Диссертация (786043), страница 32

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 32)

Одновременная ортогонализация обеих пар, предложенная в [149] для твердого тела и в [88] длягиростата, существенно упрощает дальнейшие вычисленияЗадача о движении обобщенного гиростата относится к интегрируемым гамильтоновым системам с тремя степенями свободы. Особую рольв изучении фазовой топологии таких систем играют критические подсистемы.

Понятие критической подсистемы сформировалось в работахМ. П. Харламова при исследовании фазовой топологии неприводимыхсистем с тремя степенями свободы [87, 160]. Идея критической подсистемы состоит в следующем.Определим интегральное отображениеℱ : → R3 ,полагая ℱ() = { = (), = (), ℎ = ()}. Отображение ℱ принято называть отображением момента.

Обозначим через совокупностьвсех критических точек отображения момента, т.е. точек, в которыхrank ℱ() < 3. Множество критических значений Σ = ℱ() ⊂ R3 называется бифуркационной диаграммой.Пустьℒ(ℎ, , ) = 0(4.1.11)уравнение двумерной поверхности Πℒ , которое содержит один из листовбифуркационной диаграммы Σ отображения ℱ.Определим функциюΦℒ = ℒ ∘ ℱ : → R.(4.1.12)Критической подсистемой ℳℒ называется замыкание множествакритических точек ранга 2, которое принадлежит нулевому уровню интеграла Φℒ . Тогда ℳℒ является инвариантным подмножеством в , со269стоящим из критических точек отображения ℱ.

Критическая подсистема ℳℒ задается системой уравненийΦℒ = 0,Φℒ = 0.(4.1.13)Напомним один общий факт из симплектической геометрии [162].Лемма 4. Пусть подмногообразие ℳ симплектического многообразия задается системой независимых уравнений вида1 = 0, 2 = 0.(4.1.14)Тогда 2-форма на ℳ, индуцированная симплектической структурой из, вырождается в точности на множестве{1 , 2 } = 0.Поскольку критические подсистемы обычно описываются системойуравнений вида (4.1.14), то индуцированная симплектическая структура вырождается на множестве коразмерности 1. В этом случае такие системы называются почти гамильтоновыми.Приведем также полезный инструмент для того, чтобы выяснить,будет ли совместный уровень двух функций (4.1.14) состоять из критических точек отображения момента ℱ [161].Лемма 5.

Рассмотрим систему уравнений (4.1.14) в области , открытой в . Пусть – векторное поле на , соответствующее (4.1.3)и пусть ℳ ⊂ определено системой (4.1.14). Предположим, что(i) 1 , 2 – гладкие функции, независимые на ℳ;(ii) 1 = 0, 2 = 0 на ℳ;(iii) скобка Пуассона {1 , 2 } почти всюду на ℳ отлична от нуля.Тогда ℳ состоит из критических точек отображения ℱ.270Сформулированные утверждения 4 и 5 будут использоваться придальнейшем изложении.Цель настоящей главы — предъявить новые инвариантные четырехмерные подмногообразия, на которых индуцированная динамическаясистема является почти всюду гамильтоновой с двумя степенями свободы.4.2. Как можно получить уравнения поверхностей Πℒ?В данном разделе мы покажем, что уравнения поверхностей вида(4.1.11) (неявные или параметрические) можно получить как дискриминантные множества некоторых многочленов, исходя из особенностейалгебраической кривой ℰ(, ), ассоциированной с представлением Лакса.Кривую (4.1.8) можно рассматривать как нулевой уровень отобра̃︀ ⊂ R3 (, , ℎ) множество значежения ℰ : C × C → C.

