Диссертация (786043), страница 6
Текст из файла (страница 6)
В качестве независимых параметров на поверхностях выбраны ℎ, . Поскольку ℎ и ℓ2 при этом связаны линейно,35то можно выразить , ℎ через , ℓ. На Π2 , Π3 проблем не возникает. НаΠ1 возникает искусственная особенность, связанная с возможностью = 0. Геометрически это соответствует линии самопересечения поверхности Π1 , которая в параметрической записи (1.2.7) особенностьюне является.
Однако при рассмотрении бифуркационных диаграмм приведенных систем на ℓ4 важно иметь и выражение через , ℓ, которое запишем в виде{︂}︂ℓ2 2ℓ4 2ℓ2Π1 = ℎ = 2 ++ , = 4 −+ 1, ℓ ̸= 0 ∪2{︂}︂2 2∪ { = 1, ℓ = 0} ∪ = 1 + (ℎ − ) , ℓ = 0 .2(1.2.9)1.2.2. Описание критического множестваМножество критических точек отображения момента впервые описано в работе [75], где приведены и параметрические уравнения особыхповерхностей Π . Более детальное изложение представлено в [50]. Параллельно такие же результаты получены в [80]. Показано, что поверхности Π естественным образом возникают как дискриминантные множества некоторых многочленов.
Уравнения поверхности Π1 также следуют из результатов работы [77], но в ее контексте соответствующие условия на постоянные интегралов не связывались с понятием критическихточек.Множество критических точек отображения момента стратифицировано рангом этого отображения. В силу того, что интеграл всюдурегулярен и расслаивает 5 на гладкие симплектические листы (1.1.7),естественно принять следующую терминологию.Определение 1.
Рангом точки ∈ ℓ4 ⊂ 5 будем называть ранг в этойточке отображения-ограниченияℓ = ×|ℓ4 : ℓ4 → R2 .36(1.2.10)Таким образом, ранг точки на единицу меньше, чем ранг в этой точке отображения (1.2.6). В соответствии с этим имеем = 0 ∪ 1, = { ∈ ℓ4 | rank ℓ () = }.(1.2.11)Определенная выше бифуркационная диаграмма есть -образ множества.Наличие особых поверхностей (1.2.7), (1.2.8) порождает другое разбиение критического множества.Теорема 3 ([50, 75, 80]). Множество критических точек отображениямомента имеет вид = ℳ1 ∪ ℳ2 ∪ ℳ3 ,(1.2.12)где ℳ1 , ℳ2 , ℳ3 заданы уравнениями (1.1.25), (1.1.28).
При этом каждое ℳ есть замыкание соответствующего множества −1 (Π )∩ 1 ( =1, 2, 3).Равенство (1.2.12) следует из аналитического описания множества, полученного в [50, 75] с помощью исследования миноров матрицыЯкоби(, , , Γ).(, )Элегантное доказательство с помощью преобразования уравнений, определяющих интегральное отображение, к симметричной системе комплексных уравнений на R6 (, ) имеется в [80]. Тот факт, что образ каждого из многообразий ℳ содержится в соответствующей поверхностиΠ , проверяется непосредственным вычислением.
