Диссертация (786043), страница 36
Текст из файла (страница 36)
При фиксированных физических параметрах, множестворазделяющих значений для топологического типа 3ℓ,ℎ в плоскости (ℓ, ℎ)311называют диаграммой Смейла.Ниже получено полное аналитическое описание всех относительных равновесий гиростата Ковалевской – Соколова, вычислены типы относительных равновесий и установлен характер их устойчивости. Перечислены виды диаграмм Смейла, вычислены индексы Морса приведенной энергии и установлена топология изоэнергетических уровней.В целом множество критических точек отображения момента рассматриваемой системы получено как объединение четырех критическихподсистем. Поскольку, как отмечалось, фазовое пространство системыв целом расслоено на симплектические листы – четырехмерные фазовые пространства приведенных систем, критические подсистемы также представляют собой объединения однопараметрических семейств (фиксировано, ℓ произвольно) двумерных фазовых пространств индуцированных почти гамильтоновых систем с одной степенью свободы.
Каждое из этих пространств имеет подмножество коразмерности 1, на котором вырождается форма, индуцированная исходной симплектическойструктурой. Получены условия вырождения в виде равенства нулю некоторого частного интеграла. Явно вычислен тип критических точек ранга 1. В частности, в терминах констант интегралов выписаны уравнениямножеств вырожденных критических точек.Полученная информация, вместе с результатами [66, 89] по фазовой топологии обобщенного двухполевого гиростата Соколова – Цыганова [86], дает возможность построить бифуркационные диаграммыотображения момента, оснащенные обозначениями бифуркаций и указанием количества регулярных торов Лиувилля, что и определяет грубую топологию системы.
Знание грубой топологии в целом позволяетзавершить и полное описание относительных равновесий указанием топологической структуры их насыщенной четырехмерной окрестности вфазовом пространстве приведенной системы в тех случаях, когда по ана312литически найденному типу точки эта структура не устанавливается однозначно.5.2. Множество относительных равновесийДля дальнейшего удобно использовать наряду с моментами и компоненты угловой скорости = /M:1 =1,22 =2+ 1 3 ,23 = 3 − 1 2 .Первые интегралы примут вид11 = 1 1 + 2 2 + 3 3 − 1 2 3 = ℓ,2211 = 12 + 22 + 32 − 21 (22 + 232 ) − 0 1 = ℎ,22[︀ 2]︀2 = 1 − 22 + 1 2 3 + (0 − 21 1 )1 +[︀]︀2+ 21 2 − 1 1 3 + (0 − 21 1 )2 = .(5.2.1)Гамильтоново поле, порожденное произвольной функцией с помощью заданной скобки Пуассона, обозначают через sgrad .
Поэтомувекторное поле, отвечающее системе (5.1.2), есть sgrad . В координатах , получаемsgrad =]︀1 [︀(0 − 221 1 )3 + (3 + 1 2 )1 ,22)︁2(0 − 1 1 )2 + 1 3 1 , 2 3 − 3 2 , 3 1 − 1 3 , 1 2 − 2 1 .(︁ 1(2 − 1 3 )(3 + 1 2 ), −Неподвижные точки системы Эйлера – Пуассона определяются изусловия sgrad = 0. В частности, существует скалярная константа Ω,такая, что = Ω.313(5.2.2)Оставшиеся условия относительного равновесия дают(Ω2 − 1 3 )(Ω3 + 1 2 ) = 0,(5.2.3)1 Ω1 2 + [0 + (Ω2 − 221 )1 ]3 = 0,(0 −21 1 )2(5.2.4)+ 1 Ω1 3 = 0.Для дальнейшего примем следующую точку зрения. Ненулевые параметры 0 , в совокупности характеризуют взаимодействие гиростата спотенциальным силовым полем.
Будем считать их выбранными и фиксированными. Классифицирующим различные системы будем считатьпараметр 1 , характеризующий гироскопические силы и обеспечивающий деформацию задачи Ковалевской. Различие систем будет удобноопределять по величине 21 . Введем обозначения для значений этой величины, которые будут в разных ситуациях служить разделяющими:1 =0,22 =0,√ 03 = (5 + 3 3) .(5.2.5)Опишем относительные равновесия в терминах вектора и величины Ω с учетом равенства (5.2.2).Предложение 24. (i) Относительные равновесия гиростата Ковалевской – Соколова образуют следующие семейства:1,2 : 1 = ±,3 :4 :2 = 0,3 = 0,01Ω,=(Ω),=3 (Ω),23321 − Ω221 − Ω221 − Ω20Ω11 = 2 ,2 = − 2 4 (Ω),3 = 2 4 (Ω),2121211 =(5.2.6)где32 (Ω) =2 (21 − Ω2 )2 − 20,21 + Ω242 (Ω) =421 2 − 20.21 + Ω2(ii) В семействах 1 , 2 величина Ω произвольна. Семейство 3 состоит из двух подсемейств 3′ для Ω2 ∈ [21 + 2 , +∞) и 3′′ для Ω2 ∈ [0, 21 − 2 ].314Первое подсемейство существует при всех значениях физических параметров, второе – только при условии 21 > 2 .
