Диссертация (786043), страница 26
Текст из файла (страница 26)
. , 6; = 1, 2, 3), невырождены как особенности отображения ℱ,за исключением следующих значений энергии:на 1 : ℎ = −2;на 2 : ℎ = 2;209на 3 : ℎ = 2, ℎ = ℎ(0 );на ℒ2 : ℎ = 2, ℎ =32 +22 ;на ℒ3 : ℎ = −2;2на ℒ4 : ℎ = 2, ℎ = √на ℒ5 : ℎ = ±2 .+322 ;В зависимости от семейства и значения энергии тип невырожденных особенностей в 6 и 3-атомы в критических подсистемах определяются по табл. 2.3.2.Таблица 2.3.2КоличествотраекторийТип в 63-атомв ℳ23-атомв ℳ311 : −( + ) < ℎ < −( − )1центр-центр12 : ℎ > −( − )2центр-центр2221 : − < ℎ < + 1седло-седло32 +222седло-седло222седло-седло2224 : ℎ > 22седло-центр2231 : −( + ) < ℎ < −21центр-центр1центр-седло33 : ℎ > − 2центр-седло2241 : −( − ) < ℎ < 21седло-центр1седло-седло2седло-седло222седло-седло221 Образ или сегмент в образе3-атомв ℳ1ℒ1ℒ2 22 : + < ℎ <23 :32 +22< ℎ < 2ℒ3 32 : −2 < ℎ < − ℒ4 42 : 2 < ℎ < + 43 : + < ℎ <44 : ℎ >2 +3222 +322210Таблица 2.3.2 (продолжение)1 Образ или сегмент в образеКоличествотраекторийТип в 6√√50 : −2 < ℎ < 2 1фокус-фокус√51 : −( + ) < ℎ < −2 1центр-центр, √52 : 2 < ℎ < + 1седло-седло, 53 : ℎ > + 2седло-седло2* , 261 : −( − ) < ℎ < − 1седло-центр, 62 : ℎ > − 2седло-центр2* , 21 1 : ∈ (−, 0)2центр-центр222 2 : ∈ (0, )2седло-центр2231 : ∈ (, 0 )4седло-центр4432 : ∈ (0 , +∞)4центр-центр44ℒ53-атомв ℳ13-атомв ℳ23-атомв ℳ3ℒ63Заметим, что перечисленным случаям вырождения отвечают точки1 − 8 на бифуркационных диаграммах.Поясним порядок слов, характеризующих тип точки относительно 6 в табл.
2.3.2. Для семейств ℒ с = 1, . . . , 4 первый тип – это тип точки ранга 1 в подсистеме ℳ2 , второй – это тип этой точки в подсистемеℳ3 ; для семейств 1,2,3 первый тип – это тип точки ранга 1 в подсистемеℳ1 , второй – это тип этой точки в подсистеме ℳ3 . Семейства ℒ5,6 (кромепрообраза фокусного сегмента 50 , который является изолированным впространстве констант первых интегралов, и его граничных точек, длякоторых соответствующие критические точки ранга 1 вырождены) являются множеством трансверсального самопересечения фазового пространства подсистемы ℳ3 . Поэтому каждой такой траектории отвечают два значения и две точки ± ( = 5, 6) в диаграмме подсистемы ℳ3211(см. рис. 2.3).
Знак “минус” отвечает м’еньшему значению . Поэтому втабл. 2.3.2 для этих семейств первый тип – это тип точки ранга 1 в части подсистемы ℳ3 с м’еньшими , второй – это тип этой точки в частиподсистемы ℳ3 с б’ольшими .Для доказательства теоремы в работе [57] явно предъявлены парыинтегралов, порождающие картанову подалгебру размерности 2 в алгебре симплектических операторов, и следующие интегралы, порождающие регулярные элементы этих подалгебр:наℒ1,2 : 1,2 = − 2(ℎ ± 2),наℒ3,4 : 3,4 = − 2(ℎ ± 2),наℒ5,6 : 5,6 = ± − ,на : = 2 − (2 − κ )( = 1, 2, 3),где√︀√︀κ1 = ( 2 − 2 + 2 − 2 )2 , ∈ [−, 0);√︀√︀κ2 = ( 2 − 2 − 2 − 2 )2 , ∈ (0, ];√︀√︀22κ3 = −( − − 2 − 2 )2 , ∈ [, +∞).Атомы бифуркаций, происходящих внутри критических подсистемℳ1 , ℳ2 , ℳ3 на периодических траекториях, состоящих из критическихточек ранга 1, установлены в результате топологического анализа этихподсистем (см. [157, 158, 160]).Рассмотрим множество 2 критических точек ранга 2.
Это объединение трех систем ℳ1 , ℳ2 и ℳ3 за вычетом уже исследованных точекмножества 0 ∪ 1 . По соображениям размерности тип невырожденнойособенности ранга 2 может быть либо эллиптическим (“центр”), либогиперболическим (“седло”). Поскольку свойство невырожденности может быть присуще лишь всему тору Лиувилля целиком, и тогда все точки тора имеют один и тот же тип, говорим об эллиптических или гиперболических торах.212Отметим сразу, что каждый интегральный 2-тор, регулярный в системе ℳ1 и невырожденный в 6 , является эллиптическим. Это вытекает из того, что интеграл = 12 + 22 есть неотрицательная всюду функция и обращается в ноль только на ℳ1 .Теорема 26.
Все критические точки ранга 2 на многообразии ℳ1 , за исключением точек нулевого уровня интеграла , являются невырожденными эллиптического типа.Доказательство. На ℳ1 нет точек зависимости интегралов и , кроме множеств 1 − 3 [87] (отметим, что зависимость ограничений |ℳ1и |ℳ1 или, что то же самое, ограничений |ℳ1 и |ℳ1 , исследована в[157, 165]). В то же время всюду на ℳ1 имеем = 0. Характеристическое уравнение оператора в R9 легко выписывается с учетом уравнений многообразия ℳ1 , имеет семь нулевых корней, а оставшийся сомножитель 2 + 4 2 имеет два различных мнимых корня при ̸= 0, чтои доказывает теорему.В образе отображения момента значения = 0 дают множествоΔ1 ⊂ R3 (ℎ, , ), для которого тем самым получено обоснование вырожденности соответствующих критических точек.На многообразии ℳ2 система (2.1.1) имеет явное алгебраическоерешение [158], а именно, все фазовые переменные представлены в виде рациональных функций от двух вспомогательных переменных 1 , 2√и некоторых радикалов вида − , где – константы, выраженныечерез постоянные интегралов , .
В переменных 1 , 2 уравнения движения разделяются и сводятся к эллиптическим квадратурам. Соответствующие формулы можно найти в [57].Теорема 27. Все критические точки ранга 2 на многообразии ℳ2 , за исключением точек, лежащих в прообразе кривых Δ1 , Δ2 , невырождены.213При этом они имеют эллиптический тип для > 0 и гиперболическийтип для < 0.Доказательство. В качестве единственного интеграла вида (2.1.5), имеющего особенность в каждой точке ℳ2 ∩ 2 , благодаря достаточно простым уравнениям (2.2.1) листа Π2 , удобно взять функциюΦ = 2 (, , ) = (2 − 2 )2 − 4 .(2.3.1)Для нее характеристическое уравнение оператора Φ после необходимой факторизации по нулевому корневому подпространству в подстановке явных зависимостей фазовых переменных от переменных разделения примет вид2 + 412 ℓ2 = 0,(2.3.2)и, за исключением случаев = 0 (Δ1 ) и ℓ = 0 (Δ2 ), имеет два различных корня, чисто мнимых при > 0 и вещественных при < 0.
Здесь ℓконстанта частного интеграла , определенного в (2.2.3). Теорема доказана.Как показано в [158], ℳ2 состоит из критических точек нулевого√уровня функций 2 − 2 ± 2 , одна из которых является суммойквадратов двух гладких регулярных функций ( > 0), а другая – разностью квадратов ( < 0, ℓ ̸= 0). Отсюда следует эллиптичность двумерныхторов в первом случае, и гиперболичность во втором. Уравнение (2.3.2)строго доказывает невырожденность таких точек. Интересно отметитьсвязь вырожденности критических точек с аналитическим решением.При = 0 падает степень подкоренного выражения в разделенных дифференциальных уравнениях типа Абеля – Якоби. При ℓ = 0 переменные1 , 2 входят в разделенные уравнения только в четных степенях, в связис чем возникает дополнительная симметрия. В целом ℳ2 неориентируемо, и главную роль в этом играет окрестность множества ℓ = 0 [110].214На многообразии ℳ3 явное алгебраическое решение системы (2.1.1)указано в [160, 161].
Все фазовые переменные представлены в виде рациональных функций от двух вспомогательных переменных 1 , 2 и неко√торых радикалов вида − , где – константы, выраженные черезпостоянные интегралов , . В переменных 1 , 2 уравнения движенияразделяются и имеют вид уравнений Абеля – Якоби или уравнений Ковалевской с многочленом шестой степени под радикалом.
Это разделение гиперэллиптическое. Соответствующие формулы также имеютсяв [57].Теорема 28. Все регулярные двумерные торы подсистемы ℳ3 состоятиз невырожденных критических точек ранга 2 отображения моментаℱ, за исключением точек в прообразах множеств Δ2 , Δ3 . Тор эллиптический, если значение (22 − 2ℎ + 2 + 2 )[4 + 2( − ℎ)3 + 2 2 ] отрицательно, и гиперболический, если оно положительно.Доказательство.
В качестве интеграла, имеющего особенность на ℳ3 ,можно взять функцию вида (2.3.1), полученную, например, исключением из уравнений (2.2.1) поверхности Π3 . Однако результат слишкомгромоздкий, и такой подход нерационален. Здесь удобно рассмотретьфункцию с неопределенными множителями Лагранжа, которая введена в [87] для вывода уравнений критических подсистем, Ψ = 2 + 2( −ℎ) + , где и ℎ рассматриваются как неопределенные множители.Как показано в [87], после записи условия наличия критической точки у функции Ψ константы , ℎ на ℳ3 оказываются значениями интегралов , .
Поэтому и при вычислении характеристического многочлена оператора Ψ считаем и ℎ константами, а лишь затем подставляемв найденное выражение зависимости фазовых переменных от переменных разделения. Получим характеристическое уравнение в виде]︁2(22 − 2ℎ + 2 + 2 ) [︁ 4232 2 − + 2( − ℎ) + = 0.215Отсюда следует утверждение теоремы.Подводя итог, обратимся к рис. 2.1 – 2.3, на которых образы критических точек ранга 2 заполняют области 1 − 3 , 1 − 9 и 1 − 17 . Длякритических подсистем эти области являются и камерами, так как мывключаем в Σ* также и образы вырожденных 2-торов.
В соответствии стеоремами 26 – 28 устанавливаем тип всех точек ранга 2.Предложение 18. Критические точки ранга 2 имеют эллиптическийтип в прообразах областей 1 − 3 , 1 − 3 , 1 − 4 , 10 , 13 , 17 и гиперболический тип в прообразах остальных областей. При этом в прообразахс эллиптическими бифуркациями 4-атомы таковы: для областей 1 , 1 ;2 для областей 1 , 2 , 2 , 3 , 4 , 10 , 13 ;4 для областей 4 , 5 , 6 , 12 , 16 ;8 для области 3 .В прообразах сегментов Δ1 , Δ2 и Δ3 двумерные торы состоят из вырожденных точек ранга 2.Информация по количеству критических 2-торов в прообразах всехуказанных областей получена при грубом топологическом анализе критических подсистем в работах [158, 160, 165] и для экономии места указана в табл.
2.4.1 следующего раздела. Ясно, что эллиптические 4-атомы этим полностью определены. Для гиперболических атомов необходимые уточнения будут приведены ниже.Получена полная классификация критических точек отображениямомента по их типам и 3-атомам, что завершает и описание грубой топологии критических подсистем.2162.4. Изоэнергетический атласИзоэнергетическая диаграмма (ℎ) – это бифуркационная диаграмма ограничения отображения момента ℱ на изоэнергетический уровеньℎ = { = ℎ} ⊂ 6 .
Естественным образом используется отождествление этого ограничения с отображением в плоскость постоянных , :ℱ|{=ℎ} ∼= (×)|{=ℎ} : ℎ → R2 (, ).Для краткости последнее отображение обозначим через ℱ(ℎ).Далее мы рассматриваем задачу классификации диаграмм (ℎ), оснащенных дополнительной информацией о топологическом устройстве прообраза – указанием количества семейств регулярных торов в дополнении к диаграмме и бифуркаций, происходящих при пересечении её одномерного остова. При этом сама диаграмма (ℎ) рассматривается какодномерное стратифицированное многообразие. Гладкие сегменты одномерного остова – это образы невырожденных критических точек ранга 2, а нульмерный остов есть образ всех критических точек рангов 1,а также вырожденных критических точек ранга 2.
Здесь, естественно,речь идет о точках фиксированного регулярного изоэнергетическогоуровня ℎ . Имея всю полученную ранее и выявленную на этом этапеинформацию, нетрудно снабдить и точки нульмерного остова описанием топологии насыщенных окрестностей в прообразе. Ввиду недостаткаместа мы ограничимся в следующем разделе грубыми круговыми молекулами гиперболических особенностей ранга 0.До настоящего времени, в силу того, что теоретически диаграммаможет быть устроена достаточно сложно, нет единого определения эквивалентных диаграмм. В нашем случае (ℎ) – плоское одномерное стратифицированное многообразие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