При этом на ℳ1 нужно в формулах (1.1.30) положить2− 2 .=ℎ−2(1.2.13)Определение 2. Многообразия ℳ1 , ℳ2 , ℳ3 с индуцированной на них динамикой будем называть, соответственно, первой, второй и третьейкритическими подсистемами случая Ковалевской – Яхья.37Замечание 2. Мы называем множества ℳ многообразиями, имея в виду их инвариантность (“инвариантные многообразия”). В действительности может оказаться, что они являются гладкими многообразиямилишь почти всюду.Представление в виде множества решений систем инвариантныхсоотношений получим как частный случай соответствующего результата работы [88].Теорема 4. Множество критических точек интегрального отображения состоит из следующих подмножеств в 5 :1) множества, определяемого системой1 = 0,2 = 0,(1.2.14)где1 = 2 ,2 = (3 − )1 + 3 ;2) множества, определяемого системой1 = 0,2 = 0,(1.2.15)где[︀(︀)︀]︀ [︀(︀ 2)︀]︀1 = 2 2 + 1 12 + 22 + 11 + 22 3 − 23 (1 1 + 2 2 ) +{︀(︀)︀[︀+ −232 1 12 + 22 − 2 3 2 (33 + 21 3 ) + 1 −332 1 +(︀)︀(︀)︀ ]︀+ 22 2 12 + 22 + 3 −12 + 22 3 +[︀(︀)︀]︀[︀(︀)︀]︀}︀+ 22 3 3 − 1 12 + 22 − 32 + 12 13 + 3 3 + 1 22 + 32+{︀[︀(︀)︀]︀+ −33 − 232 1 3 + 12 − 22 1 + 21 2 2 3 +(︀)︀}︀+1 3 12 + 22 + 32 2 + 1 3 3 3 ,38[︀(︀)︀]︀ [︀(︀ 2)︀]︀2 = 2 1 + 2 12 + 22 − 11 + 22 3 − 23 (1 1 + 2 2 ) +)︀)︀(︀)︀ ]︀(︀)︀(︀{︀ [︀ (︀+ 2 1 −32 + 21 12 + 22 + 3 12 − 22 3 + 22 2 12 + 22 + 32 −)︀]︀}︀(︀)︀(︀[︀+− 2 232 12 + 22 − 1 3 (3 − 21 3 ) + 12 12 + 22 − 32{︀(︀)︀[︀(︀)︀]︀}︀ 2+ 22 2 3 − 12 + 232 2 3 + 2 21 1 3 + 3 12 + 22 + 32++ 2 3 3 3 .В инвариантности систем (1.2.14), (1.2.15) можно убедиться дифференцированием их в силу системы (1.1.9).
Непосредственно проверяется, что точки (1.1.25) удовлетворяют системе (1.2.14), а точки (1.1.28)— системе (1.2.15), что в силу размерностей соответствующих подмножеств вновь доказывает равенство (1.2.12).Из результатов работы [88] следует, как частный случай, что системы (1.2.14), (1.2.15) описывают множество критических точек ограничения на 5 функции с неопределенными множителями Лагранжа22 + ( − 1) + .(1.2.16)Дифференциал этой функции сохраняется фазовым потоком, поэтому и , выраженные через фазовые переменные, становятся частными интегралами критических подсистем ℳ :ℳ1 :ℳ2,3 :ℓ, = 1 + 2ℓ1 ,13 − 2ℓ3=, = 22 .222(1 + 2 + 3 )=−(1.2.17)(1.2.18)Естественно, именно эти значения определяют соответствующие точкиособых поверхностей Π в записи (1.2.7), (1.2.8).
Заметим, что, как видно из (1.2.17), на множестве ℳ1 функцию (1.2.16) можно “сократить”на без потери критических точек. На ℳ2,3 это уже не так, посколькуимеется множество точек глобальной зависимости на 5 функций , ,на котором обращается в нуль, следовательно, неопределенный мно39житель при в нулевой нетривиальной комбинации дифференциаловпропорционален .Отметим, что из результатов [88] следует также, что скобки Пуассона пар функций из соотношений (1.2.14), (1.2.15) имеют вид32 − (ℎ − ),22 √︂02{1 , 2 } = √ (1 − 82 3 ) 22 − 2(ℎ + ) + 1,2 2{1 , 2 } =(1.2.19)(1.2.20)где(︀)︀3 [︀]︀02 = 12 + 22 + 3 (1 1 + 2 2 + 3 )2 + (2 1 − 1 2 )2 .(1.2.21)Обращение в нуль скобок (1.2.19) и (1.2.20) соответствует случаям вырождения симплектической структуры, индуцированной на двумерныхмногообразиях ℳ ∩ℓ4 , являющихся фазовыми пространствами гамильтоновых систем с одной степенью свободы.
Ниже будет ясна связь этого явления с типами критических точек. Забегая вперед, без строгихопределений, можно сказать, что, поскольку невырожденные критические точки организованы в симплектические подмногообразия (см. соответствующее утверждение в [26]), точки вырождения индуцированной симплектической структуры на критическом множестве должныбыть вырождены и как критические точки отображения момента.1.3.
Относительные равновесия – критические точкиранга 01.3.1. Зависимость интегралов энергии и площадейНеподвижные точки уравнений Эйлера – Пуассона — это проекциина 5 движений тела, при которых траектория в (3) совпадает с орбитой группы симметрий, то есть вращений вокруг вертикали с постоянной угловой скоростью. В теории понижения порядка по Раусу такие40неподвижные точки называют относительными равновесиями. В теории С.Смейла [24] эти точки являются критическими точками отображения энергии – момента, что в применении к динамике твердого телаозначает зависимость интегралов энергии и площадей. Бифуркационные диаграммы отображения× : 5 → R2(1.3.1)называют диаграммами Смейла.В свою очередь, на симплектическом листе (1.1.7) критические точки отображения (1.3.1) являются критическими точками “приведенного” гамильтонианаℓ = |ℓ4 : ℓ4 → R.(1.3.2)При необходимости подчеркнуть зависимость от пишем ℓ4 () и ℓ, .Как следует из результатов [52], почти все такие точки невырождены всмысле Морса (ниже мы рассмотрим классификацию этих точек болееподробно).
Но невырожденная критическая точка гамильтониана будеткритической для любого другого первого интеграла. Поэтому рассматриваемое множество совпадает с 0 . Итак, задача исследования критических точек отображения (1.3.1) совпадает с задачей исследования множества критических точек ранга 0 отображения (1.2.6) в смысле определения 1.Здесь и в дальнейшем для нахождения критических точек функций на 5 без введения дополнительного неопределенного множителя,отвечающего ограничению (1.1.3), удобно воспользоваться следующимутверждением.Лемма 1.
Пусть – гладкая функция на R6 (, ). Множество критических точек ограничения на подмногообразие 5 определяется системой уравнений= 0,×41= 0.(1.3.3)В комплексных переменных (1.2.1) эта система имеет вид=== 0,1232− 1= 0, 2− 2= 0,121− 2= 0.21(1.3.4)Доказательство очевидно. Заметим, что три последних уравнениякак в системе (1.3.3), так и в системе (1.3.4), линейно зависимы. Выборнезависимой пары в случае общего положения диктуется соображениями удобства.Запишем уравнения (1.3.3) для функции = − 2. Получим1 = 1 ,2 = 2 ,3 = 3 ,3 − [1 (3 + ) − 23 1 ] = 0,2 − 2(1 2 − 2 1 ) = 0, (1.3.5)[23 2 − 2 (3 + )] = 0.Эта система, имеющая ранг 5, вместе с уравнением (1.1.3), позволяетвыразить фазовые переменные и неопределенный множитель через какую-либо одну переменную, выбранную в качестве независимой. В работе [96] представлена параметризация множества 0 переменной 1 .Предложение 1 (П.Е.
Рябов [96]). Множество критических точек ранга 0 описывается следующей системой уравнений1( − 2 ), 2 = 0, 3 = ( − 2 ),2121 = ,2 = 0, 3 = 1 ,1 =где√︂42 − (1 − 2 ),знаки 1 , 2 произвольны, а параметр удовлетворяет условиям⎧⎨ [−1, 0) ∪ [ , 1], > 0)︁1 (︁√︀ 422∈, = + 64 − .⎩ (−1, 0) ∪ [ , 1), 2 < 08√︀1 = ± 1 − 2 ,2 = ±42(1.3.6)При этом значения первых интегралов таковы(1 − 2 ) − 2 (1 + 32 )ℎ=,2( + 2 )1ℓ = [(3 − 2 ) − (1 + 2 )2 ],1(1.3.7)а неопределенный множитель=1( − 2 ).21Заметим, что система (1.3.5) не имеет решений в 5 с 1 = 0, поэтому особенность = 0 неустранима.Уравнения (1.3.7) – это параметрические уравнения диаграммыСмейла. При исследовании бифуркационных диаграмм отображений(1.2.10) первое уравнение (1.3.7) позволяет решить задачу нахождениявсех критических точек ранга 0, попадающих на заданный уровень ℓ4 .Другую параметризацию множества 0 предложил И.Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