Семейство 4 существует только при условии 21 > 1 , и в нем величина Ω произвольна.(iii) При фиксированных физических параметрах, таких, что21 ̸= 1 и 21 ̸= 2 , допустимому значению Ω отвечает по одной точкесемейств 1 , 2 и по две точки семейств 3 , 4 .Отметим, что при равенстве 21 = 1 все семейство 4 сливается с 1 , аграничный случай 21 = 2 приводит к единственной точке в 3′′ , котораяпринадлежит 1 (значение Ω = 0).Для доказательства предложения достаточно заметить, что уравнения (5.2.4) образуют линейную однородную систему по 2 , 3 .
Нулевоерешение дает семейства 1 , 2 , а для ненулевых решений равенство нулюпервого или второго сомножителя в (5.2.3) приводит, соответственно, ксемействам 3 , 4 .Вычислим значения первых интегралов в точках найденныхсемейств. Получим1 :ℎ = −0 + 2 Ω2 ,ℓ = 2 Ω, = 2 [0 − (21 − Ω2 )]2 ,2 :ℎ=0 + 2 Ω2 ,ℓ = 2 Ω, = 2 [0 + (21 − Ω2 )]2 ,3 :4 :20 (21 − 3Ω2 ) + 2 (21 − Ω2 )3Ω[20 + 2 (21 − Ω2 )2 ], ℓ=, = 0,ℎ=−2(21 − Ω2 )22(21 − Ω2 )221ℎ = − 02 − 21 2 + 2 Ω2 , ℓ = 2 Ω, =(20 + 421 2 Ω2 )2 .441161Из предложения 24 и выражений первых интегралов находим количество относительных равновесий в прообразах.Предложение 25. В прообразе точки из пространства констант первых интегралов, отвечающей случаю наличия относительного равновесия, имеется по одному относительному равновесию для семейств 1 ,2 и по два – для семейств 3 , 4 .3155.3.
Диаграммы СмейлаВ работе [24] Смейл поставил вопрос о структуре бифуркационныхдиаграмм энергии–момента в системах с симметрией и решил его длянатуральных механических систем: бифуркационная диаграмма Σотображения× : → R2( – конфигурационное пространство) состоит из пар (ℓ, ℎ), в которыхℎ – критическое значение так называемого эффективного потенциала –зависящей от константы ℓ интеграла момента функции ℓ на конфи˜ профакторизованной системы.
Далее диагурационном пространстве граммы Σ называем диаграммами Смейла.В работе [176] схема Смейла была распространена на механическиесистемы с гироскопическими силами. К таким системам относится задача о движении твердого тела с неподвижной точкой (конфигурационноепространство = (3)) с гамильтонианом (5.1.3). Профакторизованная система – это индуцированная система на 5 = {(M, )}, так что˜ = 2 () – это сфера Пуассона. Эффективный потенциал на сфере задан в этом случае формулой1(2ℓ + 1 2 3 )2ℓ () = −0 1 − 21 (22 + 232 ) +.22[2(12 + 22 ) + 32 ](5.3.1)Поскольку критические точки отображения × – это в точности относительные равновесия, то критические точки ℓ описываются предложением 24: при заданном ℓ нужно выбрать Ω в соответствии с (5.2.2) так,что (Ω, ) = ℓ, то есть положитьΩ=2ℓ + 1 2 3.2(12 + 22 ) + 32Образы семейств относительных равновесий в плоскости (ℓ, ℎ) образуют кривые, формирующие диаграммы Смейла.
Допуская некоторую316вольность, будем эти кривые обозначать так же, как и сами семейства:1 : ℎ = −0 + 2 Ω2 ,ℓ = 2 Ω,0 + 2 Ω2 ,ℓ = 2 Ω,2 : ℎ =20 (21 − 3Ω2 ) + 2 (21 − Ω2 )3Ω[20 + 2 (21 − Ω2 )2 ], ℓ=,: ℎ=−2(21 − Ω2 )22(21 − Ω2 )2204 : ℎ = − 2 − 21 2 + 2 Ω2 , ℓ = 2 Ω.41(5.3.2)3′ , 3′′Напомним обозначения (5.2.5).Предложение 26. В случае Ковалевской – Соколова существует четыревида диаграмм Смейла, устойчивых относительно малых возмущенийпараметров. Разделяющими значениями параметров служат 21 = ( = 1, 2, 3).Доказательство следует из свойств кривых и их взаимных пересечении.
Перечислим необходимые факты.Нетрудно видеть, что 1 , 2 и 4 – это конгруэнтные параболы :ℓ2ℎ = + ,ℓ ∈ R,(5.3.3)причем20 + 441 24 = −< 1 = −0 < 2 = 0 .421Первое неравенство выполнено, естественно, в области параметров21 > 1 , где кривая 4 существует.Диаграммы Смейла, очевидно, симметричны относительно осиℓ = 0, поэтому все дальнейшие рассуждения приводим для ℓ > 0, не оговаривая это особо.Кривая 3 не имеет простой явной зависимости.
Отметим, что ее аналог в классическом случае Ковалевской (1 = 0) можно записать в виде]︁1 [︁22 222 2 3/2ℎ(ℎ + 90 ) ± (ℎ − 30 ),ℓ± =2720317так что на ℓ+[︁ √]︁ℎ ∈ 0 3, 20 ,а на ℓ−[︂]︂4ℓ2 ∈ √ 0 3 , 0 3 ,3 3√)︂4ℓ2 ∈ √ 0 3 , +∞ .3 3Сегмент ℓ+ соединяет точку возврата кривой 3′√︃√4√ 0 , ℎ = 0 3: ℓ=3 3[︁[︂)︁ℎ ∈ 0 3, +∞ ,с точкой 1 касания кривых 3′ и 21 :√ℓ = 0 ,ℎ = 20 .При этом вся кривая 3′ находится строго выше кривой 1 , кривых 3′′ , 4не существует.
Соответствующая диаграмма показана на рис. 5.1,a, дополнительные обозначения будут объяснены позже.Пусть 1 > 0.Лемма 6. В полуплоскости ℓ > 0 кривая 3′ имеет с кривой 2 ровно однуточку касания 1 и ровно одну точку пересечения 1 . Кривая 3′ имеетединственную точку возврата .Доказательство. Записывая условие пересечения кривой 3′ с параболой 2 в явной форме (5.3.3) и выполняя подстановку на 3′Ω2 = 21 + 2 + , > 0,получим уравнение 2 1 () = 0,где1 () = 3 3 − (21 − 0 )2 2 − 20 (221 + 0 ) − 220 (221 + 0 ).318(5.3.4)hhd3¢Cd3¢d2CT1T1I1BI1BDA2A2d1Xd2DXd1CℓAA CA1A1A4(a)hE(b)hCd3¢BA2I1d2T1A2XA3T1I1d1T2AℓFd2DT2CCd3¢Bd1DXAA1ℓd4ℓAEd²3A4d4DAI3(c)A1Fd²3A3I2GCAEd4FEA4(d)Рис.
5.1. Диаграммы Смейла и порожденные областиКратный корень = 0 отвечает точке касания в начале промежутка изменения Ω, координаты которой вычисляются так:1 :√︁ℓ = (0 + 21 ),ℎ = (20 + 21 ).Многочлен 1 (), обладая свойствами 1 (0) < 0, 1′ (0) < 0, 1 (+∞) = +∞,имеет ровно один положительный, и притом простой, корень, отвечающий точке трансверсального пересечения 3′ и 2 , обозначенной через 1 .319Для нахождения точек возврата запишем на 3 системуΩ ℎ = 0,Ω ℓ = 0.Получим одно уравнение, которое в подстановке (5.3.4) примет вид2 () = 0, где2 () = 3 3 + 30 2 2 − 220 (221 + 0 ).Очевидно, и этот многочлен на полупрямой > 0 имеет единственный ипростой корень, определяющий точку возврата .Отметим зависимости между 1 и Ω (для семейства 3′ ) в точках 1 и, вытекающие из уравнений 1 () = 0 и 2 () = 0:⎧( + 0 )(2 2 − 220 )⎪2⎪⎨ 1 : 1 =0( + 20 )2 = Ω2 − (21 + ) > 0.3 32 23 ; + 30 − 20⎪⎪⎩ : 21 =240(5.3.5)Для точки 1 , принадлежащей также образу семейства 2 , значение Ω в2 будет другим.В качественном плане диаграмма Смейла, построенная для малых1 , сохранится при увеличении 1 до значения 21 = 2 , после которого появляется кривая 4 (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
