Диссертация (786043), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Параметры , ℎ, связанные с выбором начальной точки, произвольны. Поэтому формулы (1.1.22) и (1.1.24), при фиксированных физических параметрах, описывают трехмерное инвариантное подмногообразие фазового пространства, расслоенное на периодические траектории (с возможными бифуркациями). Это решение обобщает классический случай Бобылева – Стеклова.Рассмотрим гиростат при условиях Ковалевской ( = = 2, центрмасс в экваториальной плоскости) и запишем решения (1.1.22), где вкачестве оси e, главной по теореме 1, выбрана ось динамической симметрии.
Из (1.1.23) вытекает, что 1 = 2 = 0. Любая ось в экваториальной плоскости является главной, поэтому без ограничения общности считаем 2 = 0, тогда 2 ≡ 0. Выберем единицы измерения так, что = 1, 1 = 1, а за независимый параметр вместо выберем первую компоненту угловой скорости . Опуская индекс у единственной ненулевойкомпоненты 3 , из (1.1.22) получим параметрические уравнения трех28мерного многообразия, обозначаемого далее через ℳ1 :⎧⎨ 1 = ,2 = 0,3 = ,ℳ1 :√︀⎩ 1 = 1 2 + 2 − ℎ,2 = (),3 = −( − ).2(1.1.25)Здесь1 = − 4 − (22 − ℎ)2 + 22 + 1 − (2 − ℎ)2 − 2 2 .4(1.1.26)Динамика на ℳ1 задана уравнением (1.1.24), задающем периодическиерешения и их возможные бифуркации при возникновении неподвижных точек.
Точное решение (1.1.24), (1.1.25), (1.1.26) обобщает на гиростат семейство особо замечательных движений 4-го класса Аппельротаклассического волчка Ковалевской. Отметим, что обобщение 4-го класса Аппельрота на волчок и гиростат в двойном потенциальном поле (втом числе и с гироскопическими добавками [86]) получены в [87–89].Решение П.В. Харламова и Е.И. ХарламовойВторое точное решение для гиростата в поле силы тяжести, имеющее непосредственное отношение к рассматриваемой задаче, построено в работах [81, 82].
Исходными предположениями являются условие принадлежности центра масс и гиростатического момента одной изглавных плоскостей тензора инерции и наличие частных алгебраических интегралов, гарантирующих возможность выражения всех фазовых переменных через одну вспомогательную. При условиях (1.1.8) наиболее общая форма соответствующих решений представлена в [81], гдеони объединены в одно семейство. Запишем его в удобных для дальнейшего обозначениях, как предложено в [90]. Фиксируем постоянную ℓинтеграла площадей и пусть – некоторая отличная от нуля константа.29Положимκ 2 = ℓ2 + 2 2 ,]︂[︂2(︀)︀(︀)︀2κ1ℓ2222 = 1 −, =++ +−1 ,2κκ⎧⎨ (cos , sin ),2 > 0(, ) =⎩ (cosh , i sinh ), 2 < 0(1.1.27)Здесь i – мнимая единица, – вспомогательная переменная. Инвариантные многообразия ℳ2 и ℳ3 определены соответственно при < 0 и > 0 следующей системой параметрических уравнений⎧√ℓ⎪⎨ 1 = − − κ,2 = − ,3 = + 2κ,ℳ2,3 :⎪⎩ 1 = + ℓ − 2κ 2 2 , 2 = −2κ √ , 3 = ℓ − .κκ(1.1.28)Динамика, индуцированная системой (1.1.9), описывается уравнением˙ 2 = sgn(2 ) 2 .(1.1.29)Поскольку ℓ и – свободные параметры, то при заданных физическихпараметрах задачи вновь имеем трехмерное инвариантное подмногообразие в фазовом пространстве, расслоенное на периодические траектории (как и в первом решении на этом многообразии могут происходитьи бифуркации периодических траекторий).Непосредственно проверяется, что при = 0 на семействе траекторий (1.1.28), (1.1.29) имеется следующая связь между интегральнымиконстантами(ℎ − 2ℓ2 )2 − = 0,что соответствует особо замечательным движениям 2-го ( < 0) и 3-го( > 0) классов Аппельрота, а константа оказывается кратным корнеммногочлена в дифференциальных уравнениях Ковалевской.
Имеются исоответствующие обобщения на двойное поле [87–89], но в случае ̸= 0они не сведены к квадратурам.30Решение И.Н. ГашененкоПопытки построить явное разделение переменных в приведеннойсистеме на ℓ4 для гиростата Ковалевской – Яхья хотя бы при ℓ = 0 успехом не увенчались. В работах [23, 91, 92] предложены замены переменных на 04 , приводящие к уравнениям типа Абеля–Якоби с комплексными переменными.
Их овеществление произвести пока не удалось, в связи с чем для исследования системы (в частности, для ответа на вопрособ условиях существования вещественных решений, который К. Якобиотмечал как основную цель перехода к уравнениям с радикалами [93])они не пригодны.Сведение к квадратурам решений системы (1.1.9) на четырехмерном подмногообразии в 5 , отличном от уровня интеграла площадей,предложил И.Н. Гашененко в работах [77, 78]. Найденное семейство решений также полностью классифицировано по типу движений (периодическое, асимптотическое к периодическому, двоякопериодическое).Приведем основные результаты работ [77, 78]. Рассмотрим соотношения на постоянные ℎ, ℓ, первых интегралов (1.1.10), порожденные семейством решений (1.1.25):1ℓ = − (2ℎ − 2 ) + 3 ,2 = 1 − 2 (2ℎ − 2 ) + 34 .(1.1.30)Полным прообразом множества таких значений ( и ℎ произвольны) в 5служит стратифицированное многообразие 4 = 4 ∪ ℳ1 , где dim 4 = 4и 4 = ℳ1 .
Перейдем на 4 от (, ) к новым координатам (, , , , , ),полагая [77]1 = − −1 ,2 = − −1 ,3 = 2 + + 4 −1 , = 2 + 2 ̸= 0,31(1.1.31)1 = −2 + 4(2 − 2 ) 2 −2 + 2(1 − 2) −1 + 4 −1 ,2 = −2 + 8 2 −2 + 2(1 − 2) −1 + 4 −1 ,3 = 2(1 − 2) −1 − 2.В силу (1.1.30) из уравнений движения и первых интегралов выделяется замкнутая подсистема√︀1 2 1 2˙ = ( − ) + ( − ℎ), = (),22111 () = − 2 2 − [( − )2 + (2 − ℎ)]2 ,422√︀˙ = (),(1.1.32)решение которой (), (), () находится в эллиптических функциях времени.
Вводя обозначения независимых параметров1(2ℎ − 22 − 2 ),1612 = (2ℎ − 62 − 2 ),413 = 4(2 + 2 )1 − ,41 =(1.1.33)функцию Φ и вспомогательную переменную Φ() = ( − )2 − 2 , = Φ− 21(1.1.34)(),получим эллиптическую квадратуру для и конечные выражения дляоставшихся переменныхZZ√︁√︁+= const,21 − 2 3 Φ() ()(︂)︂111 −11 = Φ 2 (), = −2 + Φ− 2 () + Φ˙ 2 ()( − )−1,2211− 12 = −1˙ 2 ()( + 2 )−12 + Φ () + Φ2 .2(1.1.35)Классификация движений в найденном решении проводится по параметрам (1.1.33).
Выделяются следующие случаи [77]:32(I)1 > 0, 2 > 0, 3 > 0;(II)1 > 0, 2 < 0, 3 < 0;(III)1 > 0, 2 < 0, 3 > 0;(IV)1 > 0, 2 > 0, 3 < 0;(V)1 < 0;(VI)1 = 0;(VII)2 = 0;(1.1.36)(VIII) 3 = 0.Как отмечает автор [77], в случаях I, II возможны двоякопериодические движения, в случаях III, IV, VII, VIII движения, отличные от(1.1.25), асимптотически стремятся к траекториям на ℳ1 , а в случаяхV, VI движения, отличные от (1.1.25), невозможны. Ниже мы будем возвращаться к обсуждению этих классов и укажем их связь с типами особых точек отображения момента.1.2. Критическое множество отображения момента1.2.1. Представление ЛаксаНесмотря на то, что в работе [30] интеграл Ковалевской был обобщен и на двойное поле, такая задача не рассматривалась как интегрируемая, поскольку двойное поле препятствует существованию интегралаплощадей.
Однако позже в работе [94] было указано представление Лакса со спектральным параметром для гиростата типа Ковалевской в двойном поле, откуда следовало существование еще одного первого интеграла, который при исчезновении второго поля превращается в квадрат интеграла площадей. Приведем соответствующее представление Лакса ивытекающие из него результаты при условиях Ковалевской – Яхья.33Следуя С.В. Ковалевской введем комплексные переменные (i 2 = −1):1 = 1 + i 2 ,2 = 1 − i 2 ,1 = 1 + i 2 ,2 = 1 − i 2 , = 3 ,(1.2.1)3 = 3(последняя строка переобозначений введена для удобства и единообразия). Обозначая штрихом дифференцирование /(i ), запишем систему(1.1.9) так:21′ = −(1 3 + ), 22′ = 2 3 + , 23′ = 1 − 2 ,′1= −1 3 + 1 ,′2′(1.2.2)= 2 3 − 2 , 2 = 1 2 − 2 1 .Представление Лакса для этой системы, как частный случай результата работы [94], имеет вид ′ = − ,(1.2.3)где⃦⃦2⃦⃦⃦ 2⃦−21⃦⃦⃦⃦ 1⃦−⃦−2−21⃦ ⃦⃦,=⃦⃦⃦1⃦−21⃦−2−−43⃦⃦⃦ ⃦2⃦⃦22+ 423 ⃦⃦ −⃦⃦2⃦ 3⃦⃦−00 ⃦⃦ 2⃦2⃦1 ⃦3⃦ 0⃦0−⃦22⃦⃦,=⃦⃦ 1⃦2⃦⃦0⃦ 2⃦2⃦23 ⃦⃦⃦− − ⃦⃦ 0 −22(1.2.4)через обозначен спектральный параметр, производная в (1.2.3) вычисляется в силу (1.2.2).
Уравнение для собственных значений матрицы определяет ассоциированную с данным представлением алгебраическую кривую [95]. Положим = 22 . Уравнение алгебраической кривойпримет вид]︂12 −4− (2ℎ + ) + 2 2 +[︂ ]︂12 2+ 4 2 + (4ℓ − 2ℎ − 2 ) + (4 + 82 ℎ) − 82 = 0.4[︂34(1.2.5)Введем порожденное интегралами (1.1.10) интегральное отображение (отображение момента) = ×× : 5 → R3 .(1.2.6)Множество Σ его критических значений называется бифуркационнойдиаграммой и является классифицирующим множеством при исследовании фазовой топологии системы.
Как показывает опыт такого исследования, при наличии представления Лакса бифуркационная диаграмма отображения содержится в множестве тех значений (ℓ, ℎ, ), при которых кривая (1.2.5) перестает быть неособенной, то есть либо являетсяприводимой – левая часть уравнения (1.2.5) распадается в произведение рациональных выражений, либо имеет особую точку в стандартномсмысле. Таким путем можно предугадать результат следующего утверждения. Однако для его строгого доказательства необходимы непосредственные вычисления на множестве критических точек . Это множество будет указано ниже.Теорема 2. Бифуркационная диаграмма интегрального отображения×× содержится в объединении следующих (пересекающихся) поверхностей в R3 (ℓ, ℎ, ):⎧2 22⎪⎪⎨ = 1 + (ℎ − ) − 4(ℎ − ) + 32 ,22Π1 :2⎪⎪⎩ ℓ2 = (ℎ − − )2 , ∈ R;2⎧21⎪2⎪− 2) − 4 + 2 ,⎨ = −2 (ℎ −24Π2,3 :2⎪⎪⎩ ℓ2 = 1 (ℎ + ) − 2 2 − 1 , ∈ R∖{0}.224Здесь < 0 для Π2 и > 0 для Π3 .(1.2.7)(1.2.8)Замечание 1. В представленном виде уравнения бифуркационных диаграмм получены из (1.2.5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
