Диссертация (786043), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В результате открыто новое физически реализуемое обобщение случая Ковалевской, но уже несводимое в целом к системе с двумя степенями свободы.Цели и задачи диссертационной работы. Основная цель и задачадиссертационной работы – исследование фазовой топологии вполне интегрируемых гамильтоновых систем с двумя и тремя степенями свободымеханического происхождения и их обобщений на системы с неклассическими полями.Научная новизна.
Научная новизна диссертационной работы состоит в анализе (орбитальной) устойчивости невырожденных (в смысле теории особенностей) периодических движений, использовании и дальнейшем развитии метода критических подсистем, практическом построении стратификаций фазового пространства, классификации слоений вокрестности особых точек отображения момента, эффективном констру7ировании различных глобальных топологических инвариантов.Теоретическая и практическая значимость применения к задачамдинамики твердого тела.
Результаты, изложенные в диссертации, могут быть использованы для∙ определения и анализа (орбитальной) устойчивости невырожденных (в смысле теории особенностей) траекторий;∙ построения бифуркационных комплексов и с их помощью анализаустойчивости критических движений;∙ практического построения стратификаций фазового пространствас использованием метода критических подсистем;∙ описания глобальных топологических инвариантов в виде оснащенных изоэнергетических бифуркационных диаграмм;∙ исследования фазовой топологии задач неголономной механики,связанных с качением твердых тел; задач о движении цилиндрического твердого тела, взаимодействующего с вихревой нитью, которые относятся к некоммутативному интегрированию;∙ применения методов топологического анализа к задачам квантовой теории сильнокоррелированных систем при экстремально низких температурах.
В работе [36] показано, что при определенныхзначениях параметров уравнения движения, которые описываютбегущие волны в двухкомпонентном бозе-эйнштейновском конденсате, могут быть сведены к разделенным уравнениям типа Ковалевской в динамике твердого тела. Наличие разделенных уравнений дает возможность выделить дискриминантную поверхность,которая содержит бифуркационную диаграмму, и, таким образом,применить методы топологического анализа.8Методология и методы исследования.В диссертационной работе в качестве основных методов исследования выступают: анализ устойчивости невырожденных (в смысле особенностей) траекторий на основе определения их типа (эллиптический/ гиперболический); метод критических подсистем исследования фазовойтопологии; метод ключевых множеств, классифицирующий бифуркационные диаграммы.
Остановимся на методологии исследования,используемой в диссертационной работе.1) Анализ устойчивости невырожденных (в смысле особенностей)траекторий.Общие методы теории устойчивости гамильтоновых систем позволяют получать строгие выводы об устойчивости движения дляцелого ряда задач классической динамики твердого тела. Так, вряде работ рассматривалась задача об орбитальной устойчивостимаятниковых периодических движений тяжелого твердого тела снеподвижной точкой. В.Д.
Иртегов [37] указал достаточные условия орбитальной устойчивости маятниковых колебаний тяжелоготвердого тела с неподвижной точкой в случае С.В.Ковалевской, тотже результат другим способом был получен позже А.З. Брюмом[38]. В работе [39] была установлена нелокальная устойчивостьбыстрых плоских вращений твердого тела в указанном случае.
Полное исследование орбитальной устойчивости маятниковых периодических движений в случае С.В.Ковалевской было выполнено в[40], [41]. В работах А.П. Маркеева [42] и А.В.Карапепяна [43] вслучае Горячева–Чаплыгина был также проведен анализ орбитальной устойчивости колебаний и вращений твердого тела относительно оси его динамической симметрии.Очень часто при анализе устойчивости периодических реше9ний и неподвижных точек не делают различия между интегрируемыми и неинтегрируемыми системами и пользуются общими методами, основанными на вычислении мультипликаторов, нормализующих преобразованиях Биркгофа, изучении областей резонансов и так называемых связок интегралов (см., например, [38, 40,42, 44–48]).Естественным образом используя интегрируемость системы, топологический анализ позволяет быстрым и наглядным образомопределять устойчивость в тех случаях, когда использование общих стандартных методов является довольно затруднительным.При анализе устойчивости невырожденных (в смысле теории особенностей) траекторий никаких проблем не возникает.
Если рассматриваемая система нерезонансна, то имеет место следующееутверждение: эллиптические невырожденные траектории устойчивы, гиперболические невырожденные траектории неустойчивы.Невырожденные критические периодические траектории объединяются в однопараметрические семейства, которые интегральным отображением переводятся в бифуркационные кривые. Это позволяет эффективно использовать бифуркационную диаграмму интегрального отображения для анализа устойчивости. А именно,практически во всех выполненных в диссертации исследованиях,для которых проведен топологический анализ, справедливо следующее: гладкой ветви бифуркационной диаграммы соответствует однопараметрическое семейство (или несколько не связанных между собой семейств) невырожденных критических траекторий; типтраектории семейства (эллиптический/гиперболический) не можетизменяться в неособых точках ветви (т. е.
смена типа происходит вточках пересечения ветвей, излома, возврата и т. п.). Таким обра10зом, грубо говоря, для анализа устойчивости критических траекторий определяется тип траектории для каждой кривой из бифуркационного множества. При этом достаточно определить тип траектории (эллиптический/гиперболический) в какой-нибудь одной източек гладкой ветви бифуркационной диаграммы. Отметим также,что эллиптические критические траектории орбитально устойчивы, а гиперболические – неустойчивы [49].Обобщая понятие бифуркационной диаграммы, в [49] вводится так называемый бифуркационный комплекс, который является простым, наглядным и естественным топологическим инвариантом интегрируемой системы.
Его главное преимущество связанос упрощениями, которые достигаются при анализе и представлении результатов о существовании и устойчивости периодическихрешений интегрируемых систем. Построение этого инварианта дает возможность не только ответить на вопрос об устойчивости каких-то конкретных траекторий, но сразу описать все устойчивыетраектории.2) Метод критических подсистем исследования фазовой топологии.Понятие критической подсистемы введено М.П. Харламовымв начале 2000-х гг. в связи с началом исследования фазовой топологии неприводимых систем с тремя степенями свободы. К настоящему моменту локальное и полулокальное исследование критических подсистем является основным методом аналитического икачественного анализа таких систем. Изучение систем алгебраической структуры позволило ввести инвариантные определения иразработать соответствующие методы анализа.Пусть для простоты задана интегрируемая гамильтонова системас степенями свободы с полиномиальными или рациональными11правыми частями и такими же интегралами.
Тогда множество критических значений отображения момента может быть записано ввиде = 0, где – полином от фазовых переменных. Разложим егона неприводимые множители =∏︁и определим критическую подсистему как множество критических точек нулевого уровня функции , а именно: = { : () = 0, () = 0}.Оказывается, что при некоторых предположениях об общем положении верно следующее: во-первых, критическая точка ранга локально является точкой трансверсального пересечения − подобластей критических подсистем; во-вторых, интегралы этих подсистем являются теми функциями, симплектические операторы которых определяют тип критической точки. Собственныечисла симплектических операторов не зависят от точки , а выражаются через значения констант общих интегралов, а, фактически, что еще более важно, через значения параметров на поверхностях ( ).
Эти параметры, в свою очередь, являются частнымиинтегралами критических подсистем, которые также легко находятся из компонент нормали к поверхности, играющих роль неопределенных множителей Лагранжа в критической точке. Это дает аналитическую классификацию критических точек системы исключительно в терминах первых интегралов.3) Метод ключевых множеств, классифицирующий бифуркационныедиаграммы.Как правило, вполне интегрируемая гамильтонова система с 12степенями свободы зависит от набора параметров .
В основе классификации сложных геометрических объектов, таких, как бифуркационные диаграммы ограничений системы на семейства инвариантных многообразий, зависящих от набора физических и интегральных параметров , лежит метод ключевых множеств.Фиксируется критическая подсистема . Ключевым множествомкритической подсистемы называется совокупность точек, в окрестности которых меняется локальное слоение Лиувилля. Образ Σмножества ключевых точек под действием некоторого интегрального отображения критической подсистемы называется диаграммой критической подсистемы. Пусть – некоторый выделенныйпервый интеграл, например, интеграл момента в системах с симметрией или интеграл энергии в неприводимых системах. Задачаклассификации бифуркационных диаграмм (в большинстве случаев) сводится к нахождению критических значений выделенного интеграла на ключевом множестве и, далее, к относительно простомуопределению особых точек набора кривых в арифметическом пространстве {(, )}.
В диссертационной работе предложена детальная формализация метода ключевых множеств, а также обоснование его приложений к новым интегрируемым задачам динамики.Положения, выносимые на защиту:∙ Изложены строго обоснованные результаты по аналитическим решениям и топологическому анализу интегрируемого случая Ковалевской-Яхья: представлена полная аналитическая классификациябифуркаций гиростата Ковалевской-Яхья, возникающих в особыхпериодических движениях (критических точках ранга 1 отображения момента); найдены все разделяющие значения гиростатического момента при классификации диаграмм Смейла; исследована13топология приведенных систем; обоснованы результаты об устойчивости периодических решений, полученные при помощи бифуркационной диаграммы; приведено полное описание динамики системы в окрестности особых (критических) периодических траекторий.∙ Приводится полное исследование неприводимой системы с тремястепенями свободы, которая описывает движение волчка Ковалевской в двойном поле: приводится описание критических подсистеми бифуркационных диаграмм; дана классификация всех невырожденных критических точек – положений равновесия (невырожденных особенностей ранга 0), особых периодических движений (невырожденных особенностей ранга 1), а также критических двухчастотных движений (невырожденных особенностей ранга 2); предъявлены явные формулы характеристических уравнений для собственных чисел соответствующих симплектических операторов,которые определяют тип невырожденной особенности.∙ Исследована фазовая топология интегрируемых случаев уравненийКирхгофа движения твердого тела в жидкости с дополнительныминтегралом четвертой степени по импульсам (случаи интегрируемости Чаплыгина, Горячева, Яхья).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
