Диссертация (786043), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Еслиже предположить, что получена точка на 1 , то необходимо выбрать вуравнениях (1.3.41) знак < 0, но тогда найденные значения (, ) этимуравнениям не удовлетворяют. Итак, все корни 2 () — посторонние.66Условие = 8 приводит к разделяющему значению * = 1/23/4 , при котором происходит слияние обеих точек возврата и точки самопересечения кривой 2 .

Уравнение 1 () = 0 имеет единственный допустимыйкорень ≈ 4.3418, при котором ≈ 0, 02349 и единственный общий вещественный корень уравнений (1.3.42) ≈ 1.47328 ∈ (, +∞). Поэтомутакое значение отвечает искомому случаю 24 ∈ 3 . Попутно доказано,что точка возврата 24 не может попасть на другую ветвь 3 . Найденноеразделяющее значение обозначим через 1 ≈ 0.0235 и выпишем точно√︂)︂3/4205 3823 −1/3 1 1/3 163931 =−+− 1 +,94 √︁1492√−1/31/32 = −410 − 344071 + 91 .1 = 1045767 + 183872 34,(︂711− − 2 +6 122(1.3.44)При > 1 кривые 2 , 3 более общих точек не имеют (фрагмент показан на рис.

1.7). В частности, исчезает область (суперпозиция “угла” 3и “хвоста” кривой 2 ), в которой 3ℓ,ℎ = 3 .d24 d32d31d22d23Рис. 1.7. Фрагмент диаграммы при > 1Дальнейшие перестройки диаграммы Смейла связаны только с эволюцией кривой 2 . При этом вырожденные критические точки ранга 0,порождающие разделяющие кривые 21 , 22 , собственно на диаграмму невлияют, так как лежат на ее гладких участках. При переходе через *67меняются местами “кончики хвоста” (см.

рис. 1.8), что легко заметить,если провести на рис. 1.5 горизонтальную прямую ( = const) и двигатьее вверх.d24d28d25p24d23p23d27d21p23d22d26p24Рис. 1.8. Переход через *Изучим возможность попадания точки возврата 23 на другую ветвькривой 2 . Для этого случая из (1.3.30) запишем систему40 = −4,23ℓ(, ) = ℓ(0 , ), ℎ(, ) = ℎ(0 , ),(︁√︀√ ]︁34 − 4443=, − 2 − 4 ̸= 0, ∈4/3, 2 .23Исключая из нее 0 , , , придем к уравнению для = 4( − 2)2 1 ()2 () = 0,где1 = 3 4 + 32 3 − 180 2 + 96 − 64,2 = 6903 11 − 153216 10 + 1489200 9 − 9324352 8+ 44169408 7 − 160186880 6 + 425104384 5 − 806682624 4+ 1108361216 3 − 1120534528 2 + 784072704 − 285212672.Уравнение 2 () = 0 в промежутке ∈ (4/3, 4] корней не имеет, а уравнение 1 () = 0 имеет в этом промежутке ровно один корень:√︂43534001+ 31 +− 2 − 8), = ( 308 +312√4351 = (2951 − 408 34)1/3 , 2 = (154 −− 31 )1/2 .168Соответственно, в терминах имеем уравнение6416 + 278412 − 2748038 + 154768964 − 45349632 = 0с единственным вещественным решением 2 ≈ 1.3263.

Его точное значение в радикалах(︂)︂1/48711 2 = − − 2 + 3,8162√1 = 10467417865895 + 1809781698048 34,√︁−1/31/32 = 213478 − 10935168391 + 91 ,√︂9 1/3 88449457106739 1093516839 −1/3+1 − 1 +.3 =166464162(1.3.45)Остальные изменения связаны с осью ℎ [96]. Константа ℓ обращается в нуль не только в положениях равновесия тела ( = 0), но и при вытекающем из (1.3.11) условии (1.3.33). Соответствующая кривая, ранееобозначенная через ℓ0 , показана на рис. 1.2. Минимум на этой кривойравен *=(4/3)3/4 . Поэтому кроме всегда существующих точекℎ = ±1, ℓ = 0 диаграмма имеет еще две точки пересечения с осью ℎ√√при * < < 2 и одну точку при > 2. Весь этот набор точек на осиℎ перестраивается в момент совпадения двух из них.

Легко посчитать,√︀√√что это происходит при = 22 − 1 ≈ 1.2872 ∈ (* , 2). Таким образом,имеем типы диаграмм, существенные фрагменты которых показаны на√︀√√︀√**рис. 1.9: ) * < < ; ) < < 22 − 1; ) 22 − 1 < < 2 ;√√) 2 < < 2; ) > 2. С учетом вычисленных выше индексов Морса имеем указанную на этом же рисунке расстановку изоэнергетическихмногообразий.Распространим на все фазовое пространство симметрию (1.3.17)symm : (1 , 2 , 3 ) ↦→ (−1 , −2 , −3 ).(1.3.46)Она устанавливает изоморфизм фазовых потоков на 3ℓ,ℎ и 3−ℓ,ℎ . Напомним, что в соответствии с договоренностью (1.3.19), в пространстве69d28RP3d28d26d27K3RP3d26S3K3S2×S1d27S2×S1S3S3(a)(b)RP3 dRP3d2628S2×S13K21d26 S ×Sd27S3S3(c)(d)RP3d28d27d28S2×S1d27S3(e)Рис.

1.9. Перестройки на оси ℎ.Λ(R2 (ℓ, ℎ)) = R3 (ℓ, ℎ, ) возникает расширенная диаграмма СмейлаΛ( ) =⋃︁ ()×{}.Она делит R3 (ℓ, ℎ, ) на открытые связные компоненты, которые принято называть камерами. В силу симметрии symm объявим одной камерой также и объединение двух компонент, симметричных относительноплоскости ℓ = 0. Получим следующее утверждение.Теорема 7. В случае Ковалевской – Яхья имеется семь структурноустойчивых по параметру диаграмм Смейла (). Разделяющими70значениями параметра служат0,1 ,√︁√22 − 1,* = (4/3)3/4 ,* = 1/23/4 ,√2 ,2,где 1 , 2 определены равенствами (1.3.44),(1.3.45).

Расширенная диаграмма Λ( ) делит пространство R3 (ℓ, ℎ, ) на восемь камер A, . . . , Hс непустыми многообразиями 3ℓ,ℎ (). Соответствующая информацияпредставлена на рис. 1.10) и в табл. 1.3.1.BBd24d24EEDAAd22d22CCd24Ed28EACFd22d26EEEFAGAHHHFGHAA.Рис. 1.10. Камеры диаграмм Смейла71GAТаблица 1.3.1КодВремяКомпоненткамерыжизни по в камереA ∈ [0, +∞)13B ∈ [0, +∞)2 2 × 1C ∈ (0, * )2 2 × 1D ∈ [0, 1 )23E ∈ [0, +∞)1R 3F2 2 × 1G ∈ (* , 2 )√ ∈ (* , 2)13H ∈ (* , +∞)2 2 × 13ℓ,ℎПерейдем к изучению критических точек общего положения, имеющих в системе с двумя степенями свободы ранг 1.1.4.

Классификация критических точек ранга 11.4.1. Формулы для вычисления типаИзучим тип критических точек ранга 1 в первой критической подсистеме, то есть точек множества ℳ1 ∖ 0 .Предложение 6 (П.Е. Рябов [52]). Тип критических точек ранга 1 в первой критической подсистеме полностью определен собственными числами симплектического оператора a1 , где1 = − 2,(1.4.1)а неопределенный множитель в соответствующей точке равен = 2 .Характеристический многочлен оператора a имеет вид]︂ [︂]︂[︂2231 () = 2 − 41 ,1 = − (ℎ − ) 22 − 2(ℎ + ) + 1 .22272Точки ранга 1 вырождены тогда и только тогда, когда[︂]︂ [︂]︂232 − (ℎ − ) 22 − 2(ℎ + ) + 1 = 0,222(1.4.2)и имеют тип “центр” при 1 < 0 и тип “седло” при 1 > 0.Доказательство. В координатах (, ) порожденное функцией 1 гамильтоново поле в точках (1.1.25) имеет вид{︂}︂√︀√︀1sgrad 1 = 2(2 − ) 0, 0, (), (), − ′ (), −2и обращается в нуль при = 2 .

Отметим, что при других значениях условие sgrad 1 = 0 влечет одновременное обращение в нуль (), ′ (),что приводит к неподвижным точкам – критическим точкам ранга 0.Напомним, что согласно (1.2.13)=ℎ−2− 2 .2Вычисление многочлена 1 () в силу уравнений (1.1.25) многообразияℳ1 труда не составляет. Таким образом, если 1 ̸= 0, то критическиеточки ранга 1 невырождены. Пусть 1 = 0. Допустим, что в такой точке существует другая комбинация = 1 − 22 , удовлетворяющаяравенству sgrad = 0. В силу предположения rank{, }|ℓ4 = 1 имеемпропорциональность неопределенных множителей в комбинациях = − 2|ℓ4 = 0, = 1 − 22 |ℓ4 = 0⇒2 = 1 .Отсюда следует, что 1 ̸= 0, то есть характеристические числа оператораa пропорциональны (нулевым) характеристическим числам оператораa1 и потому также равны нулю.

Следовательно, в точках (1.4.2) не существует интеграла, порождающего регулярный элемент в алгебре симплектических операторов.Отметим, что доказательство предложено потому, что здесь нельзя было воспользоваться непосредственно результатами работы [88], где73для построения системы ℳ1 использовалась функция (1.2.16). Для неекорни характеристического многочлена обращаются в нуль также и намножестве = 0, что влечет равенство ℓ = 0. Появление такой “посторонней” особенности связано с тем, что в [88] фигурировал интегралРеймана – Семенова-Тян-Шанского, вырождающийся в нашем случае в2 .Предложение 7 (П.Е. Рябов [52]). Тип критических точек ранга 1 вовторой и третьей критических подсистемах полностью определен собственными числами симплектического оператора a2 , где12 = + (22 − ),(1.4.3)а – значение, определяющее точку (1.1.28).

Характеристический многочлен оператора a2 имеет вид2 () = 2 − 2 ,[︂]︂)︀1 (︀ 2 3222 = − 3 8 − 1 2 − 2(ℎ + ) + 1 =22= 2 (82 3 − 1)(22 2 − + 2ℓ2 ).Точки ранга 1 в ℳ2 все невырождены и имеют тип “центр”. Точки ранга 1 в ℳ3 вырождены тогда и только тогда, когда[︂]︂2(︀ 2 3)︀8 − 1 22 − 2(ℎ + ) + 1 = 0,2и имеют тип “центр” при 2 < 0 и тип “седло” при 2 > 0.Доказательство. Полагая 2 = + , найдем из (1.1.27), (1.1.28):{︂κ 1 2κ (1 + 2κ 3 ) 2√ ,−√, √ ,, 2,sgrad 2 = (22 − 1 − )2κκ}︂( + ℓ )√,κгде1 = −ℓ + + 2κ 3 ,2 = κ + (3ℓ − 4κ 3 ) + 2 (2 − 3 2 ).74В предположении 22 − 1 − ̸= 0 этот вектор обращается в нуль лишьпри условии64ℓ6 2 4 + 4ℓ4 2 (−1 + 202 − 44 2 + 484 4 )−4ℓ2 (1 − 82 + 44 2 + 202 3 − 44 4 + 86 5 − 486 7 )−(1 − 42 )(1 − 22 + 44 4 )2 = 0.Его можно получить следующим образом.

Заметим, что возможность = 0, = ±1 не приводит к нулевому вектору sgrad 2 даже в предположении = 0. Поэтому должно быть = 0. Выразим отсюда , подставим в выражения 1 , 2 и найдем результант по . Получим искомое соотношение на ℓ, . Поскольку найденное условие не обращается в тождество на поверхностях Π2,3 , то оно определяет одномерное подмножество.С другой стороны, оно тождественно удовлетворено соответствующимивыражениями ℓ и через , из (1.3.11), (1.3.15) и, следовательно, соответствует кривым ( = 1, 2, 3), то есть выполняется в критическихточках ранга 0.

Таким образом, в критических точках ранга 1 должнобыть 22 − 1 − = 0 и функция (1.4.3) является искомым интегралом,определяющим тип этих точек.Прямое вычисление характеристического многочлена приводит ктребуемому выражению 2 (). Очевидно, при < 0 величина 2 всегдаотрицательна, а при > 0 может иметь разные знаки, что и определяетсоответствующий тип особой точки.

Тот факт, что при 2 = 0 критические точки вырождены (то есть нельзя найти другого элемента в алгебресимплектических операторов, имеющего ненулевые собственные значения), доказывается так же, как в предложении 6 (фактически следуетиз того, что коэффициент при удалось выбрать равным 1).Мы видим, что для всех критических точек (как ранга 0, так и ранга 1) характеристический многочлен определяющего симплектическогооператора зависит только от постоянных первых интегралов.

Характеристики

Список файлов диссертации