Диссертация (786043), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Имеем11 1221 22,=−,−(1 + 2 )2(1 + 2 )212 2111 22+ =,=,−(1 + 2 )2(1 + 2 )2+ = −+ =231,(1 + 2 )2− =232.(1 + 2 )2Подставляя эти выражения вместе с (3.3.2) в (3.2.15), выбираем знаки радикалов согласованными таким образом, чтобы выполнялись интегральные соотношения (3.2.6). Для этого достаточно выполнения равенства, по смыслу согласованного с (3.2.16):√√︀ √︀√+ − = + − .Поэтому положим11 12 √21 22,,− = i1 + 21 + 2√√12 2111 22+ =,− =,1 + 21 + 2√√√√231232+ =,− =.1 + 21 + 2√+ = −i240Тогда из (3.2.15) получаем21 2211 121 = i √︀,2 = − √︀,2 2(1 + 2 )2 2(1 + 2 )i3 = − √ 2(12 22 31 + 11 21 32 ),2 (1 − 22 )11 = √ 2(12 21 31 + 11 22 32 ),2 (1 − 22 )i2 = − √ 2(11 22 31 + 12 21 32 ),2 (1 − 22 )√23 = √.1 + 2(3.3.4)Для вывода дифференциальных уравнений для новых переменных1 , 2 из определения (3.2.2) в силу системы (3.1.1) найдем˙ = 23 (2 1 + 1 2 ),˙ = 23 (1 2 − 2 1 ),что в подстановке (3.3.4) дает2212 22 32 + (2 − )11 21 31˙ = (1 − )√,(21 − 22 )(1 + 2 )√2 (11 21 31 + 12 22 32 )˙ = −.(21 − 22 )(1 + 2 )С другой стороны, из (3.3.2) имеем˙ =[︀ 2]︀12(−)˙+(−)˙,1221(1 + 2 )2˙ = −2(˙ 1 + ˙ 2 ).(1 + 2 )2Из двух последних систем получим разделенную систему(1 − 2 )˙ 1 =√︀ (1 ),(1 − 2 )˙ 2 =√︀ (2 ),(3.3.5)где11 () = 1 ()2 ()3 () = (2 + − 2 )(2 − + 2 )[( − )2 − 2 ].
(3.3.6)Уравнения (3.3.4), (3.3.5) сводят случай Д. Н. Горячева к гиперэллиптическим квадратурам. Указанные уравнения были представлены в кратком сообщении [58].2413.4. Допустимая область и бифуркационная диаграммаНачиная с этого момента, считаем, что оставшийся свободный физический параметр положителен(3.4.1) > 0.Полученные выше аналитические результаты по разделению переменных справедливы и для < 0, но качественное поведение системы может значительно отличаться.
В частности, полная энергия в окрестности особенности 3 = 0 окажется неограниченной снизу.В качестве пары независимых (почти всюду) интегралов на удобно выбрать , . Ведем интегральное отображение =×√ : → R2(3.4.2)и рассмотрим интегральные многообразия, = −1 (, ) = { ∈ : () = , () = 2 }( > 0).В силу соотношения (3.2.1) они совпадают с соответствующими многообразиями (3.2.6).Далее мы пользуемся методами работы [118]. Напомним некоторуютерминологию.Допустимым множеством называется подмножество плоскости(, ), состоящее из всех точек, для которых , ̸= ∅. Фиксируем(, ) ∈ . Достижимой областью a(, ) называем проекцию интегрального многообразия , на плоскость (1 , 2 ). Из (3.3.4), (3.3.5) в предположении (3.4.1) следует, что любая связная компонента достижимойобласти является прямоугольником, ограниченным отрезками прямых,параллельных координатным осям.
На этих прямых значение постоянной координаты является корнем многочлена (), называемого максимальным многочленом.242Напомним, что бифуркационной диаграммой называется подмножество Σ ⊂ R2 , над которым отображение (3.4.2) не является локальнотривиальным. В условиях рассматриваемой задачи оно совпадает с множеством критических значений . Наличие зависимостей (3.3.4) гарантирует, что Σ есть часть дискриминантного множества Δ многочлена(3.3.6), содержащаяся в :Σ = Δ ∩ .(3.4.3)Из (3.3.6) получаем, что Δ состоит из трех прямых = −2, = 2, =0и четырех парабол = ±2 + ( ± )2 .(3.4.4)Для нахождения допустимого множества требуется получить необходимые и достаточные условия вещественности значений (3.3.4) в терминах знаков подрадикальных выражений в наиболее компактной форме независимых неравенств, легко проверяемых в областях, на которыеплоскость постоянных интегралов делится дискриминантным множеством.Пусть ℬ = {0, 1} – булева пара.
Следуя [118], вводим функцию (булев знак) bsgn : R → ℬ, такую, что⎧⎨ 0,bsgn() =⎩ 1,>0.<0Обозначая символом ⊕ сумму по модулю 2, имеем свойствоbsgn(1 2 ) = bsgn(1 ) ⊕ bsgn(2 ).Введем булевы переменные = bsgn 1 ,3+ = bsgn 2243( = 1, 2, 3).При отсутствии кратных корней многочлена любая компонента достижимой области a(, ) имеет внутреннюю точку. В такой точке условия вещественности (3.3.4) запишутся в виде системы ℬ-линейных уравнений2 ⊕ 5 = 1,1 ⊕ 4 = 0,3 ⊕ 4 ⊕ 5 = 1,1 ⊕ 2 ⊕ 6 = 1,(3.4.5)2 ⊕ 3 ⊕ 4 = 0,1 ⊕ 5 ⊕ 6 = 0,1 ⊕ 3 ⊕ 5 = 1,2 ⊕ 4 ⊕ 6 = 1.Очевидно, ранг этой системы над ℬ равен 4 и она эквивалентна системеz = 0 ,(3.4.6)где z = (1 , ..., 6 ) ∈ ℬ 6 , булева матрица имеет вид (нуль изображаемпустой клеткой)1 2 3 4 5 612311 11,114111 1а 0 = (0, 1, 1, 0) .Заметим, что1 () > −2 ().поэтому к системе (3.4.6) можно добавить условия-импликации⎧⎧⎨ ( → ¬ ) = 1,⎨ ( , ) ̸= (1, 1),121 2⇔⎩ (4 → ¬5 ) = 1,⎩ (4 , 5 ) ̸= (1, 1).244(3.4.7)Кроме того, транспозиция 1 ↔ 2 в формулах (3.3.4) равносильна замене знака у всех одновременно, поэтому можно условиться, например, о выполнении неравенства21 < 22 ,(3.4.8)что дает21 < 22 ,откуда(5 → 2 ) = 1 ⇔ (2 , 5 ) ̸= (0, 1).Перечисленным условиям отвечает лишь одно из четырех решений системы (3.4.6)z = (0, 1, 1, 0, 0, 0) .Следовательно, единственная система неравенств, обеспечивающая вещественность решения (3.3.4) при договоренности (3.4.8), имеет вид( + 2) − 21 > 0,( + 2) −22> 0,21 − ( − 2) 6 0,22− ( − 2) > 0,(1 − )2 − 2 6 0,22(3.4.9)(2 − ) − > 0.Так как мы условились брать неотрицательным, отсюда сразу следует,что решения возможны лишь в квадранте > 2, > 0.(3.4.10)Введем в силу этого обозначения1 =√ − 2, 2 =1 = − ,√ + 2 (0 < 1 < 2 ),2 = + (3.4.11)(1 6 2 ).При условии (3.4.1) из последнего уравнения (3.3.4) с необходимостьювытекает требование1 + 2 > 0.245Поэтому при выборе (3.4.8) получаем, что 2 > 0, и тогда система (3.4.9)определяет следующие условия на достижимую область1 ∈ [−1 , 1 ] ∩ [1 , 2 ],(3.4.12)2 ∈ [1 , 2 ]∖[1 , 2 ].VI4VI4fVkVIVIV3III3IIII*I2VIIIIVII112(2b,0)II(2b,0)a)б)Рис.
3.3. Дискриминантное множество и кодировка областей: а) < 1; б) > 1.Пересечение множества Δ с квадрантом (3.4.10) показано на рис. 3.3.При переходе через значение = 1 исчезает область III и возникает область, обозначенная III* . На параболах (3.4.4), в соответствии с их нумерацией на рис. 3.3, имеем: 1) 1 = |1 |; 2) 1 = 2 ; 3) 2 = 2 ; 4)2 = |1 |. Сводка результатов по распределению значений (3.4.11) приведена в первых двух столбцах табл. 3.4.1. Оставшиеся два столбца содержат промежутки осцилляции переменных 1 , 2 , определенные согласно (3.4.12).
Таким образом, движения возможны лишь в областяхI−III, при этом проекция интегрального многообразия на плоскость разделенных переменных состоит из одного прямоугольника.246Таблица 3.4.1НомерКорни областиОбластьОбластьизмененияизменения12I−2 < −1 < 1 < 1 < 2 < 2[1 , 1 ][2 , 2 ]II−2 < −1 < 1 < 2 < 1 < 2[1 , 2 ][1 , 2 ]III−2 < 1 < −1 < 1 < 2 < 2[−1 , 1 ][2 , 2 ]III*−2 < −1 < 1 < 1 < 2 < 2∅[1 , 1 ]IV−2 < −1 < 1 < 1 < 2 < 2[1 , 1 ]∅V−2 < 1 < −1 < 1 < 2 < 2[−1 , 1 ]∅VI1 < −2 < −1 < 1 < 2 < 2[−1 , 1 ]∅VII−2 < −1 < 1 < 1 < 2 < 2∅[1 , 1 ]∪[2 , 2 ]Суммируем полученную информацию относительно допустимогомножества.Теорема 31. Допустимое множество в пространстве констант пер√вых интегралов , имеет вид:1) при < 1√ = {0 6 6 , > 2 + ( − )2 } ∪ { 6 6 2 − , > 0}∪√∪ { > 2 − , > −2 + ( + )2 };2) при > 1 = {0 6 6 1, > 2 + ( − )2 } ∪ { > 1, > −2 + ( + )2 }.В силу этих неравенств получим согласно (3.4.3) следующее утверждение о бифуркационной диаграмме.√Теорема 32.
Бифуркационная диаграмма отображения × состоит из следующих множеств: при < 1247) = 2,) = 0,√ 6 6 2 − , > 2 + 2 ,) = 2 + ( − )2 ,0 6 6 1,) = 2 + ( + )2 , > 0,√ > 2 − ;) = −2 + ( + )2 ,а при > 1) = 0, > 2 + 2 ,) = 2 + ( − )2 ,0 6 6 1,) = 2 + ( + )2 , > 0,) = −2 + ( + )2 , > 1.Отрезок оси = 0 включается в бифуркационную диаграмму, поскольку очевидно, что ноль – критическое значение функции , а для√арифметического корня в соответствующих точках нарушается гладкость.Допустимое множество и бифуркационная диаграмма указаны нарис. 3.4.
Номерами 1–7 отмечены различные участки множеств (a)–(e),на которые их разбивают узловые точки диаграммы. Очевидно, что припереходе к значениям > 1 картина лишь упрощается, поэтому топологический анализ достаточно провести для случая < 1. На рис. 3.4,аотмечены пути 1 − 4 , указав бифуркации вдоль которых, мы получимполную информацию для построения любого грубого топологическогоинварианта.3.5. Фазовая топологияРассмотрим наиболее богатый случай < 1. Для вычисления количества компонент связности регулярных интегральных многообразий(количества торов Лиувилля) и критических интегральных поверхностей воспользуемся методом булевых вектор-функций [118].
Сопоста2485fP2kl345P1 l47IIIP2I3I6l2q1722IIIIl1q21q2a)1б)Рис. 3.4. Допустимое множество и бифуркационная диаграмма: а) < 1; б) > 1.вим каждому радикалу в (3.3.3) его булев знак = bsgn 1 ,3+ = bsgn 2( = 1, 2, 3).Напомним, что здесь подразумеваются следующие предварительные действия, не влияющие на используемые формулы.Фиксирована некоторая связная компонента Π достижимой области – прямоугольник осцилляции пары (1 , 2 ). Тогда вполне определены знаки всех подкоренных выражений в зависимостях (3.3.4). У отрицательных изменим знак, множитель i вынесем в коэффициент перед произведением радикалов и соответственно переопределим так,что это значение будет вещественным.Сопоставляя каждому моному от радикалов в (3.3.4) компонентубулевой вектор-функции, придем к тем же выражениям для компонент,которые фигурируют в левых частях уравнений (3.4.5).
Полученнуюℬ-линейную функцию обозначим ˜ : ℬ 6 → ℬ 8 . Исключение зависимых249компонент (элементарные преобразования строк соответствующей матрицы), сводят ее к функции : ℬ 6 → ℬ 4 с матрицей (3.4.7), которуютакже как и ранее обозначим через . Дальнейший алгоритм состоит вследующем. На заданном прямоугольнике Π аргументы функции разбиваем на две группы, помещая в первую булевы знаки радикалов, неменяющих знак на траекториях в Π, а во вторую – булевы знаки радикалов, периодически меняющих знак на этих траекториях. Для каждого из нефиктивных аргументов второй группы элементарными преобразованиями матрицы добьемся того, чтобы соответствующий столбец стал единичным, после чего исключим из этот столбец и строку,содержащую выбранный аргумент. В результате получим ℬ-линейноеотображение, зависящее только от аргументов первой группы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