Обозначим через Σний констант, на котором кривая ℰ имеет особенности (с точки зрениягладкой структуры).Как показывает опыт исследования интегрируемых систем [87], [51]̃︀Σ ⊂ Σ,причем бифуркационное множество Σ выделяется требованием вещест̃︀ состоитвенности исходных переменных. В свою очередь, множество Σиз таких значений (, , ℎ), при которых в конечных точках имеет решение системаℰ(, ) = 0,ℰ(, ) = 0,ℰ(, ) = 0.(4.2.1)Для алгебраической кривой (4.1.8) система (4.2.1) равносильна совокупности двух систем271 00 = 0,=0(4.2.2)и=0and = 0,(4.2.3)где = 22 − 44 0 .Системы (4.2.2) и (4.2.3) можно рассматривать в пространстве констант первых интегралов как поверхности кратных корней многочленов0 = 0 () и = ().Полагая = 2 в (4.2.2), представим первую дискриминантную поверхность в параметрическом видеℎ2 − 23 222 (2 2 − 2 )() =+,2221 (23 − ℎ2 ) 22 (2 − 2 2 )(221 + 22 )2+() = 3 − 2ℎ +2221+ {ℎ2 + 221 (2 + 2 )ℎ + 41 [(2 − 2 )2 + 42 ] + 422 (2 + 2 )}.4(4.2.4)Если исключить параметр из системы (4.2.4) и подставить в полученное уравнение параметр деформации 2 равным нулю, в результатепараметрически заданная поверхность (4.2.4) распадётся на три поверхности:121 + − 41 2 − [ℎ2 + 221 (2 + 2 )ℎ + 41 (2 − 2 )2 ] = 0,44 − 21 {2ℎ(2 + 2 ) − 4 + 21 [42 + (2 − 2 )2 ]} = 0(4.2.5)(4.2.6)и4(2 − 2 2 ) + [ℎ + + 21 ( + )2 ][ℎ − + 21 ( − )2 ]−−441 4 − {ℎ2 + 221 [ℎ(2 + 2 ) − 2] + 41 [(2 − 2 )2 − 42 2 ]}2 = 0.272(4.2.7)Рассмотрим вторую систему (4.2.3) в области ∈ C ∖ 0 и определимновую переменную как решение следующего квадратного уравнения2 − 2{21 [21 (2 + 2 ) + ℎ + 2 ] + 222 } + 42 61 (2 + 2 ) + 82 41 2 = 0.Тогда параметрические уравнения другой дискриминантной поверхности относительно ℎ, , имеют вид41 2 [(2 − 2 )2 + 42 ] {21 [21 (2 + 2 ) + ℎ + 2 ] + 222 } 2−881 21 31 2 2++{1 [( − 2 )2 + 42 ] + (2 + 2 )(ℎ + 2 )},8216 1 2() = −8 4 [(2 − 2 )2 + 42 ] {21 [21 (2 + 2 ) + ℎ + 2 ] + 222 }() = 1+22413 2 1 2 [︀ 2 22 ]︀2−− 21 ( + ) + ℎ +.16 41 22(4.2.8)Если теперь исключить параметр из системы (4.2.8) и в полученное уравнение положить равным нулю параметр гиростатического момента , сохранив отличными от нуля параметры деформаций 1 и 2 , топараметрически заданная поверхность (4.2.8) также, как и (4.2.4), распадётся на три поверхности: = 0,(4.2.9){21 [21 (2 + 2 ) + ℎ] + 222 }2 − 441 = 0,(4.2.10)и{21 [(2 − 2 )2 + 42 ] + (2 + 2 )ℎ − 2}2 − 4[(2 − 2 )2 + 42 ] = 0.273(4.2.11)4.3.

Новые инвариантные соотношения при отсутствиилинейного потенциала и наличии гироскопическихсилВ данном разделе, в задаче о движении обобщенного двухполевого гиростата мы предполагаем наличие только гироскопических сил, алинейный потенциал отсутствует. Исходя из уравнений дискриминантных двумерных поверхностей Πℒ1 и Πℒ2 , определенных соотношениями(4.2.5) и (4.2.6), будут предъявлены новые инвариантные почти всюдучетырехмерные подмногообразия ℳℒ1 и ℳℒ2 , на которых индуцированные динамические системы являются почти всюду гамильтоновыми сдвумя степенями свободы.Рассмотрим функции1ℒ1 (ℎ, , ) = 21 + − 41 2 − [ℎ2 + 221 (2 + 2 )ℎ + 41 (2 − 2 )2 ]4(4.3.1)ℒ2 (ℎ, , ) = 4 − 21 {2ℎ(2 + 2 ) − 4 + 21 [42 + (2 − 2 )2 ]}.(4.3.2)иЭти функции определяют уравнения двумерных поверхностей Πℒ1 и Πℒ2вида (4.1.11).

Выбор функций ℒ (ℎ, , ) подсказан уравнениями (4.2.5)и (4.2.6).Следуя (4.1.12), определим соответствующие интегралы Φℒ1 и Φℒ2формулами1Φℒ1 = 21 + − 41 ( · )2 − [ 2 + 221 (2 + 2 ) + 41 (2 − 2 )2 ], (4.3.3)4иΦℒ2 = 4 − 21 {2(2 + 2 ) − 4 + 21 [4( · )2 + (2 − 2 )2 ]}.(4.3.4)Предложение 19. Интеграл Φℒ1 в можно представить в виде произве274дения двух функций 1 и 2 , т.е.Φℒ1 = 1 · 2 ,где1 = 3 + + 1 (1 − 2 ),(4.3.5)2 = 33 + [1 (1 − 2 ) + ]32 + [12 + 22 + 21 (3 2 − 3 1 )]3 ++[(22 − 12 )(2 + 1 ) + 21 2 (1 − 2 )]1 + (12 + 22 ).(4.3.6)Замечание 14. Для уравнений Кирхгофа на алгебре (3) и уравнений Пуанкаре на (4) дополнительный интеграл также имеет вид произведения двух функций [31, 145], [32].Теорема 35.

