Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (786043), страница 5

Файл №786043 Диссертация (Топологический анализ неклассических интегрируемых задач динамики твердого тела) 5 страницаДиссертация (786043) страница 52019-03-12СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Параметры , ℎ, связанные с выбором начальной точки, произвольны. Поэтому формулы (1.1.22) и (1.1.24), при фиксированных физических параметрах, описывают трехмерное инвариантное подмногообразие фазового пространства, расслоенное на периодические траектории (с возможными бифуркациями). Это решение обобщает классический случай Бобылева – Стеклова.Рассмотрим гиростат при условиях Ковалевской ( = = 2, центрмасс в экваториальной плоскости) и запишем решения (1.1.22), где вкачестве оси e, главной по теореме 1, выбрана ось динамической симметрии.

Из (1.1.23) вытекает, что 1 = 2 = 0. Любая ось в экваториальной плоскости является главной, поэтому без ограничения общности считаем 2 = 0, тогда 2 ≡ 0. Выберем единицы измерения так, что = 1, 1 = 1, а за независимый параметр вместо выберем первую компоненту угловой скорости . Опуская индекс у единственной ненулевойкомпоненты 3 , из (1.1.22) получим параметрические уравнения трех28мерного многообразия, обозначаемого далее через ℳ1 :⎧⎨ 1 = ,2 = 0,3 = ,ℳ1 :√︀⎩ 1 = 1 2 + 2 − ℎ,2 = (),3 = −( − ).2(1.1.25)Здесь1 = − 4 − (22 − ℎ)2 + 22 + 1 − (2 − ℎ)2 − 2 2 .4(1.1.26)Динамика на ℳ1 задана уравнением (1.1.24), задающем периодическиерешения и их возможные бифуркации при возникновении неподвижных точек.

Точное решение (1.1.24), (1.1.25), (1.1.26) обобщает на гиростат семейство особо замечательных движений 4-го класса Аппельротаклассического волчка Ковалевской. Отметим, что обобщение 4-го класса Аппельрота на волчок и гиростат в двойном потенциальном поле (втом числе и с гироскопическими добавками [86]) получены в [87–89].Решение П.В. Харламова и Е.И. ХарламовойВторое точное решение для гиростата в поле силы тяжести, имеющее непосредственное отношение к рассматриваемой задаче, построено в работах [81, 82].

Исходными предположениями являются условие принадлежности центра масс и гиростатического момента одной изглавных плоскостей тензора инерции и наличие частных алгебраических интегралов, гарантирующих возможность выражения всех фазовых переменных через одну вспомогательную. При условиях (1.1.8) наиболее общая форма соответствующих решений представлена в [81], гдеони объединены в одно семейство. Запишем его в удобных для дальнейшего обозначениях, как предложено в [90]. Фиксируем постоянную ℓинтеграла площадей и пусть – некоторая отличная от нуля константа.29Положимκ 2 = ℓ2 + 2 2 ,]︂[︂2(︀)︀(︀)︀2κ1ℓ2222 = 1 −, =++ +−1 ,2κκ⎧⎨ (cos , sin ),2 > 0(, ) =⎩ (cosh , i sinh ), 2 < 0(1.1.27)Здесь i – мнимая единица, – вспомогательная переменная. Инвариантные многообразия ℳ2 и ℳ3 определены соответственно при < 0 и > 0 следующей системой параметрических уравнений⎧√ℓ⎪⎨ 1 = − − κ,2 = − ,3 = + 2κ,ℳ2,3 :⎪⎩ 1 = + ℓ − 2κ 2 2 , 2 = −2κ √ , 3 = ℓ − .κκ(1.1.28)Динамика, индуцированная системой (1.1.9), описывается уравнением˙ 2 = sgn(2 ) 2 .(1.1.29)Поскольку ℓ и – свободные параметры, то при заданных физическихпараметрах задачи вновь имеем трехмерное инвариантное подмногообразие в фазовом пространстве, расслоенное на периодические траектории (как и в первом решении на этом многообразии могут происходитьи бифуркации периодических траекторий).Непосредственно проверяется, что при = 0 на семействе траекторий (1.1.28), (1.1.29) имеется следующая связь между интегральнымиконстантами(ℎ − 2ℓ2 )2 − = 0,что соответствует особо замечательным движениям 2-го ( < 0) и 3-го( > 0) классов Аппельрота, а константа оказывается кратным корнеммногочлена в дифференциальных уравнениях Ковалевской.

Имеются исоответствующие обобщения на двойное поле [87–89], но в случае ̸= 0они не сведены к квадратурам.30Решение И.Н. ГашененкоПопытки построить явное разделение переменных в приведеннойсистеме на ℓ4 для гиростата Ковалевской – Яхья хотя бы при ℓ = 0 успехом не увенчались. В работах [23, 91, 92] предложены замены переменных на 04 , приводящие к уравнениям типа Абеля–Якоби с комплексными переменными.

Их овеществление произвести пока не удалось, в связи с чем для исследования системы (в частности, для ответа на вопрособ условиях существования вещественных решений, который К. Якобиотмечал как основную цель перехода к уравнениям с радикалами [93])они не пригодны.Сведение к квадратурам решений системы (1.1.9) на четырехмерном подмногообразии в 5 , отличном от уровня интеграла площадей,предложил И.Н. Гашененко в работах [77, 78]. Найденное семейство решений также полностью классифицировано по типу движений (периодическое, асимптотическое к периодическому, двоякопериодическое).Приведем основные результаты работ [77, 78]. Рассмотрим соотношения на постоянные ℎ, ℓ, первых интегралов (1.1.10), порожденные семейством решений (1.1.25):1ℓ = − (2ℎ − 2 ) + 3 ,2 = 1 − 2 (2ℎ − 2 ) + 34 .(1.1.30)Полным прообразом множества таких значений ( и ℎ произвольны) в 5служит стратифицированное многообразие 4 = 4 ∪ ℳ1 , где dim 4 = 4и 4 = ℳ1 .

Перейдем на 4 от (, ) к новым координатам (, , , , , ),полагая [77]1 = − −1 ,2 = − −1 ,3 = 2 + + 4 −1 , = 2 + 2 ̸= 0,31(1.1.31)1 = −2 + 4(2 − 2 ) 2 −2 + 2(1 − 2) −1 + 4 −1 ,2 = −2 + 8 2 −2 + 2(1 − 2) −1 + 4 −1 ,3 = 2(1 − 2) −1 − 2.В силу (1.1.30) из уравнений движения и первых интегралов выделяется замкнутая подсистема√︀1 2 1 2˙ = ( − ) + ( − ℎ), = (),22111 () = − 2 2 − [( − )2 + (2 − ℎ)]2 ,422√︀˙ = (),(1.1.32)решение которой (), (), () находится в эллиптических функциях времени.

Вводя обозначения независимых параметров1(2ℎ − 22 − 2 ),1612 = (2ℎ − 62 − 2 ),413 = 4(2 + 2 )1 − ,41 =(1.1.33)функцию Φ и вспомогательную переменную Φ() = ( − )2 − 2 , = Φ− 21(1.1.34)(),получим эллиптическую квадратуру для и конечные выражения дляоставшихся переменныхZZ√︁√︁+= const,21 − 2 3 Φ() ()(︂)︂111 −11 = Φ 2 (), = −2 + Φ− 2 () + Φ˙ 2 ()( − )−1,2211− 12 = −1˙ 2 ()( + 2 )−12 + Φ () + Φ2 .2(1.1.35)Классификация движений в найденном решении проводится по параметрам (1.1.33).

Выделяются следующие случаи [77]:32(I)1 > 0, 2 > 0, 3 > 0;(II)1 > 0, 2 < 0, 3 < 0;(III)1 > 0, 2 < 0, 3 > 0;(IV)1 > 0, 2 > 0, 3 < 0;(V)1 < 0;(VI)1 = 0;(VII)2 = 0;(1.1.36)(VIII) 3 = 0.Как отмечает автор [77], в случаях I, II возможны двоякопериодические движения, в случаях III, IV, VII, VIII движения, отличные от(1.1.25), асимптотически стремятся к траекториям на ℳ1 , а в случаяхV, VI движения, отличные от (1.1.25), невозможны. Ниже мы будем возвращаться к обсуждению этих классов и укажем их связь с типами особых точек отображения момента.1.2. Критическое множество отображения момента1.2.1. Представление ЛаксаНесмотря на то, что в работе [30] интеграл Ковалевской был обобщен и на двойное поле, такая задача не рассматривалась как интегрируемая, поскольку двойное поле препятствует существованию интегралаплощадей.

Однако позже в работе [94] было указано представление Лакса со спектральным параметром для гиростата типа Ковалевской в двойном поле, откуда следовало существование еще одного первого интеграла, который при исчезновении второго поля превращается в квадрат интеграла площадей. Приведем соответствующее представление Лакса ивытекающие из него результаты при условиях Ковалевской – Яхья.33Следуя С.В. Ковалевской введем комплексные переменные (i 2 = −1):1 = 1 + i 2 ,2 = 1 − i 2 ,1 = 1 + i 2 ,2 = 1 − i 2 , = 3 ,(1.2.1)3 = 3(последняя строка переобозначений введена для удобства и единообразия). Обозначая штрихом дифференцирование /(i ), запишем систему(1.1.9) так:21′ = −(1 3 + ), 22′ = 2 3 + , 23′ = 1 − 2 ,′1= −1 3 + 1 ,′2′(1.2.2)= 2 3 − 2 , 2 = 1 2 − 2 1 .Представление Лакса для этой системы, как частный случай результата работы [94], имеет вид ′ = − ,(1.2.3)где⃦⃦2⃦⃦⃦ 2⃦−21⃦⃦⃦⃦ 1⃦−⃦−2−21⃦ ⃦⃦,=⃦⃦⃦1⃦−21⃦−2−−43⃦⃦⃦ ⃦2⃦⃦22+ 423 ⃦⃦ −⃦⃦2⃦ 3⃦⃦−00 ⃦⃦ 2⃦2⃦1 ⃦3⃦ 0⃦0−⃦22⃦⃦,=⃦⃦ 1⃦2⃦⃦0⃦ 2⃦2⃦23 ⃦⃦⃦− − ⃦⃦ 0 −22(1.2.4)через обозначен спектральный параметр, производная в (1.2.3) вычисляется в силу (1.2.2).

Уравнение для собственных значений матрицы определяет ассоциированную с данным представлением алгебраическую кривую [95]. Положим = 22 . Уравнение алгебраической кривойпримет вид]︂12 −4− (2ℎ + ) + 2 2 +[︂ ]︂12 2+ 4 2 + (4ℓ − 2ℎ − 2 ) + (4 + 82 ℎ) − 82 = 0.4[︂34(1.2.5)Введем порожденное интегралами (1.1.10) интегральное отображение (отображение момента) = ×× : 5 → R3 .(1.2.6)Множество Σ его критических значений называется бифуркационнойдиаграммой и является классифицирующим множеством при исследовании фазовой топологии системы.

Как показывает опыт такого исследования, при наличии представления Лакса бифуркационная диаграмма отображения содержится в множестве тех значений (ℓ, ℎ, ), при которых кривая (1.2.5) перестает быть неособенной, то есть либо являетсяприводимой – левая часть уравнения (1.2.5) распадается в произведение рациональных выражений, либо имеет особую точку в стандартномсмысле. Таким путем можно предугадать результат следующего утверждения. Однако для его строгого доказательства необходимы непосредственные вычисления на множестве критических точек . Это множество будет указано ниже.Теорема 2. Бифуркационная диаграмма интегрального отображения×× содержится в объединении следующих (пересекающихся) поверхностей в R3 (ℓ, ℎ, ):⎧2 22⎪⎪⎨ = 1 + (ℎ − ) − 4(ℎ − ) + 32 ,22Π1 :2⎪⎪⎩ ℓ2 = (ℎ − − )2 , ∈ R;2⎧21⎪2⎪− 2) − 4 + 2 ,⎨ = −2 (ℎ −24Π2,3 :2⎪⎪⎩ ℓ2 = 1 (ℎ + ) − 2 2 − 1 , ∈ R∖{0}.224Здесь < 0 для Π2 и > 0 для Π3 .(1.2.7)(1.2.8)Замечание 1. В представленном виде уравнения бифуркационных диаграмм получены из (1.2.5).

Характеристики

Список файлов диссертации

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6361
Авторов
на СтудИзбе
310
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее