Диссертация (786043), страница 4
Текст из файла (страница 4)
В последовавших затем работах [50, 80] даны исчерпывающие доказательства структуры бифуркационного множества и в [80] отмечено, что уравнения критических точек в прообразе второй из поверхностей совпадают с инвариантными соотношениями, описывающими частное решение, найденное и проинтегрированное в [81]. Более аккуратный анализ показывает, что для описания всехкритических движений в прообразе второй бифуркационной поверхности нужно взять совокупность решений, найденных в двух работах [82]и [81].
Таким образом, вся совокупность критических движений волчка Ковалевской – Яхья оказалась открытой и сведенной к квадратурамв [79, 81, 82] без использования неизвестного в то время аналога интеграла Ковалевской.Поскольку бифуркационная диаграмма отображения момента зависит от одного существенного физического параметра (гиростатического момента), и, соответственно, приведенные системы с двумя степенями свободы, полученные в результате понижения порядка, зависят отдвух параметров (гиростатического момента и постоянной площадей),в работах [83, 84] был решен вопрос классификации бифуркационных20диаграмм приведенных систем и построено разделяющее множество вплоскости указанных параметров.
Варианты классификации топологических инвариантов – графов Фоменко (пока еще без полной аналитической классификации) были предложены в работах [51, 85].1.1. Аналитические результаты1.1.1. Уравнения и интегралыУравнения Эйлера – Пуассона движения гиростата в поле силы тяжести в общем случае имеют видṀ = M × + c × ,˙ = × ,(1.1.1)где – угловая скорость, – единичный вектор направления силы тяжести (называемого вертикалью), c – вектор, направленный из неподвижной точки в центр масс, равный по длине произведению веса системы “тело–ротор” на расстояние от до центра масс. Все объекты отнесены к подвижным осям.
Вектор кинетического момента M связан сугловой скоростью зависимостьюM = I + ,(1.1.2)где I, – тензор инерции в точке и вектор гиростатического момента, постоянные в подвижной системе отсчета. Для краткости объекты,не изменяющиеся по отношению к подвижной системе отсчета, будемназывать “постоянными в теле”. Система (1.1.1) получена из механической системы с конфигурационным пространством (3) (гамильтоновой системы с тремя степенями свободы) факторизацией по действиюгруппы вращений вокруг постоянного в инерциальном пространстве направления вертикали, и ее фазовым пространством является пятимерное многообразие 5 = R3 ()× 2 ().21Здесь и далее через R (1 , .
. . , ) обозначаем пространство R с выделенной системой координатных функций 1 , . . . , . Обозначение 2 ()относится к единичной сфере в R3 () = R3 (1 , 2 , 3 ).Вытекающее из определений соотношение(1.1.3)Γ = 1,гдеΓ = 12 + 22 + 32 ,в механике называется геометрическим интегралом. Другими общимиинтегралами являются гамильтониан (полная энергия)1 = I · − c · 2(1.1.4)и циклический интеграл (интеграл площадей)1 = M · .2(1.1.5)Коэффициент 1/2 вводим, следуя С.В. Ковалевской. Скобка Пуассона рассматриваемой механической системы на пространстве {(M, )} можетбыть представлена в виде своих значений на парах координатных функций (см., например, [72]){ , } = ,{ , } = ,{ , } = 0.(1.1.6)Функции Γ и являются функциями Казимира скобки (1.1.6).
Поэтомуна любом фиксированном в 5 уровне интеграла площадейℓ4 = { = ℓ} ⊂ 5(1.1.7)скобка индуцирует симплектическую структуру, а ограничение динамической системы уравнений Эйлера – Пуассона является гамильтоновой системой с двумя степенями свободы. Такой переход отвечает понижению порядка по Раусу в системе с тремя степенями свободы на фазовом пространстве (3). Для полной интегрируемости необходимо22указать еще один общий интеграл, независимый с , почти всюду на 5 . Под независимостью функций в точке понимается линейная независимость их дифференциалов. Независимость двух функций почти всюду иногда называют функциональной независимостью [26].
Случаи, когда можно указать подмногообразия в 5 положительной коразмерности, отличные от ℓ4 , инвариантные для системы (1.1.1), на которых этасистема интегрируется в квадратурах, называются частными случаямиинтегрируемости.Следующие предположения будем называть условиями Ковалевской– Яхья. В качестве подвижной системы отсчета выберем ортонормированный триэдр e1 e2 e3 главных осей тензора инерции. Предположим,что соответствующие главные моменты инерции находятся в отношении 2:2:1, центр масс лежит в экваториальной плоскости c · e3 = 0, агиростатический момент направлен по оси динамической симметрии = e3 .Тогда оставшимся произволом в выборе подвижных осей и введениемподходящих единиц измерения можно добиться того, чтобы былоc = {1, 0, 0},I = diag{2, 2, 1}, > 0,(1.1.8)и уравнения (1.1.1) примут вид2˙ 1 = 2 (3 − ), 2˙ 2 = −1 (3 − ) − 3 , ˙ 3 = 2 ,˙ 1 = 2 3 − 3 2 , ˙ 2 = 3 1 − 1 3 ,(1.1.9)˙ 3 = 1 2 − 2 1 .Эта система обладает дополнительным интегралом Ковалевской – Яхья,обозначаемым далее через .
Таким образом, имеется полный инволютивный набор интегралов11 = 12 + 22 + 32 − 1 , = 1 1 + 2 2 + (3 + )3 ,222222 = (1 − 2 + 1 ) + (21 2 + 2 ) + 2[(3 − )(12 + 22 ) + 21 3 ].(1.1.10)23Здесь следует отметить один важный аспект терминологии, иногдаприводящий к ложному ощущению наличия и исследования более общих задач, чем описанная последними формулами. Поскольку центрмасс лежит в экваториальной плоскости эллипсоида инерции, любой ортонормированный базис в ней является базисом главных осей инерции.Учитывая еще и произвол в выборе единиц измерения, запишем условия (1.1.8) в видеc = {1 , 2 , 0},I = diag{2, 2, }, ∈ R.В современной литературе по отношению к этим условиям появился термин “семейство систем типа Ковалевской – Яхья”. Подчеркнем, что любая такая система “типа” Ковалевской – Яхья полностью эквивалентнарассматриваемой здесь системе с условиями (1.1.8), то есть получена изнее глобальной невырожденной линейной заменой переменных, поэтомуприменение указанного термина нам представляется некорректным.1.1.2.
Точные решенияДо работы [30] были известны три общих случая интегрируемостипри ̸= 0 – обобщение случая Эйлера, данное Н.Е. Жуковским (c = 0),очевидное обобщение случая Лагранжа ( × c = 0) и обобщение случаяГорячева – Чаплыгина, данное Л.Н. Сретенским. Ряд частных случаевинтегрируемости тяжелого гиростата (c ̸= 0) указан в работах П.В. Харламова и Е.И. Харламовой. Как отмечалось выше, два из них оказалисьпринципиально важны для исследования системы (1.1.9). Остановимсяна них подробнее.24Решение П.В. ХарламоваПервое точное решение2 опубликовано в [79]. Предположим, что всистеме (1.1.1), (1.1.2) = 0 + ()e( ̸= const),(1.1.11)где 0 и e постоянны в теле.
Без ограничения общности полагаем |e| = 1и 0 · e = 0. Представление (1.1.11) является наиболее общим для решений, допускающих два линейных по угловым скоростям частных интеграла. Хорошо известно, что все решения системы (1.1.1) определеныдля всех и ограничены (например, в силу компактности любого уровняинтеграла энергии). Отсюда следует, что если функция () удовлетворяет уравнению вида ˙ =∑︁ (1.1.12)=0с постоянными коэффициентами , , то все эти коэффициенты равнынулю.Теорема 1 (П.В.
Харламов [79]). Для любого движения вида (1.1.11) выполнены следующие условия:(1) ось e является главной осью инерции в закрепленной точке;(2) центр масс лежит в плоскости, проходящей через закрепленную точку перпендикулярно e, то естьc · e = 0;(3) полный кинетический момент системы компланарен векторам c, e.2Точным решением обычно называют общий или частный случай интегрируемости при наличииего явного сведения к квадратурам.25Доказательство. Домножим первое векторное уравнение (1.1.1) (уравнение Эйлера) скалярно на постоянный отличный от нуля вектор c.
Получим уравнение вида (1.1.12), в котором = 2 и при этом = c · Ie,2 = c · (Ie × e). Таким образом,c · Ie = 0,c · (Ie × e) = 0.(1.1.13)Запишем геометрическое тождество=1[(c · )c + (c × ) × c].c2(1.1.14)Обозначая через ℎ постоянную интеграла (1.1.4), из (1.1.1), (1.1.4) найдем выражения˙ − (I + ) × ,c × = I1c · = ℎ − I · .2Подставим их в правую часть (1.1.14), после чего соотношение = ℓс интегралом площадей (1.1.5) даст уравнение вида (1.1.12), в котором = 3, = (I + ) · (Ie × c), 3 = 2(c · e)(Ie · Ie) − (c · Ie)(Ie × e). Поэтому, сучетом (1.1.13), имеемc · e = 0,M · (Ie × c) = 0.(1.1.15)При ненулевом c первое из этих равенств вместе с (1.1.13) дает Ie×e = 0,поэтому ось e – главная ось тензора I. Тогда равенства (1.1.15) выражают оставшиеся утверждения теоремы.Отметим, что здесь не вводились требования на постоянный в телевектор 0 .
В частности, при 0 = 0 получаем, что теорема верна для всехмаятниковых движений гиростата в поле силы тяжести.В соответствии с доказанным, введем подвижную систему отсчетатак, что e3 = e и обозначим компоненты постоянных векторов и тензораинерции 0 = e1 + e2 , = 1 e1 + 2 e2 + 3 e3 ,26I = diag{, , }.Пусть M0 – проекция вектора M на плоскость e1 e2 . По теореме 1M0 = c, = const .(1.1.16)Проекция уравнения Эйлера на плоскость e1 e2 примет вид (c − 0 ) + 3 c − 3 0 = 0.Так как по предположению c ̸= 0, ̸= const, отсюда следует, что 0 = c,(1.1.17)( − ) + 3 − 3 = 0.(1.1.18)Из (1.1.16), (1.1.17) получим M0 × 0 = 0, поэтому уравнение Эйлера впроекции на ось e3 имеет вид ˙ + 2 1 − 1 2 = 0.(1.1.19)В то же время, дифференцируя (1.1.18), с учетом (1.1.17) получим( − )˙ + (2 1 − 1 2 ) = 0.(1.1.20)Условие совместности (1.1.19), (1.1.20) дает = 2.(1.1.21)В результате, выбирая произвольно константы, , , 1 , 2 , 3 , , ℎ,получим решение в виде1 = 1 , = 2 ,3 = ,[︂ 2]︂√︀11 21 = 2( + ℎ* )1 − ()2 ,1 + 22 [︂ 2]︂√︀1 212 = 2( + ℎ* )2 + ()1 ,1 + 22 23 = (3 − ),27(1.1.22)где обозначено2ℎ* = (21 + 22 ) − ℎ,2 {︂}︂[︀]︀1 2122222(1 + 2 ) 1 − (3 − ) − ( + ℎ* ) .() =2При этом две компоненты гиростатического момента, согласно (1.1.16),(1.1.21), заданы равенствами1 = (2 − )1 ,2 = (2 − )2 ,(1.1.23)а изменение переменной , выбранной в качестве основной, задается уравнением˙ =√︀().(1.1.24)В связи с произволом выбора единиц измерения, среди пяти физических параметров системы , , , 1 , 2 , 3 существенны лишь три.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
