( + )2 − 2 − ].Отсюда следует, что проекция интегрального многообразия ℎ, на плоскость (, ) ограничена отрезками прямых или лучами − ± + ( ∓ − 2ℎ) = 0,−±√ − 2 = 0,+±√ + 2 = 0.Каждая из этих прямых, если она корректно определена, служиткасательной к кривой второго порядка : 2 − 2 + 2 = 0.(3.2.17)Выбрав семейство таких касательных в качестве координатной сети всоответствующей компоненте плоскости, получим, что в такой сети длявсех допустимых пар постоянных первых интегралов область возможности движения окажется прямоугольной, что, как правило, ведет к разделению переменных [161, 169].3.3.
Вещественное разделение переменныхЛюбая касательная к кривой (3.2.17) в области 2 − 2 + 2 > 0,является проекцией на плоскость (, ) пары прямолинейных образующих однополостного гиперболоида (3.2.13) в пространстве R3 (, , ). Нарис. 3.1 и рис. 3.2 показаны прямолинейные образующие однополостного гиперболоида (3.2.13) и их проекции.Выберем в качестве параметров двух семейств таких образующихкорни 1 , 2 квадратного уравнения2 − 2 + (2 − ) = 0.238(3.3.1)Рис. 3.1.
Однополостной гиперболоид (3.2.13) и его прямолинейные образующие.1.51.411.20.510.8–1–0.8 –0.6 –0.4 –0.2 00.20.40.60.810.6–0.50.4–1–1.50.200.20.40.6Рис. 3.2. Проекции прямолинейных образующих.2390.81Его дискриминант, равный 2 , в силу (3.2.10) неотрицателен на всехтраекториях, поэтому 1 , 2 вещественны. Тогда из (3.3.1), (3.2.13) найдем=2,1 + 2=1 2 + ,1 + 2=1 − 2.1 + 2(3.3.2)Обозначим1 () = 2 + − 2 ,2 () = 2 − + 2 ,3 () = ( − )2 − 2 ,и пусть = ( ), =√( = 1, 2, 3; = 1, 2).(3.3.3)Знак каждой из величин произволен, но во всех используемых одновременно формулах должны быть выбраны одинаковыми.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
