Диссертация (786043), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Результаты, изложенные здесь, получены наоснове результатов и методов, представленных в публикациях [66], [68],[149], [88], [173], [158], [87], [159], [161], [160], [111], [56], [57]. Отметим, что в новой системе обнаружена перестройка "pitch-fork" (вырожденная особенность ранга 2), как ориентируемая (неустойчивая к ма302Рис. 4.10. Бифуркационная диаграмма Σℎ0 для значений параметров = 1, = 25 , = 3, ℎ0 = −0, 25.3034T24T34T4T222T2T232TÆ22T2T22Tk2234T2T4T2g22T22T34T2T32T2T4T2T234T223 4T24T2T4T22T24T232238T224TÆ24T8T22T34T 24T24T 28T4T4A2B38T4A34T2C222Ak3Æ2T2C22B2A34T2A*2C2g2B34T2B34T2A2B4A*32T32T4A2B3 4B4A4T2A4A8T38A4BÆ2B34T4A4B8A4B38TРис. 4.11. Бифуркационная диаграмма Σℎ0 для значений параметров = 1, =19,100= 5, ℎ0 = 15.304252T2T4T24T4T22T24T32Æ24T22T234T 4T32kg22T34T22T2T2T4T334T2224T4T22T234T 4T 8T232T24TÆ2224T 224T8T8T8T2B2A38T4A34T2C2 2C22A34T 2C22TÆ4A2k3g*2A34T2B2T34T4A*2C234A2B2A34T 4A 8T32A4AÆ4B4B 28A8T4C238TРис.
4.12. “Предельная” бифуркационная диаграмма для камеры 25.305Рис. 4.13. Сетевая диаграмма.лым возмущениям), так и неориентируемая (наоборот, устойчивая). Нарис. 4.10 перестройке типа "pitch-fork" отвечают точки "" и "". Длясистем с двумя степенями свободы модельные перестройки такого типаописаны в [26] ([26, т. 1, пример 2, c. 24]). Другое наблюдение связано с круговыми молекулами на изоэнергетических уровнях. Например,особым точкам , , (), на рис. 4.10, в прообразе которых одна илидве компоненты, соответствуют невырожденные особенности ранга 1 типа "седло-седло" . Им отвечают круговые молекулы особенностей ранга0 того же типа после умножения на топологическую окружность [129].Можно надеяться на получение классификационных теорем о строениикруговых молекул невырожденных особенностей ранга 1 типа "седлоседло" с одной или двумя компонентами на слое на изоэнергетическомуровне в системах с тремя степенями свободы.Исследования фазовой топологии были проведены и для квадратич-306ного гамильтониана, интегрируемость которого доказана в [86].
В частности, система ℳ4 “развалилась” на три подсистемы и, таким образом,в системе с тремя степенями свободы с квадратичным гамильтонианомвыделяется уже шесть подсистем.К сожалению, на сегодняшней день так и не удалось получить разделения переменных ни в одной из систем ℳ , = 1, . . . 4. В первую очередь это связано с необходимостью представления систем (4.6.1) и (4.6.2)в удобном для этого виде. В задаче о движении волчка Ковалевской вдвойном силовом поле для аналогов систем ℳ3 и ℳ4 найдено алгебраическое разделение переменных и исследована фазовая топология [158],[161], [160], [111].
Опираясь, прежде всего, на работы М. П. Харламова,мы надеемся и в нашем случае на возможность явного алгебраическогоразделения переменных в системах ℳ3 и ℳ4 .307Глава 5Фазовая топологияволчка Ковалевской –СоколоваВ данной главе исследуется фазовая топология интегрируемой гамильтоновой системы на (3), найденной В.В.Соколовым (2001) и обобщающей случай Ковалевской. Обобщение состоит в том, что к однородному потенциальному силовому полю добавлены гироскопические силы, зависящие от конфигурационных переменных. Классифицированыотносительные равновесия, вычислен их тип, определен характер устойчивости. Установлены виды диаграмм Смейла и дана классификацияизоэнергетических многообразий приведенных систем с двумя степенями свободы.
Множество критических точек полного отображения момента представлено в виде объединения критических подсистем, каждая из которых при фиксированных физических параметрах являетсяоднопараметрическим семейством почти гамильтоновых систем с однойстепенью свободы. Для всех критических точек явно вычислены показатели, определяющие их тип. Выписаны уравнения поверхностей, несущих бифуркационную диаграмму отображения момента.
Приведеныпримеры изоэнергетических диаграмм с полным описанием соответствующей грубой топологии (регулярных торов Лиувилля и их бифуркаций).5.1. Исходные соотношения и постановка задачиКоалгебра g0 = (3)* реализуется как R6 (M, ) со скобкой Пуассона{ , } = ,{ , } = ,308{ , } = 0.(5.1.1)Интегрируемый гиростат Ковалевской – Соколова [31] задается уравнениями Гамильтона˙ = {, }(5.1.2)с гамильтонианом1 = (12 + 22 + 232 ) + 1 (3 2 − 2 3 ) − 0 1 .4(5.1.3)Уравнения (5.1.2), записанные в переменных , , называются уравнениями Эйлера – Пуассона. Заметим, что именно такой порядок аргументов в скобке (5.1.2) необходим для совпадения знаков с классическими аналогами.
Скобка (5.1.1) обладает двумя функциями Казимира1 = M · ,2Γ = 2 .(5.1.4)Точкой обозначено скалярное произведение в R3 , коэффициент в введен по традиции, сложившейся в задачах динамики твердого тела с конфигурацией типа Ковалевской.На совместном уровнеℓ4 = { = ℓ, Γ = 2 }скобка (5.1.1) невырождена и ограничение системы (5.1.2) становитсягамильтоновой системой с двумя степенями свободы.
Иногда нам будетудобно считать фазовым пространством системы (5.1.2) пятимерное многообразие 5 = R3 (M)× 2 (), заданное одним уравнением 2 = 2( > 0),и говорить об однопараметрическом (параметр ℓ ∈ R) семействе системна ℓ4 . Последнее соотношение в механике называют геометрическиминтегралом, определенную им сферу – сферой Пуассона. Функцию ипорожденное ей соотношение = ℓ называется интегралом площадей.309Задача в целом характеризуется тремя параметрами , 0 , 1 , которые можно назвать физическими. Заметим, что в случае общего положения (0 1 ̸= 0) эта тройка избыточна. Введением подходящих единиц измерения можно два параметра из трех сделать равными единице(кроме пары 0 , 1 , в которой отношение 1 /0 является существенным).Однако мы пока сохраним все три параметра, что дает возможность предельных переходов 1 → 0 (классический случай Ковалевской), 0 → 0(случай Соколова для уравнений Кирхгофа [145] и, при введении дополнительного параметра в скобку Пуассона, случай Борисова – Мамаева –Соколова на (4) [32]) с сохранением произвольного > 0.
В связи с наличием таких переходов гамильтониан (5.1.3) иногда называют деформацией случая Ковалевской. Отметим также, что очевидными комбинациями отражений в пространстве R6 и инверсии времени можно добиться выполнения неравенств0 > 0,1 > 0.Так, поворот подвижной системы отсчета на вокруг третьей оси меняетоба знака 0 , 1 , а замена (1 , 2 , 3 , ) → (−1 , −2 , −3 , −) равносильназамене знака только у 1 .Первый интеграл, найденный в [31], дополнительный к Γ, , иобеспечивающий интегрируемость системы (5.1.2) (соответственно, лиувиллеву полную интегрируемость семейства гамильтоновых систем наℓ4 ) можно записать в виде[︂]︂21222222 =( − 2 ) + 1 (2 3 − 3 2 ) − 1 (1 + 2 + 3 ) + 0 1 +4 1[︂]︂21+1 2 + 1 (3 1 − 1 3 ) + 0 2 .2В механике большое внимание уделяется исследованию особых движений механических систем (в том числе и интегрируемых), их аналитическому описанию и изучению характера устойчивости.
Количество310классических работ по этой тематике весьма велико. В последнее время вопрос об устойчивости таких движений связывается с топологиейсоответствующих интегрируемых систем, отображением момента и такназываемым бифуркационным комплексом, отражающим все особенности слоений фазового пространства (см., например, работы [49], [174]).В динамике твердого тела особое место занимает класс движений, называемых равномерными вращениями, в которых вектор угловой скорости тела постоянен в подвижной и неподвижной системах отсчета. Сточки зрения системы уравнений Эйлера – Пуассона эти движения являются неподвижными точками, поэтому они также называются относительными равновесиями.
Устойчивость относительных равновесий взначительной мере определяется собственными числами матрицы правой части линеаризованных уравнений для системы (5.1.2). В интегрируемой системе эти собственные числа определяют так называемый типкритической точки [26], соответствующей относительному равновесию.С другой стороны, в топологическом анализе интегрируемой системы строятся топологические инварианты (меченые молекулы Фоменко – Цишанга[175])наизоэнергетическихмногообразиях3ℓ,ℎ = { = ℎ} ∩ ℓ4 систем на ℓ4 .
Очевидно, эти многообразия зависяттакже и от , но эту зависимость явно не пишем. На соответствующиеметки оказывает влияние сама топология многообразий 3ℓ,ℎ . Поэтомуважным этапом топологического анализа является классификация изоэнергетических многообразий. Соответствующий математический аппарат разработан Смейлом [24]. Оказывается, что перестройки топологического типа 3ℓ,ℎ происходят при пересечении значений параметров, отвечающим относительным равновесиям, а вид перестройки определениндексом Морса ограничения функции на ℓ4 в точках относительныхравновесий.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
