Диссертация (786043), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Найдено явное вещественноеразделение переменных в частном случае интегрируемости Горячева, основанное на геометрическом подходе к разделению переменных. Полученные аналитические формулы позволили исследовать бифуркации лиувиллевых торов, а также устойчивость невырожденных (в смысле особенностей) траекторий.∙ Для обобщенного двухполевого гиростата (случай интегрируемости Соколова-Цыганова) удалось выделить аналитически четыре14инвариантных четырехмерных подмногообразия, на которых индуцированная динамическая система является почти всюду гамильтоновой с двумя степенями свободы. Система уравнений, задающая одно из инвариантных подмногообразий, является обобщением инвариантных соотношений интегрируемого случая О.И. Богоявленского вращения намагниченного твердого тела в однородномгравитационном и магнитном поле.
Остальные три инвариантныхподмногообразия являются новыми в динамике твердого тела. Длякаждого из них указан дополнительный интеграл. Для описанияфазовой топологии всей системы в целом используется метод критических подсистем. Для каждой подсистемы построены бифуркационные диаграммы и указаны бифуркации торов Лиувилля каквнутри подсистем, так и во всей системе в целом.∙ Исследована фазовая топология интегрируемой гамильтоновой системы на (3), найденной В.В.
Соколовым (2001) и обобщающей случай Ковалевской. Обобщение состоит в том, что к однородному потенциальному силовому полю добавлены гироскопические силы,зависящие от конфигурационных переменных. Классифицированы относительные равновесия, вычислен их тип, определен характер устойчивости; установлены виды диаграмм Смейла и дана классификация изоэнергетических многообразий приведенных системс двумя степенями свободы. Множество критических точек полного отображения момента представлено в виде объединения четырехкритических подсистем, каждая из которых при фиксированныхфизических параметрах является однопараметрическим семейством почти гамильтоновых систем с одной степенью свободы.Степень достоверности и апробация результатов. Основные результаты, представленные в диссертации, были доложены автором на много15численных международных и всероссийских конференциях, наиболеезначимые из которых перечислены ниже.1) “The 8th International Workshop on Computer Algebra Systems inTeaching and Research” , Siedlce, Poland, 2015; 2) International Conference“Nonlinear Methods in Physics and Mechanics” , Ярославль, 2015;3) “Dynamics, Bifurcations, and Strange Attractors” , Нижний Новгород,2015; 4) “International Conference on Mathematical Control Theory andMechanics” , Суздаль, 2015, 2011; 5) “Hamiltonian Dynamics, Nonautonomous Systems, and Patterns in PDE’s” , Нижний Новгород, 2014;6) “International Conference on Differential Equations and Dynamical Systems” , Суздаль, 2014, 2012; 7) “Recent Advances in Quantum IntegrableSystems” , Dijon, France, 2014; 8) “10th AIMS International Conferenceon Dynamical Systems, Differential Equations and Application” , Madrid,Spain, 2014; 9) “Воронежская зимняя математическая школа С.
Г. Крейна” , Воронеж, 2014; 10) “8th International Symposium on Classical andCelestial Mechanics” , Siedlce, Poland, 2013; 11) “Finite Dimensional Integrable Systems” , Marseille, France, 2013; 12) Семинар “Современные геометрические методы” под руководством академика А. Т. Фоменко;13) International Topological Conference “Alexandroff Readings” , Moscow,2012; 14) Международная конференция “Устойчивость и колебания нелинейных систем управления” (конференция Пятницкого), Москва, 2012;15) “International Conference on stability, control and rigid body dynamics” , Донецк, 2011, 2009, 2008; 16) International Conference “Differential equations and related topics” dedicated Ivan G. Petrovskii, Moscow,2011; 17) II Int. Conf. “Geometry, Dynamics, Integrable Systems” , Belgrad,Serbia, 2010; 18) Всероссийская конференция “Динамические системы,управление и наномеханика” , Ижевск, 2009.Публикации.
Материалы диссертации опубликованы в 37 печатныхработах, из них 21 статей в рецензируемых из перечня, рекомендован16ных ВАК, журналах [50–70], среди которых 11 публикаций, индексируемых международными базами Scopus и Web of Science; 8 статей всборниках трудов конференций и 8 тезисов докладов.Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора вопубликованные работы.Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,обзора литературы, 5 глав, заключения и библиографии. Общий объемдиссертации 374 страниц, из них 354 страниц текста, включая 83 рисунков. Библиография включает 189 наименований на 19 страницах.17Глава 1Топологический анализгиростата Ковалевской – ЯхьяСветлой памяти моего учителяМ.
П. Харламова посвящаетсяСообщение о том, что случай С.В. Ковалевской в динамике твердоготела обобщается на гиростат, Х.М. Яхья сделал на семинарах В.Г. Демина и В.В. Козлова в МГУ в 1985 году. Тогда же была представленазаметка в “J. de Mecanique Theor. Appl.”, которая по каким-то причинам так и не была опубликована. В связи с этим официальной датойоткрытия этого случая интегрируемости следует считать 1986 год, когда вышла статья [30]. Статья на русском языке, представленная в апреле 1986 года и содержащая в том числе и этот результат, вышла значительно позже [71]. На самом деле в [30] интеграл Ковалевской былобобщен сразу в двух направлениях – на гиростат и на двойное поле, моделирующее действие суперпозиции поля силы тяжести и постоянногомагнитного поля. Ранее аналог интеграла Ковалевской для двойного поля был найден О.И.
Богоявленским [72], однако, обобщение Яхья1 оказалось принципиальным – введение гиростатического момента нарушило классическую структуру интеграла (сумма квадратов), а также егооднородность – новое слагаемое, пропорциональное гиростатическомумоменту, имеет третью степень по угловым скоростям подобно интегралу Горячева–Чаплыгина. В 1987 году появились сразу две публикации[73, 74] с обобщением интеграла Ковалевской на гиростат в одном однородном поле, моделирующем силу тяжести, но в этом отношении их уже1В соответствии с правилами русского языка арабская фамилия Яхья склоняется.
Однако нампредставляется более уважительным сохранить ее неизменной.18нельзя считать оригинальными.Поскольку введение двойного поля в общем случае ликвидирует симметрию задачи, уничтожая интеграл площадей, Х.М. Яхья отмечает дваслучая полной интегрируемости – гиростат типа Ковалевской в поле силы тяжести и гиростат в двойном поле особой структуры, допускающейсингулярную симметрию. В данном разделе обсуждается первая задача. До настоящего времени она не сведена к квадратурам. Однако удивительным образом оказалось, что все движения на критических многообразиях интегрального отображения, играющие сегодня ключевуюроль в топологическом анализе задачи, были выявлены и проинтегрированы задолго до публикации [30] и возникновения современного подхода к исследованию интегрируемых гамильтоновых систем. В 1991 г. начались систематические исследования фазовой топологии случая Ковалевской–Яхья.
Первым этапом всегда является изучение особенностейинтегрального отображения (обычно называемого в современной литературе отображением момента). Это такие траектории в фазовом пространстве, на которых первые интегралы оказываются зависимыми всмысле линейной зависимости дифференциалов. Соответствующие решения уравнений Эйлера–Пуассона являются либо неподвижными точками (физически они отвечают равномерным вращениям тела), либо периодическими траекториями особого характера, на которых падает ранготображения момента.
В совокупности это подмножество фазового пространства образует критическое множество отображения момента. В работе [75] была выписана система уравнений, задающая критическое множество, и, на основе рассмотрения некоторых его сечений, продиктованных очевидными симметриями множества, получены параметрические уравнения поверхностей, которым принадлежат критические значения отображения момента – бифуркационная диаграмма задачи.
Была отмечена связь бифуркационной диаграммы с классами Аппельрота19[76] классического волчка Ковалевской. Оказалось, что поверхности впространстве констант первых интегралов, отвечающие в случае Ковалевской четырем классам Аппельрота, в случае Яхья (при ненулевомгиростатическом моменте) перестраиваются в две поверхности, одна изкоторых, в свою очередь, состоит из двух связных компонент.
Практически одновременно в работе [77] были сведены к квадратурам все решения уравнений Эйлера – Пуассона, лежащие в прообразе первой поверхности. В работе [78] отмечено, что те из них, которые отвечают особым периодическим решениям (то есть состоят из критических точекотображения момента согласно [75]), ранее получены и исследованы в[79] в составе класса движений тяжелого гиростата, обобщающего решение Бобылева – Стеклова.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
