Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (786043), страница 10

Файл №786043 Диссертация (Топологический анализ неклассических интегрируемых задач динамики твердого тела) 10 страницаДиссертация (786043) страница 102019-03-12СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Еслиже предположить, что получена точка на 1 , то необходимо выбрать вуравнениях (1.3.41) знак < 0, но тогда найденные значения (, ) этимуравнениям не удовлетворяют. Итак, все корни 2 () — посторонние.66Условие = 8 приводит к разделяющему значению * = 1/23/4 , при котором происходит слияние обеих точек возврата и точки самопересечения кривой 2 .

Уравнение 1 () = 0 имеет единственный допустимыйкорень ≈ 4.3418, при котором ≈ 0, 02349 и единственный общий вещественный корень уравнений (1.3.42) ≈ 1.47328 ∈ (, +∞). Поэтомутакое значение отвечает искомому случаю 24 ∈ 3 . Попутно доказано,что точка возврата 24 не может попасть на другую ветвь 3 . Найденноеразделяющее значение обозначим через 1 ≈ 0.0235 и выпишем точно√︂)︂3/4205 3823 −1/3 1 1/3 163931 =−+− 1 +,94 √︁1492√−1/31/32 = −410 − 344071 + 91 .1 = 1045767 + 183872 34,(︂711− − 2 +6 122(1.3.44)При > 1 кривые 2 , 3 более общих точек не имеют (фрагмент показан на рис.

1.7). В частности, исчезает область (суперпозиция “угла” 3и “хвоста” кривой 2 ), в которой 3ℓ,ℎ = 3 .d24 d32d31d22d23Рис. 1.7. Фрагмент диаграммы при > 1Дальнейшие перестройки диаграммы Смейла связаны только с эволюцией кривой 2 . При этом вырожденные критические точки ранга 0,порождающие разделяющие кривые 21 , 22 , собственно на диаграмму невлияют, так как лежат на ее гладких участках. При переходе через *67меняются местами “кончики хвоста” (см.

рис. 1.8), что легко заметить,если провести на рис. 1.5 горизонтальную прямую ( = const) и двигатьее вверх.d24d28d25p24d23p23d27d21p23d22d26p24Рис. 1.8. Переход через *Изучим возможность попадания точки возврата 23 на другую ветвькривой 2 . Для этого случая из (1.3.30) запишем систему40 = −4,23ℓ(, ) = ℓ(0 , ), ℎ(, ) = ℎ(0 , ),(︁√︀√ ]︁34 − 4443=, − 2 − 4 ̸= 0, ∈4/3, 2 .23Исключая из нее 0 , , , придем к уравнению для = 4( − 2)2 1 ()2 () = 0,где1 = 3 4 + 32 3 − 180 2 + 96 − 64,2 = 6903 11 − 153216 10 + 1489200 9 − 9324352 8+ 44169408 7 − 160186880 6 + 425104384 5 − 806682624 4+ 1108361216 3 − 1120534528 2 + 784072704 − 285212672.Уравнение 2 () = 0 в промежутке ∈ (4/3, 4] корней не имеет, а уравнение 1 () = 0 имеет в этом промежутке ровно один корень:√︂43534001+ 31 +− 2 − 8), = ( 308 +312√4351 = (2951 − 408 34)1/3 , 2 = (154 −− 31 )1/2 .168Соответственно, в терминах имеем уравнение6416 + 278412 − 2748038 + 154768964 − 45349632 = 0с единственным вещественным решением 2 ≈ 1.3263.

Его точное значение в радикалах(︂)︂1/48711 2 = − − 2 + 3,8162√1 = 10467417865895 + 1809781698048 34,√︁−1/31/32 = 213478 − 10935168391 + 91 ,√︂9 1/3 88449457106739 1093516839 −1/3+1 − 1 +.3 =166464162(1.3.45)Остальные изменения связаны с осью ℎ [96]. Константа ℓ обращается в нуль не только в положениях равновесия тела ( = 0), но и при вытекающем из (1.3.11) условии (1.3.33). Соответствующая кривая, ранееобозначенная через ℓ0 , показана на рис. 1.2. Минимум на этой кривойравен *=(4/3)3/4 . Поэтому кроме всегда существующих точекℎ = ±1, ℓ = 0 диаграмма имеет еще две точки пересечения с осью ℎ√√при * < < 2 и одну точку при > 2. Весь этот набор точек на осиℎ перестраивается в момент совпадения двух из них.

Легко посчитать,√︀√√что это происходит при = 22 − 1 ≈ 1.2872 ∈ (* , 2). Таким образом,имеем типы диаграмм, существенные фрагменты которых показаны на√︀√√︀√**рис. 1.9: ) * < < ; ) < < 22 − 1; ) 22 − 1 < < 2 ;√√) 2 < < 2; ) > 2. С учетом вычисленных выше индексов Морса имеем указанную на этом же рисунке расстановку изоэнергетическихмногообразий.Распространим на все фазовое пространство симметрию (1.3.17)symm : (1 , 2 , 3 ) ↦→ (−1 , −2 , −3 ).(1.3.46)Она устанавливает изоморфизм фазовых потоков на 3ℓ,ℎ и 3−ℓ,ℎ . Напомним, что в соответствии с договоренностью (1.3.19), в пространстве69d28RP3d28d26d27K3RP3d26S3K3S2×S1d27S2×S1S3S3(a)(b)RP3 dRP3d2628S2×S13K21d26 S ×Sd27S3S3(c)(d)RP3d28d27d28S2×S1d27S3(e)Рис.

1.9. Перестройки на оси ℎ.Λ(R2 (ℓ, ℎ)) = R3 (ℓ, ℎ, ) возникает расширенная диаграмма СмейлаΛ( ) =⋃︁ ()×{}.Она делит R3 (ℓ, ℎ, ) на открытые связные компоненты, которые принято называть камерами. В силу симметрии symm объявим одной камерой также и объединение двух компонент, симметричных относительноплоскости ℓ = 0. Получим следующее утверждение.Теорема 7. В случае Ковалевской – Яхья имеется семь структурноустойчивых по параметру диаграмм Смейла (). Разделяющими70значениями параметра служат0,1 ,√︁√22 − 1,* = (4/3)3/4 ,* = 1/23/4 ,√2 ,2,где 1 , 2 определены равенствами (1.3.44),(1.3.45).

Расширенная диаграмма Λ( ) делит пространство R3 (ℓ, ℎ, ) на восемь камер A, . . . , Hс непустыми многообразиями 3ℓ,ℎ (). Соответствующая информацияпредставлена на рис. 1.10) и в табл. 1.3.1.BBd24d24EEDAAd22d22CCd24Ed28EACFd22d26EEEFAGAHHHFGHAA.Рис. 1.10. Камеры диаграмм Смейла71GAТаблица 1.3.1КодВремяКомпоненткамерыжизни по в камереA ∈ [0, +∞)13B ∈ [0, +∞)2 2 × 1C ∈ (0, * )2 2 × 1D ∈ [0, 1 )23E ∈ [0, +∞)1R 3F2 2 × 1G ∈ (* , 2 )√ ∈ (* , 2)13H ∈ (* , +∞)2 2 × 13ℓ,ℎПерейдем к изучению критических точек общего положения, имеющих в системе с двумя степенями свободы ранг 1.1.4.

Классификация критических точек ранга 11.4.1. Формулы для вычисления типаИзучим тип критических точек ранга 1 в первой критической подсистеме, то есть точек множества ℳ1 ∖ 0 .Предложение 6 (П.Е. Рябов [52]). Тип критических точек ранга 1 в первой критической подсистеме полностью определен собственными числами симплектического оператора a1 , где1 = − 2,(1.4.1)а неопределенный множитель в соответствующей точке равен = 2 .Характеристический многочлен оператора a имеет вид]︂ [︂]︂[︂2231 () = 2 − 41 ,1 = − (ℎ − ) 22 − 2(ℎ + ) + 1 .22272Точки ранга 1 вырождены тогда и только тогда, когда[︂]︂ [︂]︂232 − (ℎ − ) 22 − 2(ℎ + ) + 1 = 0,222(1.4.2)и имеют тип “центр” при 1 < 0 и тип “седло” при 1 > 0.Доказательство. В координатах (, ) порожденное функцией 1 гамильтоново поле в точках (1.1.25) имеет вид{︂}︂√︀√︀1sgrad 1 = 2(2 − ) 0, 0, (), (), − ′ (), −2и обращается в нуль при = 2 .

Отметим, что при других значениях условие sgrad 1 = 0 влечет одновременное обращение в нуль (), ′ (),что приводит к неподвижным точкам – критическим точкам ранга 0.Напомним, что согласно (1.2.13)=ℎ−2− 2 .2Вычисление многочлена 1 () в силу уравнений (1.1.25) многообразияℳ1 труда не составляет. Таким образом, если 1 ̸= 0, то критическиеточки ранга 1 невырождены. Пусть 1 = 0. Допустим, что в такой точке существует другая комбинация = 1 − 22 , удовлетворяющаяравенству sgrad = 0. В силу предположения rank{, }|ℓ4 = 1 имеемпропорциональность неопределенных множителей в комбинациях = − 2|ℓ4 = 0, = 1 − 22 |ℓ4 = 0⇒2 = 1 .Отсюда следует, что 1 ̸= 0, то есть характеристические числа оператораa пропорциональны (нулевым) характеристическим числам оператораa1 и потому также равны нулю.

Следовательно, в точках (1.4.2) не существует интеграла, порождающего регулярный элемент в алгебре симплектических операторов.Отметим, что доказательство предложено потому, что здесь нельзя было воспользоваться непосредственно результатами работы [88], где73для построения системы ℳ1 использовалась функция (1.2.16). Для неекорни характеристического многочлена обращаются в нуль также и намножестве = 0, что влечет равенство ℓ = 0. Появление такой “посторонней” особенности связано с тем, что в [88] фигурировал интегралРеймана – Семенова-Тян-Шанского, вырождающийся в нашем случае в2 .Предложение 7 (П.Е. Рябов [52]). Тип критических точек ранга 1 вовторой и третьей критических подсистемах полностью определен собственными числами симплектического оператора a2 , где12 = + (22 − ),(1.4.3)а – значение, определяющее точку (1.1.28).

Характеристический многочлен оператора a2 имеет вид2 () = 2 − 2 ,[︂]︂)︀1 (︀ 2 3222 = − 3 8 − 1 2 − 2(ℎ + ) + 1 =22= 2 (82 3 − 1)(22 2 − + 2ℓ2 ).Точки ранга 1 в ℳ2 все невырождены и имеют тип “центр”. Точки ранга 1 в ℳ3 вырождены тогда и только тогда, когда[︂]︂2(︀ 2 3)︀8 − 1 22 − 2(ℎ + ) + 1 = 0,2и имеют тип “центр” при 2 < 0 и тип “седло” при 2 > 0.Доказательство. Полагая 2 = + , найдем из (1.1.27), (1.1.28):{︂κ 1 2κ (1 + 2κ 3 ) 2√ ,−√, √ ,, 2,sgrad 2 = (22 − 1 − )2κκ}︂( + ℓ )√,κгде1 = −ℓ + + 2κ 3 ,2 = κ + (3ℓ − 4κ 3 ) + 2 (2 − 3 2 ).74В предположении 22 − 1 − ̸= 0 этот вектор обращается в нуль лишьпри условии64ℓ6 2 4 + 4ℓ4 2 (−1 + 202 − 44 2 + 484 4 )−4ℓ2 (1 − 82 + 44 2 + 202 3 − 44 4 + 86 5 − 486 7 )−(1 − 42 )(1 − 22 + 44 4 )2 = 0.Его можно получить следующим образом.

Заметим, что возможность = 0, = ±1 не приводит к нулевому вектору sgrad 2 даже в предположении = 0. Поэтому должно быть = 0. Выразим отсюда , подставим в выражения 1 , 2 и найдем результант по . Получим искомое соотношение на ℓ, . Поскольку найденное условие не обращается в тождество на поверхностях Π2,3 , то оно определяет одномерное подмножество.С другой стороны, оно тождественно удовлетворено соответствующимивыражениями ℓ и через , из (1.3.11), (1.3.15) и, следовательно, соответствует кривым ( = 1, 2, 3), то есть выполняется в критическихточках ранга 0.

Таким образом, в критических точках ранга 1 должнобыть 22 − 1 − = 0 и функция (1.4.3) является искомым интегралом,определяющим тип этих точек.Прямое вычисление характеристического многочлена приводит ктребуемому выражению 2 (). Очевидно, при < 0 величина 2 всегдаотрицательна, а при > 0 может иметь разные знаки, что и определяетсоответствующий тип особой точки.

Тот факт, что при 2 = 0 критические точки вырождены (то есть нельзя найти другого элемента в алгебресимплектических операторов, имеющего ненулевые собственные значения), доказывается так же, как в предложении 6 (фактически следуетиз того, что коэффициент при удалось выбрать равным 1).Мы видим, что для всех критических точек (как ранга 0, так и ранга 1) характеристический многочлен определяющего симплектическогооператора зависит только от постоянных первых интегралов.

Характеристики

Список файлов диссертации

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6361
Авторов
на СтудИзбе
310
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее