Диссертация (786043), страница 22
Текст из файла (страница 22)
8]E66(11)* < < +∞Нет/Да [116, Табл. 8]F6(10)* < < 2Нет/НетG6(14)* < <H17(19)* < <H2H3Камера√ [27, Табл. 3] [27, Табл. 3],[116, Табл. 8]2Нет/Да2Нет/Нет2(5)4 < < +∞Нет/Да [116, Табл. 8]6(14)5 < < +∞Нет/Да [116, Табл. 8]√177 [116, Табл. 8]h1234ℓРис. 1.46. Диаграмма Смейла–Фоменко для = 0.8.178kkℓa1a2c4a3a9c1c2a4ℓb14321Рис.
1.47. Бифуркационная диаграмма в (ℓ, )-плоскости для = 0.8, ℎ = 2.5.1012 115987 613ℓРис. 1.48. Диаграмма Смейла–Фоменко для = 0.1.1795k*{a1b1a2c4a512a3115a5a3c9a8a7c8a4 a3c611b1c7c6b19 8 7 6 b21013Рис. 1.49. Бифуркационная диаграмма в (ℓ, )-плоскости для = 0.1, ℎ = 1.8.180Проиллюстрируем работу “конструктора” графов Фоменко на примерах. Рассмотрим диаграммы Смейла – Фоменко для средних значений (выбрано = 0.8) и пусть ℎ = 2.5 (рис. 1.46).
Этот уровень при возрастании ℓ от нуля пересекает пять камер E5 , E4 , A9 , A8 , A1 (путиℓ = const на рис. 1.46 занумерованы цифрами 1,...,5). В соответствующем ℎ-сечении диаграммы Σ() графы Фоменко определяются бифуркациями вдоль прямых ℓ = const при возрастании (пять пунктирныхстрелок на рис. 1.47).
Еще 8 камер можно увидеть на одном уровне ℎпри малых . Диаграмма Смейла – Фоменко для = 0.1 и уровень ℎ = 1.8показаны на рис. 1.48. Соответствующие пути ℓ = const на диаграммеΣ() с обозначением пересекаемых дуг показаны на рис. 1.49. Пересекаемые дуги отвечают областям, определенным диаграммами критических подсистем. Последовательности этих пересечений и соответствующих атомов для путей с номерами 1,...,13 приведены в табл. 1.6.2. Полный “конструктор” графов представлен в табл. 1.6.3.Таблица 1.6.2НомерпутиКамераПоследовательностьПоследовательностьГруппа графадугатомов(номер) 1 → 2 → 9 →+ → + → (+ , − ) →→ 4 → 2 → 1→ 2 → − → − 1 → 2 → 9 →+ → + → (+ , − ) →→ 3 → 1→ − → −1E52E43A91 → 2 → 1 →→ 4 → 3 → 1+ → + → − → + →→ − → −8(20)4A8 1 → 4 → 3 → 1+ → + → − → −2(3)5A1 1 → 1+ → −1(1)6B22 → 3 → 6 →→ 7 → 12+ → − → + →→ − → −7(18)7A6 1 → 4 → 3 →+ → + → − →→ 6 → 7 → 1→ + → − → −1819(22)8(21)7(16)Таблица 1.6.2 (продолжение)НомерпутиКамера8C9A510E311E212E113A4ПоследовательностьПоследовательностьГруппа графадугатомов(номер)1 → 4 → 8 →+ → + → 2+ → 2− →→ 7 → 7 → 1→ − → − 1 → 6 → 8 →+ → + → 2+ → 2− →→ 7 → 7 → 1→ − → − 1 → 6 → 8 →+ → + → 2+ → 2− →→ 9 → 3 → 1→ − → − 1 → 6 → 5 →→ 3 → 1+ → + → 2* →→ − → − 1 → 6 → 5 →+ → + → 2* →→ 4 → 2 → 1→ 2 → − → − 1 → 6 → 7 → 1+ → + → − → −6(12)6(9)6(9)4(7)5(8)2(3)Таблица 1.6.3КамераПоследовательностьдугПоследовательностьатомовГруппа графа(номер)A1 (1 ) 1 → 1+ → −1(1)A2 (2 ) 1 → 6 → 2 → 1+ → + → − → −2(2)1 → 6 → 7 →+ → + → − →→ 6 → 2 → 1→ + → − → − 1 → 6 → 7 → 1+ → + → − → − 1 → 6 → 8 →+ → + → 2+ →→ 7 → 7 → 1→ 2− → − → − 1 → 4 → 3 →→ 6 → 7 → 1+ → + → − →→ + → − → − 1 → 4 → 8 →+ → + → 2+ →→ 9 → 3 → 1→ 2− → − → − 1 → 4 → 3 → 1+ → + → − → −A3 (3 )A4 (4 )A5 (5 )A6 (6 )A7 (7 )A8 (8 )1823(6)2(3)6(9)7(16)6(9)2(3)Таблица 1.6.3 (продолжение)ПоследовательностьПоследовательностьГруппа графадугатомов(номер)1 → 2 → 1 →+ → + → − →→ 4 → 3 → 1→ + → − → −A10 (10 ) 1 → 2 → 1 → 1+ → + → − → −2(2)A11 (11 )1 → 2 → 11 →→ 10 → 1 → 1+ → + → 2+ →→ 2− → − → −6(10) 1 → 6 → 2 →+ → + → − →→ 2 → 1 → 1→ + → − → − 1 → 6 → 5 →+ → + → 2+ →→ 3 → 2 → 1→ 2− → − → −B1 (14 ) 2 → 3 → 12+ → − → −2(4)B2 (15 ) 2 → 3 → 6 →→ 7 → 12+ → − → + →→ − → −7(18)2 → 8 → 9 →2+ → 2+ → 2− →→ 3 → 1→ − → − 1 → 4 → 8 →+ → + → 2+ →→ 7 → 7 → 1→ 2− → − → − 2 → 8 → 7 →2+ → 2+ → 2− →→ 7 → 1→ − → −E1 (19 ) 1 → 6 → 5 →→ 4 → 2 → 1+ → + → 2* →→ 2 → − → −5(8)E2 (20 ) 1 → 6 → 5 →→ 3 → 1+ → + → 2* →→ − → −4(7) 1 → 6 → 8 →+ → + → 2+ →→ 9 → 3 → 1→ 2− → − → − 1 → 2 → 9 →+ → + → (+ , − ) →→ 3 → 1→ − → − 1 → 2 → 9 →+ → + → (+ , − ) →→ 4 → 2 → 1→ 2 → − → −E6 (24 )1 → 2 → 11 →→ 3 → 2 → 1+ → + → 2+ →→ 2− → − → −6(11)F(25 ) 1 → 6 → 5 →→ 10 → 1 → 1+ → + → 2+ →→ 2− → − → −6(10)КамераA9 (9 )A12 (12 )A13 (13 )B3 (16 )C(17 )D(18 )E3 (21 )E4 (22 )E5 (23 )1838(20)7(17)6(11)6(15)6(12)6(13)6(9)8(21)9(22)Таблица 1.6.3 (продолжение)КамераG(26 )H1 (27 )H2 (28 )H3 (29 )ПоследовательностьПоследовательностьГруппа графадугатомов(номер) 1 → 6 → 5 →+ → + → 2+ →→ 10 → 12→ 2− → − 1 → 6 → 2 →+ → + → − →→ 2 → 12→ + → 2−1 → 2 → 12+ → + → 2−1 → 2 → 11 →+ → + → 2+ →→ 10 → 12→ 2− → −6(14)7(19)2(5)6(14)Одно возникающее при этом интересное явление обычно при трактовке совпадения графов Фоменко не оговаривается – в некоторых группах имеются графы, все отличие которых в том, что пара атомов попадает или не попадает на один и тот же критический уровень .
Так, нарис. 1.45 все уровни, содержащие две критические окружности, обладают следующим свойством “устойчивости”: при любом достаточно малом возмущении (ℓ, ℎ) количество окружностей на таком критическомуровне не изменяется. Однако это не так, если критический уровень содержит кратные точки. Таковыми являются уровни ℓ = 0, = 1 + (ℎ −2 /2), ℎ > 2 /2, то есть все уровни, образ которых попадает на особую параболу (1.4.4). Такой уровень содержится в любом графе Фоменко вида0,ℎ с ℎ > 2 /2 (напомним, что граничное значение ℎ = 2 /2 задает изоэнергетическое многообразие с вырожденной точкой и здесь не рассматривается).
Как легко видеть, неустойчивой уровень при малом возмущении ℓ от нулевого значения без выхода за пределы камеры распадаетсяна два, лежащие на нем атомы расходятся на разную высоту по . Этоявление имеет место во всех камерах, имеющих выход на ось ℓ = 0 приℎ > 2 /2. Неустойчивые (в указанном смысле) графы Фоменко представлены на рис. 1.50.
Здесь обозначение камеры, снабженное индексом 0,184означает пересечение камеры с осью ℓ = 0.AAAAAAA00G H3A A AA AAAAC2BB00A13 E6E5E1A3A0000A2A*BBC2A*ABABBBBAABAAAAAAРис. 1.50. Неустойчивые графы Фоменко.1.7. ЗаключениеНа этом исследование фазовой топологии случая Ковалевской –Яхья закончено. Как отмечалось выше, эту главу можно дополнить описанием предельных случаев, с которых и начинались подобные исследования, а именно, классической задачи Ковалевской и гиростата с нулевой постоянной площадей.
Здесь они не только предполагаются известными, но и активно используются при построении топологическихинвариантов. Все исследуемые здесь объекты классифицированы в пространствах соответствующих параметров, построены и изображены разделяющие множества и определяемые ими области устойчивых типовобъектов, а затем проиллюстрированы и сами объекты в деталях.
Здесьсознательно не приводится подробное изложение общей теории интегрируемых гамильтоновых систем (кроме совсем необходимого минимума определений), поскольку тогда объем главы был бы несоразмерноувеличен.185Глава 2Топологический анализ волчка Ковалевской вдвойном поле силВ работе [24] С. Смейл сформулировал в современном виде задачутопологического анализа механических систем с первыми интеграламии разработал методы ее решения для класса систем, в которых интегралы, дополнительные к квадратичному по скоростям интегралу энергии,являются следствием наличия групп симметрий, действующих на конфигурационном пространстве.
В частности, эти интегралы линейны поскоростям. М.П. Харламов [25, 103, 104, 120, 121] предложил метод исследования топологии интегрируемых систем с нелинейными интегралами и выполнил топологический анализ классических интегрируемыхзадач динамики твердого тела. В работах Л.М. Лермана, Я.Л. Уманского [122, 123] развита теория особенностей интегральных отображенийвполне интегрируемых гамильтоновых систем, получены базовые результаты по топологической структуре окрестностей особенностей, которые теперь называют невырожденными. Новое понимание топологииинтегрируемых гамильтоновых систем и глобальные методы ее описания в терминах инвариантов предложены А.Т.
Фоменко [124–126]. Наоснове этих идей в последующих работах А.Т. Фоменко, его учеников иколлег создана теория топологической классификации. Отметим некоторые важные для этого направления работы А.Т. Фоменко, Х. Цишанга, А.В. Болсинова, С.В. Матвеева, Н.Т. Зунга, А.А. Ошемкова [127–131] и подробное изложение этой теории в монографии [26].Теория топологических инвариантов интегрируемых систем со многими степенями свободы была построена в работах А.Т. Фоменко [126,132, 133]. В этой теории введено новое понятие меченых сетей.
В ра186ботах Н.Т. Зунга [134], Л.С. Поляковой [135], А.В. Кузнецова [136] иЕ.Н. Селивановой [137] вычислены меченые сети для некоторых важных физических интегрируемых систем со многими степенями свободы (цепочки Тоды, системы трехточечных вихрей, геодезические потоки на многомерных сферах и торах). Исследования по топологии интегрируемых систем на многомерных многообразиях содержатся в работах А.В. Болсинова [138, 139]. В работах Ю.А. Браилова [140, 141] приведены результаты топологического анализа интегрируемой системы стремя степенями свободы, которая представляет собой аналог твердоготела на алгебре Ли (3).В цитированной выше работе С. Смейл в качестве примера рассматривал задачу тел из небесной механики. После этого долгое время одним из основных источников примеров интегрируемых систем с двумястепенями свободы являлась задача о движении твердого тела с неподвижной точкой в осесимметричном силовом поле вместе с ее обобщениями на некоторые коалгебры Ли.
Эта задача и сегодня остается важнымобъектом приложения новых идей и генератором новых интегрируемыхсистем (см., например, работы Х.М. Яхья, В.В. Соколова, А.В. Цыганова [30, 31, 86, 142–146] и приведенные в них ссылки). В классическойпостановке задача динамики твердого тела описывается механическойсистемой с гироскопическими силами на группе (3) с 1 -симметрией.Отказ от осесимметричных сил приводит к системам с тремя степенями свободы без возможности глобального понижения порядка. Задачейтакого типа является обобщение классического случая интегрируемости С.В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