Нулевой уровень каждой из функций (4.3.5), (4.3.6) определяет в инвариатное пятимерное многообразие.Доказательство. Найдем в силу (4.1.3) производные от каждой из функций (4.3.5), (4.3.6).⎞⎞⎛⎛˙⎝ 1 ⎠ = ⎝ 1 ⎠,˙22⎛где = ⎝21 (1 + 2 )00−21 (1 + 2 )⎞⎠ . (4.3.7)Из (4.3.7) следует, что каждое из уравнений = 0, = 1, 2 задает в инвариантное пятимерное многообразие.Инвариантные пятимерные подмногообразия не являются критическими точками ранга 2 отображения момента ℱ, поэтому мы будемрассматривать совместную систему уравнений, заданную соотношениями1 = 0,2 = 0.275(4.3.8)Система (4.3.8) определяет в инвариантное четырехмерное подмногообразие ℳℒ1 и является критической подсистемой нулевого уровня интеграла Φℒ1 , поскольку справедливы соотношенияΦℒ1 = 0,Φℒ1 = 1 2 + 2 1 = 0.Теорема 36.

Функция0 = 21 {−(2 + 1 )32 − (1 + 2 )[1 (1 − 2 ) + ]3 −−1 12 − 2 22 − (2 + 1 )1 2 + [1 (21 3 − 1 3 − 2 3 ) + 3 ]1 −−[1 (22 3 − 1 3 − 2 3 ) − 3 ]2 }является первым интегралом на подмногообразии ℳℒ1 , заданном уравнениями (4.3.8).Доказательство. В силу системы (4.3.8) имеем:˙0 = {, 0 } = 0.Заметим, что{1 , 2 } = 0 .Поэтому нулевой уровень интеграла 0 , т.е. уравнение 0 = 0, являетсямножеством точек коразмерности 1 вырождения 2-формы на ℳℒ1 . Множество вырождения симплектической структуры на ℳℒ1 задается системой уравнений:0 = 0,1 = 0,2 = 0.Одно из решений системы уравнений (4.3.9) является множество(2 3 − 2 3 )[ − 1 (2 − 1 )],(1 2 − 2 1 )(1 3 − 1 3 )[ − 1 (2 − 1 )]2 =,(1 2 − 2 1 )1 = −3 = 1 (2 − 1 ) − ,276(4.3.9)которое удовлетворяет системе = 0,1 = 41 ( · )2 + [ 2 + 221 (2 + 2 ) + 41 (2 − 2 )2 ].4Соответствующие значения первых интегралов = 0,1 = 41 2 + [ℎ2 + 221 (2 + 2 )ℎ + 41 (2 − 2 )2 ]4отвечают точкам касания поверхностей (4.2.5) и (4.2.7).Таким образом, справедлива теорема.Теорема 37.

Критическая подсистема ℳℒ1 , заданная соотношениями(4.3.8), определяет в почти всюду четырехмерное подмногообразие ииндуцированная динамическая система является почти всюду гамильтоновой с двумя степенями свободы. В качестве независимых интегралов можно взять гамильтониан и функцию 0 .Отметим также, что множество ℳℒ1 , заданное соотношениями(4.3.8), в силу леммы (5) состоит из критических точек ранга 2 отображения момента ℱ.Рассмотрим теперь при условии 2 = 0 другое четырехмерное подмногообразие ℳℒ2 в , заданное системой уравнений1 = 0,2 = 0.(4.3.10)Последовательно находим˙ 1 = {, 1 } = −21 2 1 + [23 + 2 + 21 (1 − 2 ) + 21 2 ]2 ,˙ 2 = {, 2 } = [−23 − 2 − 21 (1 − 2 ) + 21 1 ]1 − 21 1 2 ,{1 , 2 } = 3 .В силу (4.3.10) имеем˙ 1 = ˙ 2 = 0.277Таким образом, используя лемму 5, множество ℳℒ2 , заданное системойуравнений (4.3.10), также является почти всюду четырехмерным инвариантным подмногообразием в и состоит из критических точек отображения момента ℱ.В силу соотношений (4.3.10) непосредственно проверяется справедливость следующих уравненийΦℒ2 = 0,Φℒ2 = 0.Откуда следует, что ℳℒ2 является критической подсистемой нулевогоуровня интеграла Φℒ2 .

Характеристики

Список файлов диссертации