Диссертация (786043), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Из (1.4.42), (1.4.43) следует, что ˙ 2 > 0,поэтому вещественна и переменная , и к условию () > 0 существования вещественного промежутка осцилляции переменной добавляетсяусловие существования асимптотических движений () > 0. Полагаяℓ = 0,=1,22получим[︂(︂1 () = − +2)︂]︂ [︂(︂)︂]︂1− −,2136(︂ () =)︂1− 2 ().24Переменная осциллирует на отрезках[︂]︂[︂]︂1111− , −,, +2222при условии < 1 и на отрезках[︂]︂1 1− ,,2 2[︂11 − , +22]︂при условии > 1. В обоих случаях () > 0 на первом отрезке и () 6 0– на втором. Следовательно, для первой критической окружности существуют асимптотические к ней движения, а для второй – таких движений нет. Следовательно, вторая критическая окружность исчерпывает свою компоненту связности критической интегральной поверхности.Таким образом, для точек Δ01 , Δ04 в прообразе имеется две связных компоненты с критическими окружностями.Для точки Δ03 можно положить = 0.
Тогда(︂)︂(︁ )︁1122 () = −−, () =− (),22 > 1.Таким образом, осциллирует в симметричных промежутках[︃ √︂]︃[︃√︂√︂√︂ ]︃1111−,−( − ) ,( − ),,2222и для обеих критических окружностей имеются асимптотические движения. Достаточно ясно, что при стремлении к предельным критическим окружностям разные промежутки осцилляции не могут дать общий предел. Однако и это все же необходимо строго доказывать, исходяиз приведенных в [77] квадратур, что требует определенных технических выкладок.
В результате получим, что на связной компоненте интегральной поверхности переменная не может сменить промежуток осцилляции, поэтому таких компонент две (столько же, сколько и критических окружностей). Дадим и другое доказательство наличия двух137связных компонент. Отметим, что, несмотря на сильную степень вырождения, выражения, полученные из уравнений первых интегралов,не дают какого-либо обозримого решения данного вопроса. Воспользуемся уравнениями, полученными С.В. Ковалевской, и результатами работы [118]. Напомним, что в переменных разделения Ковалевской 1 , 2уравнения движения имеют вид√︀1(2 − 1 )= i 2(1 ),(2 − 1 )√︀2= −i 2(2 ),где() = ( − ℎ +√)( − ℎ −√)(),() = ( − ℎ)2 + (1 − ) − 2ℓ2и 1 > 2 . С.В. Ковалевская также указала выражения всех фазовых переменных через переменные разделения в виде однозначных функцийот 1 , 2 и набора алгебраических радикалов =√︀ − ( = 1, 2, = 1, .
. . , 5),(1.4.44)где – корни многочлена (). Принято обозначать через 1 , 2 , 3 корни() в порядке возрастания, если все они вещественны, и полагать 4,5 =√ℎ∓ . Известно [76, 114], что в случае трех вещественных корней у ()переменные разделения изменяются в областях1 ∈ [max{1 , 2 , 3 , 4 }, 5 ],2 ∈ [−∞, min{1 , 2 , 3 , 4 , 5 }],и, как показано в [118] методом булевых функций, выражения для фазовых переменных в общем случае сводятся к однозначным зависимостям от следующих произведений алгебраических радикалов, приведенных к вещественной форме:√︂√︂√︂√2 − 2 3 − 2 4 − 21 − 1,5 − 2 5 − 2 5 − 2√︂√︂√︂√1 − 2 3 − 2 4 − 2,1 − 25 − 2 5 − 2 5 − 2√︂√︂√︂√2 − 2 2 − 2 4 − 21 − 35 − 2 5 − 2 5 − 2138(1.4.45)(радикалы, содержащие отношения разностей, не меняют знак при 2 =−∞). В случае, когда переменная разделения отражается от границысвоей осцилляции, соответствующий радикал следует считать меняющим знак (радикал, отвечающий значению 2 = −∞, уже исключен процедурой редукции к выражениям (1.4.45)).
Если какое-либо из граничных значений является кратным корнем, то соответствующий радикалтоже считается меняющим знак, так как асимптотическая траекториявместе со своими предельными точками есть связное множество.Обратимся к рассматриваемой точке Δ03 при = 0. В этом случае1 =11< 2 = 3 = 4 = < 5 = +(напомним, что > 1). Тогда, обозначая трехкратный корень через * ,получим1 ∈ [* , 5 ],2 ∈ [−∞, 1 ].В выражениях (1.4.45) второе и третье совпадают, произведение парыодинаковых радикалов становится однозначной функцией и на знакиалгебраических выражений не влияет. Остаются следующие алгебраические выражения√√︂1 − 1√ * − 2, 5 − 2√︂1 − *1 − 2,5 − 2в которых второе меняет знак на связной компоненте интегральной поверхности и, следовательно, на количество связных компонент не влияет, а первое вдоль замыкания любой траектории сохраняет фиксированный знак, выбранный в начальный момент.
Вследствие этого, поверхность 03 имеет две связные компоненты. Теорема доказана.Множество Δ1Следующий класс вырожденных точек ранга 1 – это точки, лежащие в прообразе ребра возврата поверхности Π1 . Для интегральных па139раметров на этом множестве, обозначаемом через Δ1 , с учетом условийсуществования движений имеем1ℓ = ± √ 3/2 ,223ℎ= + ,22 ∈ [0, * ],(1.4.46)где * = * () – наибольший (вещественный) корень уравнения94 + 22 3 − 242 − 242 + 4(4 − 4 ) = 0,(1.4.47)существующий и положительный для всех > 0.
Множество Δ1 делитсяна качественно различные части его пересечением с образом множествакритических точек ранга 0, то есть с подмножествами пространстваинтегральных констант, а также пересечениями с исследованным вышемножеством Δ0 . Очевидно, что кривая 1 в этих пересечениях не участвует. Непосредственно проверяется, что все точки пересечения Δ1 ∩ Δ0содержатся в Δ1 ∩ 2 .
Условие пересечения Δ1 ∩ (2 ∪ 3 ) представляетсялибо уравнением (1.4.47), либо уравнением2 + 22 − 1 = 0.(1.4.48)На плоскости (, ) получаем разделяющие кривые⃒ √⃒⃒2 + 4 − 2 ⃒⃒⃒1 : = ⃒ √ > 0;⃒,⃒ ( 2 + 4 − )1/2 ⃒√︂1 1( − ), ∈ (0, 1] ⇔2 : =2√︀ = 1 + 4 − 2 , > 0.(1.4.49)(1.4.50)С учетом (1.4.46) образ кривой 1 на плоскости (ℓ, ) – это объединениекривых 23 и 31 , которые вместе могут быть представлены графиком однозначной функции⃒ √⃒⃒2 + 4 − 2 ⃒⃒⃒=⃒ √⃒,⃒ ( 2 + 4 − )1/2 ⃒√ 2/3 = ( 2ℓ) ,ℓ > 0,а образ кривой 2 – это кривая 22 в представлении (1.3.35).140Верхняя граница * значений – это ветвь кривой (1.4.49) при√ > 2/ 3, полученная в результате пересечения Δ1 с 3 (точка на ключевых множествах).
Другая ветвь кривой (1.4.49) для значений√ ∈ (0, 2/ 3] и кривая (1.4.51) – это пересечения Δ1 с 2 (соответственно точки 4 и 2 на ключевых множествах, причем 4 сливается с при = 0). Разделяющее множество и обозначения соответствующихточек на диаграммах подсистемы ℳ1 и на бифуркационных диаграммахприведены на рис. 1.27. Точки Δ11 , Δ13 имеют выход на частный случай = 0, точка Δ14 существует в частном случае ℓ = 0, точка Δ12 таких аналогов не имеет.Как и ранее, количество критических окружностей в прообразе Δ1устанавливается по диаграммам подсистемы ℳ1 и данным для примыкающих областей из табл. 1.4.1. Видим, что Δ11 разделяет 2 и 6 (однакритическая окружность в прообразе), Δ12 разделяет 3 и 4 (одна критическая окружность), Δ13 разделяет 7 и 8 (две критические окружности), Δ14 разделяет 10 и 11 (две критические окружности).
В случае, когда в прообразе точки Δ1 имеется лишь одна вырожденная окружность,то есть соответствующая критическая интегральная поверхность и круговая молекула связны, для точного описания топологии окрестноститочек ниже устанавливаются номера семейств, участвующих в бифуркациях. Это легко следует из результатов о прилегающих камерах и ономерах семейств в этих камерах. Если же окружностей две, то для обоснования структуры круговых молекул нужно доказательно установитьчисло компонент связности критической поверхности-прообраза Δ1 . Поумолчанию в [27] предполагалось, что при = 0 круговая молекулаточки Δ13 состоит из двух связных компонент, и также в [116] считалось, что из двух компонент состоит круговая молекула точки Δ14 приℓ = 0.
Докажем общее утверждение, воспользовавшись квадратурамиИ.Н. Гашененко. Аналогично предыдущему случаю, обозначим через 1141ss*(l)CD1223D13 B411B22D11B2B42-3/4D142Рис. 1.27. Разделяющие кривые для точек Δ1 .142lобъединение тех связных компонент прообраза точки Δ1 , которые содержат критические точки отображения момента.Теорема 16. Поверхности 13 , 14 состоят из двух компонент связности.Доказательство. По определению классов точек считаем, что (, ) принадлежит соответствующей открытой подобласти на рис.
1.27. В терминах (, ) многочлен () из (1.1.32) примет вид11 () = − 2 ( − )2 + ( − 2) − (2 − 1),24а его дискриминант, очевидно, есть произведение многочленов в левыхчастях (1.4.47), (1.4.48). Многочлен () имеет четыре вещественныхкорня в областях Δ13 , Δ14 (достаточно рассмотреть выходы на оси координат, когда соответствующее уравнение явно решается). Как отмечалось выше, на связной компоненте интегрального многообразия переменная не может сменить промежуток осцилляции, поэтому таких компонент в этих случаях две.В целом, согласно (1.4.8), точки Δ1 отвечают случаю 2 = 0 в решении Гашененко, тогда из (1.1.33), (1.1.34) получаем1 > 0, () = ( − )2 > 0,поэтому для обеих критических окружностей существуют асимптотические движения.Множество Δ3Последний класс вырожденных точек ранга 1 – это точки, лежащиев прообразе ребра возврата поверхности Π3 .
Для интегральных параметров на этом множестве, обозначаемом через Δ3 , с учетом условий суще143ствования движений имеем⎧⎨ ℓ ∈ R, 6 **2ℎ = ℎ + 2ℓ ,,⎩ |ℓ| > ℓ* , > *где=1,22/3 = −42 ℓ2 + * ,√√2/3222−4 + 4/3* = 3/4 , ℓ* = √ √>0( > * ),4/32/31/232( 4 + − )(︁)︁1ℎ* = 2/3 3 − 4/3 , * = (4/3 − 1)3 + 1.2Множество Δ3 делится на качественно различные части его пересе-чением с образом множества критических точек ранга 0, то есть с подмножествами пространства интегральных констант, а также пересечениями с исследованными выше множествами Δ0 , Δ1 . Очевидно, чтокривые 1 , 3 в этих пересечениях не участвуют, как не имеющие общихточек с Π3 .
Непосредственно проверяется, что все точки пересеченийΔ3 ∩ Δ0 и Δ3 ∩ Δ1 содержатся в Δ3 ∩ 2 . Поскольку на Δ3 при фиксированном постоянно и , то в качестве параметров, определяющих точкуΔ3 удобно взять и ℓ. Тогда условия пресечения Δ3 ∩ 2 (точка 3 ключевых множеств для всех и точка 5 для ∈ [0, 1]) сводятся к уравнениямдвух разделяющих кривых 1 , 2 для определения областей классификации диаграмм Σ (ℓ, ):1 √︀1 − 4/3 , 0 < 6 1,1/32√|22/3 − 4 + 4/3 |2 : ℓ = √ √, > 0.2( 4 + 4/3 − 2/3 )1/21 : ℓ =Ясно, что на 2 выполнено равенство ℓ(* ) = 0, а при > *√22/3 − 4 + 4/3= ℓ* ,ℓ() = √ √4/32/31/22( 4 + − )поэтому ветвь кривой 2 для > * является границей области существования точек множества Δ3 . Разделяющие кривые и обозначения точекΔ3 в соответствии с рис. 1.23, 1.24 показаны на рис.
1.28. Сопоставляяс (1.3.35), видим, что кривая 1 – это 21 , а кривая 2 – это 24 .144ℓB51D32B3D31142 2D33B52-3/41B3D342 233÷4Рис. 1.28. Разделяющие кривые для точек Δ3 .145lКоличество критических окружностей в прообразе Δ3 устанавливается по диаграммам подсистемы ℳ3 и данным для примыкающих областей из табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
