Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (786043), страница 14

Файл №786043 Диссертация (Топологический анализ неклассических интегрируемых задач динамики твердого тела) 14 страницаДиссертация (786043) страница 142019-03-12СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Нелокальное отличие точек в парах областей,разделенных кривой ℓ0 , то есть точек областей 10 и 12 и точек областей2 и 1 состоит в том, что на уровне общих первых интегралов для области 2 , 11 есть регулярные торы, а для областей 1 , 12 таких торов нет.Это отличие в терминах параметров аналитического решения установлено в [77].В силу соотношений (1.2.13) и (1.1.30)2ℓ = −(ℎ −− 2 ),22=ℎ−− 22легко классифицировать (, )-диаграммы и (, )-диаграммы первойкритической подсистемы. Разделяющие значения остаются теми жесамыми (определяются по перестройкам сечений ключевого множества).Нарис.1.13,1.14приведеныдля случаев:√√() 0 < < * ; () * < < 1; () 1 < < * ; () * < < 2; () > 2;(, )-диаграммы( ) = 0.Укажем все точки на плоскостях (, ℎ) и (, ℎ), имеющие значениедля построения -атласов бифуркационных диаграмм систем на 4ℎ (точ95ки экстремальных значений ℎ-координаты на ключевых множествах).Соответствующие обозначения приведены на рис.

1.15, 1.16. Точки, связанные с кривыми 1 , 2 , 3 , обозначены соответственно буквами , , ,снабженными индексами там, где это необходимо. Буква использована для точек на Δ (здесь = 0, 1, в третьей системе появляется Δ3 ). Длятого чтобы увидеть все особые точки, достаточно привести на рисунках√случаи () 0 < < * и () * < < 2.На рис. 1.17, 1.18 и приведены (, )-диаграммы подсистемы ℳ1для неразделяющих случаев: () 0 < < * ;() * < < 1;√√() 1 < < * ; () * < < 2; () > 2; ( ) = 0.

Здесь сразу отмеченыособые точки, имеющие значение для построения -атласа бифуркационных диаграмм систем на ℓ4 . Отметим, что по сравнению с диаграммами, включающими , появилась дополнительная точка 4 – экстремумℓ-координаты на образе вырожденных точек Δ0 .Перечислим явно все значения параметров и интегралов (общих ичастных) в отмеченных особых точках. Образ вырожденных критических точек ранга 0 получим, рассекая разделяющее множество нарис.

1.2 на заданном уровне . При этом точки выхода на ось = 0 учитываются только на 2 . На 1 вырожденных точек нет, но есть экстремумℎ — глобальное наименьшее значение энергии, достигаемое в точке: = 0, = 0,2 = −1 − ,2ℎ = −1,ℓ = 0.Обозначим0 = ( − ) + ,1 = ( − )(2 − ) − ,2 = ( − )(2 − ) + , 3 = ( − ) + .На кривой 2 ( < 0) найдемℎ1=1 2 ,2( − )2 21=−2 3 ,2( − )2 1=3 ,2ℓ21=0 1 2 3 .8( − )2 96(1.4.11)Отсюда, в частности,√︂ℎ2 1√ ,=− − 3√︀1ℓ=− √1 3 .2 2( − )3/2(1.4.12)Поэтому экстремумы ℎ() на 2 – это точка 1 ( = 0), вырожденная точка4 (кривая 23 )( − )( − 2) − = 0,(1.4.13)точка возврата 3 (кривая 24 )( − )( − 2) + = 0.(1.4.14)Касание кривых 2 и Δ0 дает точку 5 (кривая вырожденных точек 21 ,уравнение (1.3.21)), а пересечение всех трех кривых 2 , Δ0 и Δ1 происходит в точке 4 (кривая вырожденных точек 22 , = −).

Пересечения 2с кривой кратных точек ℓ0 определяются, согласно (1.3.11) уравнением( − ) + = 0.(1.4.15)Решения уравнения (1.4.13) записаны в параметрическом виде (1.3.30)с помощью подстановки = − , решения (1.4.14) находятся явно.Уравнение (1.4.15) сводится к уравнению ( − )3 ( + ) + 4 = 0 с условием < 0. Из него той же подстановкой = − получим необходимоепараметрическое представление координат точек 6 , 7 при > * . Согласно (1.4.12), особые точки кривой 2 на плоскости (, ℓ) дополнительно порождаются условием 3 = 0, откуда следует = 0, ℓ = 0, то естьэто снова точка . Напомним попутно, что в силу тождества ℓ = −, всякривая ℓ0 , отвечающая значению = 0, на плоскости (, ℓ) “схлопывается” в начало координат, в частности, ось ℓ состоит из недопустимыхточек, кроме (0, 0).

Поэтому на рис. 1.17 и 1.18 она изображена пунктиром. Таким образом, кривая 2 порождает следующий набор точек и97значений первых интегралов:1 : = 0,⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨2 = 22 :⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨3 = 24 :⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩2,212 = , ℎ = 1, ℓ = 0;(1.4.16)2√︃ √1 + 4 − 2 = −,=±2√(1.4.17)1 = 1 + 4 − 2 , 2 = 13 √︀1 √︀ℎ=1 + 4 − 2 , ℓ = ∓ √ ( 1 + 4 − 2 )3/222√︀√1 = − ( 4 + 2 − )21 √︀ = ± √ ( 4 + 2 − )3/22√ 24 + 2 − 21, 2 =1 = 2 √, ( = 2/3 ) ; (1.4.18)2( 4 + 2 − )2[︁]︁12 3/22(4 + ) − (6 + )ℎ=4 √4 + 2 − 2ℓ = ∓√ √2( 4 + 2 − )1/2 = 0,1 = 1 −⎧4 − 434 − 4⎪⎪=,=⎪⎪223√3⎪⎨464 − 44−4 = 23 :(1.4.19), 2 ==±, 1 =⎪2222(34 − 4)⎪⎪4 3/2⎪√︀⎪⎩ ℎ = 3 2 + 2 , ℓ = ∓ (4 − ) , ∈ ( 4 4/3, √2]8643⎧√−1/31/3⎪1 − 4/3 =−, = ±⎪⎪⎪⎨11 = 2/3 , 2 = 1 , ∈ (0, 1]5 = 21 :; (1.4.20)2√⎪⎪24/3⎪⎪⎩ ℎ = − + 2/3 + 1 , ℓ = ∓ 1 − 222/321/3⎧2121⎪⎪+,=+> *=−⎪33⎪2√2⎪⎪4⎪22⎪⎨ = ± − 4,1 = 0, 2 =34 + 4 .(1.4.21)6,7 :122⎪2⎪ℓ=0ℎ = + 2 − 6,⎪⎪8⎪⎪⎪√︀√︀⎪⎩ : ∈ [√2, 2√3], : ∈ [ 2√3, +∞)67Здесь 1 , 2 — значения параметров на поверхностях Π1 и Π2,3 соответственно.

Формулы (1.4.18) в точке возврата 3 упрощаются введением98параметра :3 = 24⎧1⎪⎪=(− )3/2 ,⎪⎪√︀⎪⎪⎪⎪⎨ = − (1 − 2 ),:3 2 − 1⎪1 =,⎪3⎪2⎪⎪⎪⎪⎪⎩ ℎ = 1 (3 + 2 ),20<<1 = ± 3/2.2 =2(1 − 2 )3 2 − 1ℓ=∓2 3/2(1.4.22)На кривой 3 точка минимума ℎ, соответствующая кривой вырождения 31 определяется тем же уравнением (1.4.13), и параметризацияэтой точки дана уравнениями (1.3.31). Имеем⎧4 − 434 − 4⎪⎪=,=⎪⎪223√3⎪⎨44−4 − 46 = 31 :.

