Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (786043), страница 4

Файл №786043 Диссертация (Топологический анализ неклассических интегрируемых задач динамики твердого тела) 4 страницаДиссертация (786043) страница 42019-03-12СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

В последовавших затем работах [50, 80] даны исчерпывающие доказательства структуры бифуркационного множества и в [80] отмечено, что уравнения критических точек в прообразе второй из поверхностей совпадают с инвариантными соотношениями, описывающими частное решение, найденное и проинтегрированное в [81]. Более аккуратный анализ показывает, что для описания всехкритических движений в прообразе второй бифуркационной поверхности нужно взять совокупность решений, найденных в двух работах [82]и [81].

Таким образом, вся совокупность критических движений волчка Ковалевской – Яхья оказалась открытой и сведенной к квадратурамв [79, 81, 82] без использования неизвестного в то время аналога интеграла Ковалевской.Поскольку бифуркационная диаграмма отображения момента зависит от одного существенного физического параметра (гиростатического момента), и, соответственно, приведенные системы с двумя степенями свободы, полученные в результате понижения порядка, зависят отдвух параметров (гиростатического момента и постоянной площадей),в работах [83, 84] был решен вопрос классификации бифуркационных20диаграмм приведенных систем и построено разделяющее множество вплоскости указанных параметров.

Варианты классификации топологических инвариантов – графов Фоменко (пока еще без полной аналитической классификации) были предложены в работах [51, 85].1.1. Аналитические результаты1.1.1. Уравнения и интегралыУравнения Эйлера – Пуассона движения гиростата в поле силы тяжести в общем случае имеют видṀ = M × + c × ,˙ = × ,(1.1.1)где – угловая скорость, – единичный вектор направления силы тяжести (называемого вертикалью), c – вектор, направленный из неподвижной точки в центр масс, равный по длине произведению веса системы “тело–ротор” на расстояние от до центра масс. Все объекты отнесены к подвижным осям.

Вектор кинетического момента M связан сугловой скоростью зависимостьюM = I + ,(1.1.2)где I, – тензор инерции в точке и вектор гиростатического момента, постоянные в подвижной системе отсчета. Для краткости объекты,не изменяющиеся по отношению к подвижной системе отсчета, будемназывать “постоянными в теле”. Система (1.1.1) получена из механической системы с конфигурационным пространством (3) (гамильтоновой системы с тремя степенями свободы) факторизацией по действиюгруппы вращений вокруг постоянного в инерциальном пространстве направления вертикали, и ее фазовым пространством является пятимерное многообразие 5 = R3 ()× 2 ().21Здесь и далее через R (1 , .

. . , ) обозначаем пространство R с выделенной системой координатных функций 1 , . . . , . Обозначение 2 ()относится к единичной сфере в R3 () = R3 (1 , 2 , 3 ).Вытекающее из определений соотношение(1.1.3)Γ = 1,гдеΓ = 12 + 22 + 32 ,в механике называется геометрическим интегралом. Другими общимиинтегралами являются гамильтониан (полная энергия)1 = I · − c · 2(1.1.4)и циклический интеграл (интеграл площадей)1 = M · .2(1.1.5)Коэффициент 1/2 вводим, следуя С.В. Ковалевской. Скобка Пуассона рассматриваемой механической системы на пространстве {(M, )} можетбыть представлена в виде своих значений на парах координатных функций (см., например, [72]){ , } = ,{ , } = ,{ , } = 0.(1.1.6)Функции Γ и являются функциями Казимира скобки (1.1.6).

Поэтомуна любом фиксированном в 5 уровне интеграла площадейℓ4 = { = ℓ} ⊂ 5(1.1.7)скобка индуцирует симплектическую структуру, а ограничение динамической системы уравнений Эйлера – Пуассона является гамильтоновой системой с двумя степенями свободы. Такой переход отвечает понижению порядка по Раусу в системе с тремя степенями свободы на фазовом пространстве (3). Для полной интегрируемости необходимо22указать еще один общий интеграл, независимый с , почти всюду на 5 . Под независимостью функций в точке понимается линейная независимость их дифференциалов. Независимость двух функций почти всюду иногда называют функциональной независимостью [26].

Случаи, когда можно указать подмногообразия в 5 положительной коразмерности, отличные от ℓ4 , инвариантные для системы (1.1.1), на которых этасистема интегрируется в квадратурах, называются частными случаямиинтегрируемости.Следующие предположения будем называть условиями Ковалевской– Яхья. В качестве подвижной системы отсчета выберем ортонормированный триэдр e1 e2 e3 главных осей тензора инерции. Предположим,что соответствующие главные моменты инерции находятся в отношении 2:2:1, центр масс лежит в экваториальной плоскости c · e3 = 0, агиростатический момент направлен по оси динамической симметрии = e3 .Тогда оставшимся произволом в выборе подвижных осей и введениемподходящих единиц измерения можно добиться того, чтобы былоc = {1, 0, 0},I = diag{2, 2, 1}, > 0,(1.1.8)и уравнения (1.1.1) примут вид2˙ 1 = 2 (3 − ), 2˙ 2 = −1 (3 − ) − 3 , ˙ 3 = 2 ,˙ 1 = 2 3 − 3 2 , ˙ 2 = 3 1 − 1 3 ,(1.1.9)˙ 3 = 1 2 − 2 1 .Эта система обладает дополнительным интегралом Ковалевской – Яхья,обозначаемым далее через .

Таким образом, имеется полный инволютивный набор интегралов11 = 12 + 22 + 32 − 1 , = 1 1 + 2 2 + (3 + )3 ,222222 = (1 − 2 + 1 ) + (21 2 + 2 ) + 2[(3 − )(12 + 22 ) + 21 3 ].(1.1.10)23Здесь следует отметить один важный аспект терминологии, иногдаприводящий к ложному ощущению наличия и исследования более общих задач, чем описанная последними формулами. Поскольку центрмасс лежит в экваториальной плоскости эллипсоида инерции, любой ортонормированный базис в ней является базисом главных осей инерции.Учитывая еще и произвол в выборе единиц измерения, запишем условия (1.1.8) в видеc = {1 , 2 , 0},I = diag{2, 2, }, ∈ R.В современной литературе по отношению к этим условиям появился термин “семейство систем типа Ковалевской – Яхья”. Подчеркнем, что любая такая система “типа” Ковалевской – Яхья полностью эквивалентнарассматриваемой здесь системе с условиями (1.1.8), то есть получена изнее глобальной невырожденной линейной заменой переменных, поэтомуприменение указанного термина нам представляется некорректным.1.1.2.

Точные решенияДо работы [30] были известны три общих случая интегрируемостипри ̸= 0 – обобщение случая Эйлера, данное Н.Е. Жуковским (c = 0),очевидное обобщение случая Лагранжа ( × c = 0) и обобщение случаяГорячева – Чаплыгина, данное Л.Н. Сретенским. Ряд частных случаевинтегрируемости тяжелого гиростата (c ̸= 0) указан в работах П.В. Харламова и Е.И. Харламовой. Как отмечалось выше, два из них оказалисьпринципиально важны для исследования системы (1.1.9). Остановимсяна них подробнее.24Решение П.В. ХарламоваПервое точное решение2 опубликовано в [79]. Предположим, что всистеме (1.1.1), (1.1.2) = 0 + ()e( ̸= const),(1.1.11)где 0 и e постоянны в теле.

Без ограничения общности полагаем |e| = 1и 0 · e = 0. Представление (1.1.11) является наиболее общим для решений, допускающих два линейных по угловым скоростям частных интеграла. Хорошо известно, что все решения системы (1.1.1) определеныдля всех и ограничены (например, в силу компактности любого уровняинтеграла энергии). Отсюда следует, что если функция () удовлетворяет уравнению вида ˙ =∑︁ (1.1.12)=0с постоянными коэффициентами , , то все эти коэффициенты равнынулю.Теорема 1 (П.В.

Харламов [79]). Для любого движения вида (1.1.11) выполнены следующие условия:(1) ось e является главной осью инерции в закрепленной точке;(2) центр масс лежит в плоскости, проходящей через закрепленную точку перпендикулярно e, то естьc · e = 0;(3) полный кинетический момент системы компланарен векторам c, e.2Точным решением обычно называют общий или частный случай интегрируемости при наличииего явного сведения к квадратурам.25Доказательство. Домножим первое векторное уравнение (1.1.1) (уравнение Эйлера) скалярно на постоянный отличный от нуля вектор c.

Получим уравнение вида (1.1.12), в котором = 2 и при этом = c · Ie,2 = c · (Ie × e). Таким образом,c · Ie = 0,c · (Ie × e) = 0.(1.1.13)Запишем геометрическое тождество=1[(c · )c + (c × ) × c].c2(1.1.14)Обозначая через ℎ постоянную интеграла (1.1.4), из (1.1.1), (1.1.4) найдем выражения˙ − (I + ) × ,c × = I1c · = ℎ − I · .2Подставим их в правую часть (1.1.14), после чего соотношение = ℓс интегралом площадей (1.1.5) даст уравнение вида (1.1.12), в котором = 3, = (I + ) · (Ie × c), 3 = 2(c · e)(Ie · Ie) − (c · Ie)(Ie × e). Поэтому, сучетом (1.1.13), имеемc · e = 0,M · (Ie × c) = 0.(1.1.15)При ненулевом c первое из этих равенств вместе с (1.1.13) дает Ie×e = 0,поэтому ось e – главная ось тензора I. Тогда равенства (1.1.15) выражают оставшиеся утверждения теоремы.Отметим, что здесь не вводились требования на постоянный в телевектор 0 .

В частности, при 0 = 0 получаем, что теорема верна для всехмаятниковых движений гиростата в поле силы тяжести.В соответствии с доказанным, введем подвижную систему отсчетатак, что e3 = e и обозначим компоненты постоянных векторов и тензораинерции 0 = e1 + e2 , = 1 e1 + 2 e2 + 3 e3 ,26I = diag{, , }.Пусть M0 – проекция вектора M на плоскость e1 e2 . По теореме 1M0 = c, = const .(1.1.16)Проекция уравнения Эйлера на плоскость e1 e2 примет вид (c − 0 ) + 3 c − 3 0 = 0.Так как по предположению c ̸= 0, ̸= const, отсюда следует, что 0 = c,(1.1.17)( − ) + 3 − 3 = 0.(1.1.18)Из (1.1.16), (1.1.17) получим M0 × 0 = 0, поэтому уравнение Эйлера впроекции на ось e3 имеет вид ˙ + 2 1 − 1 2 = 0.(1.1.19)В то же время, дифференцируя (1.1.18), с учетом (1.1.17) получим( − )˙ + (2 1 − 1 2 ) = 0.(1.1.20)Условие совместности (1.1.19), (1.1.20) дает = 2.(1.1.21)В результате, выбирая произвольно константы, , , 1 , 2 , 3 , , ℎ,получим решение в виде1 = 1 , = 2 ,3 = ,[︂ 2]︂√︀11 21 = 2( + ℎ* )1 − ()2 ,1 + 22 [︂ 2]︂√︀1 212 = 2( + ℎ* )2 + ()1 ,1 + 22 23 = (3 − ),27(1.1.22)где обозначено2ℎ* = (21 + 22 ) − ℎ,2 {︂}︂[︀]︀1 2122222(1 + 2 ) 1 − (3 − ) − ( + ℎ* ) .() =2При этом две компоненты гиростатического момента, согласно (1.1.16),(1.1.21), заданы равенствами1 = (2 − )1 ,2 = (2 − )2 ,(1.1.23)а изменение переменной , выбранной в качестве основной, задается уравнением˙ =√︀().(1.1.24)В связи с произволом выбора единиц измерения, среди пяти физических параметров системы , , , 1 , 2 , 3 существенны лишь три.

Характеристики

Список файлов диссертации

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6358
Авторов
на СтудИзбе
311
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее