Диссертация (786043), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Нелокальное отличие точек в парах областей,разделенных кривой ℓ0 , то есть точек областей 10 и 12 и точек областей2 и 1 состоит в том, что на уровне общих первых интегралов для области 2 , 11 есть регулярные торы, а для областей 1 , 12 таких торов нет.Это отличие в терминах параметров аналитического решения установлено в [77].В силу соотношений (1.2.13) и (1.1.30)2ℓ = −(ℎ −− 2 ),22=ℎ−− 22легко классифицировать (, )-диаграммы и (, )-диаграммы первойкритической подсистемы. Разделяющие значения остаются теми жесамыми (определяются по перестройкам сечений ключевого множества).Нарис.1.13,1.14приведеныдля случаев:√√() 0 < < * ; () * < < 1; () 1 < < * ; () * < < 2; () > 2;(, )-диаграммы( ) = 0.Укажем все точки на плоскостях (, ℎ) и (, ℎ), имеющие значениедля построения -атласов бифуркационных диаграмм систем на 4ℎ (точ95ки экстремальных значений ℎ-координаты на ключевых множествах).Соответствующие обозначения приведены на рис.

1.15, 1.16. Точки, связанные с кривыми 1 , 2 , 3 , обозначены соответственно буквами , , ,снабженными индексами там, где это необходимо. Буква использована для точек на Δ (здесь = 0, 1, в третьей системе появляется Δ3 ). Длятого чтобы увидеть все особые точки, достаточно привести на рисунках√случаи () 0 < < * и () * < < 2.На рис. 1.17, 1.18 и приведены (, )-диаграммы подсистемы ℳ1для неразделяющих случаев: () 0 < < * ;() * < < 1;√√() 1 < < * ; () * < < 2; () > 2; ( ) = 0.

Здесь сразу отмеченыособые точки, имеющие значение для построения -атласа бифуркационных диаграмм систем на ℓ4 . Отметим, что по сравнению с диаграммами, включающими , появилась дополнительная точка 4 – экстремумℓ-координаты на образе вырожденных точек Δ0 .Перечислим явно все значения параметров и интегралов (общих ичастных) в отмеченных особых точках. Образ вырожденных критических точек ранга 0 получим, рассекая разделяющее множество нарис.

1.2 на заданном уровне . При этом точки выхода на ось = 0 учитываются только на 2 . На 1 вырожденных точек нет, но есть экстремумℎ — глобальное наименьшее значение энергии, достигаемое в точке: = 0, = 0,2 = −1 − ,2ℎ = −1,ℓ = 0.Обозначим0 = ( − ) + ,1 = ( − )(2 − ) − ,2 = ( − )(2 − ) + , 3 = ( − ) + .На кривой 2 ( < 0) найдемℎ1=1 2 ,2( − )2 21=−2 3 ,2( − )2 1=3 ,2ℓ21=0 1 2 3 .8( − )2 96(1.4.11)Отсюда, в частности,√︂ℎ2 1√ ,=− − 3√︀1ℓ=− √1 3 .2 2( − )3/2(1.4.12)Поэтому экстремумы ℎ() на 2 – это точка 1 ( = 0), вырожденная точка4 (кривая 23 )( − )( − 2) − = 0,(1.4.13)точка возврата 3 (кривая 24 )( − )( − 2) + = 0.(1.4.14)Касание кривых 2 и Δ0 дает точку 5 (кривая вырожденных точек 21 ,уравнение (1.3.21)), а пересечение всех трех кривых 2 , Δ0 и Δ1 происходит в точке 4 (кривая вырожденных точек 22 , = −).

Пересечения 2с кривой кратных точек ℓ0 определяются, согласно (1.3.11) уравнением( − ) + = 0.(1.4.15)Решения уравнения (1.4.13) записаны в параметрическом виде (1.3.30)с помощью подстановки = − , решения (1.4.14) находятся явно.Уравнение (1.4.15) сводится к уравнению ( − )3 ( + ) + 4 = 0 с условием < 0. Из него той же подстановкой = − получим необходимоепараметрическое представление координат точек 6 , 7 при > * . Согласно (1.4.12), особые точки кривой 2 на плоскости (, ℓ) дополнительно порождаются условием 3 = 0, откуда следует = 0, ℓ = 0, то естьэто снова точка . Напомним попутно, что в силу тождества ℓ = −, всякривая ℓ0 , отвечающая значению = 0, на плоскости (, ℓ) “схлопывается” в начало координат, в частности, ось ℓ состоит из недопустимыхточек, кроме (0, 0).

Поэтому на рис. 1.17 и 1.18 она изображена пунктиром. Таким образом, кривая 2 порождает следующий набор точек и97значений первых интегралов:1 : = 0,⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨2 = 22 :⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨3 = 24 :⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩2,212 = , ℎ = 1, ℓ = 0;(1.4.16)2√︃ √1 + 4 − 2 = −,=±2√(1.4.17)1 = 1 + 4 − 2 , 2 = 13 √︀1 √︀ℎ=1 + 4 − 2 , ℓ = ∓ √ ( 1 + 4 − 2 )3/222√︀√1 = − ( 4 + 2 − )21 √︀ = ± √ ( 4 + 2 − )3/22√ 24 + 2 − 21, 2 =1 = 2 √, ( = 2/3 ) ; (1.4.18)2( 4 + 2 − )2[︁]︁12 3/22(4 + ) − (6 + )ℎ=4 √4 + 2 − 2ℓ = ∓√ √2( 4 + 2 − )1/2 = 0,1 = 1 −⎧4 − 434 − 4⎪⎪=,=⎪⎪223√3⎪⎨464 − 44−4 = 23 :(1.4.19), 2 ==±, 1 =⎪2222(34 − 4)⎪⎪4 3/2⎪√︀⎪⎩ ℎ = 3 2 + 2 , ℓ = ∓ (4 − ) , ∈ ( 4 4/3, √2]8643⎧√−1/31/3⎪1 − 4/3 =−, = ±⎪⎪⎪⎨11 = 2/3 , 2 = 1 , ∈ (0, 1]5 = 21 :; (1.4.20)2√⎪⎪24/3⎪⎪⎩ ℎ = − + 2/3 + 1 , ℓ = ∓ 1 − 222/321/3⎧2121⎪⎪+,=+> *=−⎪33⎪2√2⎪⎪4⎪22⎪⎨ = ± − 4,1 = 0, 2 =34 + 4 .(1.4.21)6,7 :122⎪2⎪ℓ=0ℎ = + 2 − 6,⎪⎪8⎪⎪⎪√︀√︀⎪⎩ : ∈ [√2, 2√3], : ∈ [ 2√3, +∞)67Здесь 1 , 2 — значения параметров на поверхностях Π1 и Π2,3 соответственно.

Формулы (1.4.18) в точке возврата 3 упрощаются введением98параметра :3 = 24⎧1⎪⎪=(− )3/2 ,⎪⎪√︀⎪⎪⎪⎪⎨ = − (1 − 2 ),:3 2 − 1⎪1 =,⎪3⎪2⎪⎪⎪⎪⎪⎩ ℎ = 1 (3 + 2 ),20<<1 = ± 3/2.2 =2(1 − 2 )3 2 − 1ℓ=∓2 3/2(1.4.22)На кривой 3 точка минимума ℎ, соответствующая кривой вырождения 31 определяется тем же уравнением (1.4.13), и параметризацияэтой точки дана уравнениями (1.3.31). Имеем⎧4 − 434 − 4⎪⎪=,=⎪⎪223√3⎪⎨44−4 − 46 = 31 :.

(1.4.23)=∓, 1 =, 2 =24 − 4)⎪222(3⎪⎪4 3/2⎪√︀⎪⎩ ℎ = 3 2 + 2 , ℓ = ± (4 − ) , ∈ [− 4 4/3, 0)8643Наконец, на кривых Δ0 , Δ1 экстремальные значения ℎ достигаютсяв точках⎧1⎪⎨ = 0, 1 =,221 :4⎪⎩ ℎ= 1+ , ℓ=022⎧⎨ = 0, 1 = 022 :,⎩ℎ= , ℓ=02√︃⎧√⎪⎪1−22⎪⎪√=±,⎨23 :⎪√⎪2⎪⎪⎩ ℎ= 2− ,22 = 1, > 0;11 = √√︃2ℓ=∓ > 0;(1.4.24)(1.4.25)1, 2 6 √ . (1.4.26)√21 − 22√2 2Дополнительно, из (1.4.10) видим, что, как было отмечено ранее, экстремальное значение ℓ имеется на Δ0 в точке (см. рис. 1.17, 1.18)⎧4⎨ ℎ = 1 + 6 , ℓ = ± 1 , = 1142442 , > 0. (1.4.27)4 :⎩2 = 1 , = ∓991.4.3. Детализация. Вторая и третья критические подсистемыДля второй и третьей критических подсистем перепишем уравнения поверхностей (1.2.8) в видеΠ2 ∪ Π3 ={︂}︂2211ℎ = 2ℓ2 +− (1 − 42 ), = −4ℓ2 2 + 2 − (1 − 2 )(1 − 42 ) .224По прежнему < 0 для Π2 и > 0 для Π3 .

Отсюда следует, что пара (, ℓ)определяет единственную точку на соответствующей поверхности и этосоответствие взаимно однозначно. Поэтому удобно говорить об(, )–диаграммах подсистем ℳ2 и ℳ3 .Чтобы получить простой критерий существования решений (1.1.27)– (1.1.29), представим их в алгебраическом виде. Выполним замену=1 − 22,=.1 + 21 + 2Имеем однозначные зависимости2κ1 − 2ℓ,=+2κ,1 = − −3 1 + 21 + 2ℓ(1 − 2 ) − 2(1 − 4 ) + 2ℓ(1 + 2 ) − 8κ 3 2, 3 =1 =κ(1 + 2 )2κ(1 + 2 )и выражения с радикалами√︂√︂√122 2κ12 = − √(), 2 = −().(1 + 2 )2 κ2(1 + 2 ) κгде() = (κ − 22 ) 4 + 4ℓ(1 + 2 ) + 2κ(1 − 4κ 2 ) 2 + (κ + 22 ).Динамика определяется уравнением√︂11= √().2 2 κДалее в силу (1.1.27) следует полагать=( ∈ R), = + ,2 > 0; = i ( ∈ R), = i − , 2 < 0100(+ и − считаем неотрицательными).

Получим решения в следующемвиде. Для 2 > 0 имеем однозначные зависимостиℓ 2κ+ 1 − 21 = − −,3 = + 2κ, 1 + 21 + 2(1 − 4 ) + 2ℓ+ (1 + 2 ) − 8κ 3 2ℓ(1 − 2 ) − 2+ 1 =, 3 =κ(1 + 2 )2κ(1 + 2 )и выражения с радикалами√︂+1+ (),2 = − √2(1 + 2 ) κ√︂√2 2κ12 = −+ ().(1 + 2 )2 κАналогично для 2 < 0 получим1 + 2ℓ 2κ− ,=+2κ,1 = − +3 1 − 21 − 2(1 − 4 ) − 2ℓ− (1 − 2 ) + 8κ 3 2ℓ(1 + 2 ) + 2− 1 =, 3 =κ(1 − 2 )2κ(1 − 2 )и выражения с радикалами√︂1−2 = − √− (),2(1 − 2 ) κ√︂√12 2κ2 = −− ().(1 − 2 )2 κЗдесь+ () =(κ − 22 ) 4 + 4ℓ+ (1 + 2 ) + 2κ(1 − 4κ 2 ) 2 + (κ + 22 ),− () = −(κ − 22 ) 4 + 4ℓ− (1 + 2 ) + 2κ(1 − 4κ 2 ) 2 − (κ + 22 ).Динамика определяется соответствующим уравнением (верхний знакдля 2 > 0, нижний – для 2 < 0):1= √2 2√︂1± ().κ(1.4.28)Из полученных выражений вытекает следующий критерий.Предложение 12.

При заданных значениях , ℓ, отвечающих уровню вℳ2,3 , не содержащему критических точек ранга 0, количество критических окружностей в системах ℳ2,3 равно количеству траекторийв фазовом пространстве R×R соответствующего уравнения (1.4.28),101где R ≈ 1 — прямая, дополненная точкой = ∞. Таким образом, если соответствующий многочлен ± имеет 2 вещественных корней( = 0, 1, 2), то на критическом уровне , ℓ лежит критических окружностей, за исключением случая, когда = 0 и старший коэффициентмногочлена положительный. В этом случае имеется две критическихокружности ( пробегает все R), на каждой из которых сохраняет свойзнак переменная 2 .Отметим последний случай ( = 0) как особый:2 > 0,κ − 22 > 0,+ () > 0 ∀ ∈ R.(1.4.29)Выписать оба показателя Морса – Ботта в явном виде для системℳ2,3 не удается.

Однако оказалось возможным получить несложные выражения для их вычисления и, что самое важное, явно выделить векторна трансверсальной площадке на траектории в гиперболических точках,по которому, за исключением особого случая (1.4.29), разрыв “восьмерки” не происходит, что позволяет определить направление атомов типа при возрастании интеграла .Как и ранее, в качестве трансверсальной площадки к критическойокружности (в критической точке ранга 1) выбираем ортогональное дополнение к векторам grad Γ, grad , grad , sgrad .Рассмотрим случай, не удовлетворяющий (1.4.29). На любой траектории переменная осциллирует между корнями соответствующегомногочлена (), включая, конечно, и возможность прохода через бесконечно удаленную точку. Возьмем на траектории точку 0 , в которой() = 0.

Тогда векторы grad Γ, grad , grad ортогональны плоскости2 2 , а вектор sgrad лежит в этой плоскости и имеет вид(︀)︀sgrad = 0, 2 , 0, 0, 5 , 0 .Условный экстремум функции на совместном уровне функций Γ, , 102в 6 есть критическая точка функции с неопределенными множителямиЛагранжа12κ 222 = + (2 − ) + 2 −Γ.2Очевидно, часть этой функции, не содержащая функций Казимира , Γ,совпадает с (1.4.3). Пусть ℒ = 2 2 (0 ) — матрица с элементами ℒ .

Таккак вектор sgrad лежит в ядре ℒ, тоℒ22 2 + ℒ25 5 = 0,ℒ25 2 + ℒ55 5 = 0.В частности, поскольку 2 5 ̸= 0 и коэффициенты ℒ25 , ℒ55 имеют простыевыраженияℒ25 = −8κ,1 + 2ℒ55 = 22 ,найдем упрощение для достаточно громоздкого элементаℒ22ℒ22532κ 2 2==ℒ55(1 + 2 )2и выражение5 = −ℒ25 24κ 2=.ℒ55(1 + 2 )Возьмем в качестве первого вектора трансверсальной площадки вектор,лежащий в той же плоскости 2 2 и ортогональный sgrad :1 = (0, −5 , 0, 0, 2 , 0).Тогда для компьютерных расчетов вектор 2 легко находится как нульпространство матрицы из пяти векторов grad Γ, grad , grad , sgrad , 1 .Хотя его аналитическое выражение и достаточно сложно, все необходимые расчеты легко выполняются в динамическом режиме.

Характеристики

Список файлов диссертации