(1.4.23)=∓, 1 =, 2 =24 − 4)⎪222(3⎪⎪4 3/2⎪√︀⎪⎩ ℎ = 3 2 + 2 , ℓ = ± (4 − ) , ∈ [− 4 4/3, 0)8643Наконец, на кривых Δ0 , Δ1 экстремальные значения ℎ достигаютсяв точках⎧1⎪⎨ = 0, 1 =,221 :4⎪⎩ ℎ= 1+ , ℓ=022⎧⎨ = 0, 1 = 022 :,⎩ℎ= , ℓ=02√︃⎧√⎪⎪1−22⎪⎪√=±,⎨23 :⎪√⎪2⎪⎪⎩ ℎ= 2− ,22 = 1, > 0;11 = √√︃2ℓ=∓ > 0;(1.4.24)(1.4.25)1, 2 6 √ . (1.4.26)√21 − 22√2 2Дополнительно, из (1.4.10) видим, что, как было отмечено ранее, экстремальное значение ℓ имеется на Δ0 в точке (см. рис. 1.17, 1.18)⎧4⎨ ℎ = 1 + 6 , ℓ = ± 1 , = 1142442 , > 0. (1.4.27)4 :⎩2 = 1 , = ∓991.4.3. Детализация. Вторая и третья критические подсистемыДля второй и третьей критических подсистем перепишем уравнения поверхностей (1.2.8) в видеΠ2 ∪ Π3 ={︂}︂2211ℎ = 2ℓ2 +− (1 − 42 ), = −4ℓ2 2 + 2 − (1 − 2 )(1 − 42 ) .224По прежнему < 0 для Π2 и > 0 для Π3 .

Отсюда следует, что пара (, ℓ)определяет единственную точку на соответствующей поверхности и этосоответствие взаимно однозначно. Поэтому удобно говорить об(, )–диаграммах подсистем ℳ2 и ℳ3 .Чтобы получить простой критерий существования решений (1.1.27)– (1.1.29), представим их в алгебраическом виде. Выполним замену=1 − 22,=.1 + 21 + 2Имеем однозначные зависимости2κ1 − 2ℓ,=+2κ,1 = − −3 1 + 21 + 2ℓ(1 − 2 ) − 2(1 − 4 ) + 2ℓ(1 + 2 ) − 8κ 3 2, 3 =1 =κ(1 + 2 )2κ(1 + 2 )и выражения с радикалами√︂√︂√122 2κ12 = − √(), 2 = −().(1 + 2 )2 κ2(1 + 2 ) κгде() = (κ − 22 ) 4 + 4ℓ(1 + 2 ) + 2κ(1 − 4κ 2 ) 2 + (κ + 22 ).Динамика определяется уравнением√︂11= √().2 2 κДалее в силу (1.1.27) следует полагать=( ∈ R), = + ,2 > 0; = i ( ∈ R), = i − , 2 < 0100(+ и − считаем неотрицательными).

Получим решения в следующемвиде. Для 2 > 0 имеем однозначные зависимостиℓ 2κ+ 1 − 21 = − −,3 = + 2κ, 1 + 21 + 2(1 − 4 ) + 2ℓ+ (1 + 2 ) − 8κ 3 2ℓ(1 − 2 ) − 2+ 1 =, 3 =κ(1 + 2 )2κ(1 + 2 )и выражения с радикалами√︂+1+ (),2 = − √2(1 + 2 ) κ√︂√2 2κ12 = −+ ().(1 + 2 )2 κАналогично для 2 < 0 получим1 + 2ℓ 2κ− ,=+2κ,1 = − +3 1 − 21 − 2(1 − 4 ) − 2ℓ− (1 − 2 ) + 8κ 3 2ℓ(1 + 2 ) + 2− 1 =, 3 =κ(1 − 2 )2κ(1 − 2 )и выражения с радикалами√︂1−2 = − √− (),2(1 − 2 ) κ√︂√12 2κ2 = −− ().(1 − 2 )2 κЗдесь+ () =(κ − 22 ) 4 + 4ℓ+ (1 + 2 ) + 2κ(1 − 4κ 2 ) 2 + (κ + 22 ),− () = −(κ − 22 ) 4 + 4ℓ− (1 + 2 ) + 2κ(1 − 4κ 2 ) 2 − (κ + 22 ).Динамика определяется соответствующим уравнением (верхний знакдля 2 > 0, нижний – для 2 < 0):1= √2 2√︂1± ().κ(1.4.28)Из полученных выражений вытекает следующий критерий.Предложение 12.

При заданных значениях , ℓ, отвечающих уровню вℳ2,3 , не содержащему критических точек ранга 0, количество критических окружностей в системах ℳ2,3 равно количеству траекторийв фазовом пространстве R×R соответствующего уравнения (1.4.28),101где R ≈ 1 — прямая, дополненная точкой = ∞. Таким образом, если соответствующий многочлен ± имеет 2 вещественных корней( = 0, 1, 2), то на критическом уровне , ℓ лежит критических окружностей, за исключением случая, когда = 0 и старший коэффициентмногочлена положительный. В этом случае имеется две критическихокружности ( пробегает все R), на каждой из которых сохраняет свойзнак переменная 2 .Отметим последний случай ( = 0) как особый:2 > 0,κ − 22 > 0,+ () > 0 ∀ ∈ R.(1.4.29)Выписать оба показателя Морса – Ботта в явном виде для системℳ2,3 не удается.

Однако оказалось возможным получить несложные выражения для их вычисления и, что самое важное, явно выделить векторна трансверсальной площадке на траектории в гиперболических точках,по которому, за исключением особого случая (1.4.29), разрыв “восьмерки” не происходит, что позволяет определить направление атомов типа при возрастании интеграла .Как и ранее, в качестве трансверсальной площадки к критическойокружности (в критической точке ранга 1) выбираем ортогональное дополнение к векторам grad Γ, grad , grad , sgrad .Рассмотрим случай, не удовлетворяющий (1.4.29). На любой траектории переменная осциллирует между корнями соответствующегомногочлена (), включая, конечно, и возможность прохода через бесконечно удаленную точку. Возьмем на траектории точку 0 , в которой() = 0.

Тогда векторы grad Γ, grad , grad ортогональны плоскости2 2 , а вектор sgrad лежит в этой плоскости и имеет вид(︀)︀sgrad = 0, 2 , 0, 0, 5 , 0 .Условный экстремум функции на совместном уровне функций Γ, , 102в 6 есть критическая точка функции с неопределенными множителямиЛагранжа12κ 222 = + (2 − ) + 2 −Γ.2Очевидно, часть этой функции, не содержащая функций Казимира , Γ,совпадает с (1.4.3). Пусть ℒ = 2 2 (0 ) — матрица с элементами ℒ .

Таккак вектор sgrad лежит в ядре ℒ, тоℒ22 2 + ℒ25 5 = 0,ℒ25 2 + ℒ55 5 = 0.В частности, поскольку 2 5 ̸= 0 и коэффициенты ℒ25 , ℒ55 имеют простыевыраженияℒ25 = −8κ,1 + 2ℒ55 = 22 ,найдем упрощение для достаточно громоздкого элементаℒ22ℒ22532κ 2 2==ℒ55(1 + 2 )2и выражение5 = −ℒ25 24κ 2=.ℒ55(1 + 2 )Возьмем в качестве первого вектора трансверсальной площадки вектор,лежащий в той же плоскости 2 2 и ортогональный sgrad :1 = (0, −5 , 0, 0, 2 , 0).Тогда для компьютерных расчетов вектор 2 легко находится как нульпространство матрицы из пяти векторов grad Γ, grad , grad , sgrad , 1 .Хотя его аналитическое выражение и достаточно сложно, все необходимые расчеты легко выполняются в динамическом режиме.

Характеристики

Список файлов диссертации

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6376
Авторов
на СтудИзбе
309
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее