Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (786043), страница 6

Файл №786043 Диссертация (Топологический анализ неклассических интегрируемых задач динамики твердого тела) 6 страницаДиссертация (786043) страница 62019-03-12СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

В качестве независимых параметров на поверхностях выбраны ℎ, . Поскольку ℎ и ℓ2 при этом связаны линейно,35то можно выразить , ℎ через , ℓ. На Π2 , Π3 проблем не возникает. НаΠ1 возникает искусственная особенность, связанная с возможностью = 0. Геометрически это соответствует линии самопересечения поверхности Π1 , которая в параметрической записи (1.2.7) особенностьюне является.

Однако при рассмотрении бифуркационных диаграмм приведенных систем на ℓ4 важно иметь и выражение через , ℓ, которое запишем в виде{︂}︂ℓ2 2ℓ4 2ℓ2Π1 = ℎ = 2 ++ , = 4 −+ 1, ℓ ̸= 0 ∪2{︂}︂2 2∪ { = 1, ℓ = 0} ∪ = 1 + (ℎ − ) , ℓ = 0 .2(1.2.9)1.2.2. Описание критического множестваМножество критических точек отображения момента впервые описано в работе [75], где приведены и параметрические уравнения особыхповерхностей Π . Более детальное изложение представлено в [50]. Параллельно такие же результаты получены в [80]. Показано, что поверхности Π естественным образом возникают как дискриминантные множества некоторых многочленов.

Уравнения поверхности Π1 также следуют из результатов работы [77], но в ее контексте соответствующие условия на постоянные интегралов не связывались с понятием критическихточек.Множество критических точек отображения момента стратифицировано рангом этого отображения. В силу того, что интеграл всюдурегулярен и расслаивает 5 на гладкие симплектические листы (1.1.7),естественно принять следующую терминологию.Определение 1.

Рангом точки ∈ ℓ4 ⊂ 5 будем называть ранг в этойточке отображения-ограниченияℓ = ×|ℓ4 : ℓ4 → R2 .36(1.2.10)Таким образом, ранг точки на единицу меньше, чем ранг в этой точке отображения (1.2.6). В соответствии с этим имеем = 0 ∪ 1, = { ∈ ℓ4 | rank ℓ () = }.(1.2.11)Определенная выше бифуркационная диаграмма есть -образ множества.Наличие особых поверхностей (1.2.7), (1.2.8) порождает другое разбиение критического множества.Теорема 3 ([50, 75, 80]). Множество критических точек отображениямомента имеет вид = ℳ1 ∪ ℳ2 ∪ ℳ3 ,(1.2.12)где ℳ1 , ℳ2 , ℳ3 заданы уравнениями (1.1.25), (1.1.28).

При этом каждое ℳ есть замыкание соответствующего множества −1 (Π )∩ 1 ( =1, 2, 3).Равенство (1.2.12) следует из аналитического описания множества, полученного в [50, 75] с помощью исследования миноров матрицыЯкоби(, , , Γ).(, )Элегантное доказательство с помощью преобразования уравнений, определяющих интегральное отображение, к симметричной системе комплексных уравнений на R6 (, ) имеется в [80]. Тот факт, что образ каждого из многообразий ℳ содержится в соответствующей поверхностиΠ , проверяется непосредственным вычислением.

При этом на ℳ1 нужно в формулах (1.1.30) положить2− 2 .=ℎ−2(1.2.13)Определение 2. Многообразия ℳ1 , ℳ2 , ℳ3 с индуцированной на них динамикой будем называть, соответственно, первой, второй и третьейкритическими подсистемами случая Ковалевской – Яхья.37Замечание 2. Мы называем множества ℳ многообразиями, имея в виду их инвариантность (“инвариантные многообразия”). В действительности может оказаться, что они являются гладкими многообразиямилишь почти всюду.Представление в виде множества решений систем инвариантныхсоотношений получим как частный случай соответствующего результата работы [88].Теорема 4. Множество критических точек интегрального отображения состоит из следующих подмножеств в 5 :1) множества, определяемого системой1 = 0,2 = 0,(1.2.14)где1 = 2 ,2 = (3 − )1 + 3 ;2) множества, определяемого системой1 = 0,2 = 0,(1.2.15)где[︀(︀)︀]︀ [︀(︀ 2)︀]︀1 = 2 2 + 1 12 + 22 + 11 + 22 3 − 23 (1 1 + 2 2 ) +{︀(︀)︀[︀+ −232 1 12 + 22 − 2 3 2 (33 + 21 3 ) + 1 −332 1 +(︀)︀(︀)︀ ]︀+ 22 2 12 + 22 + 3 −12 + 22 3 +[︀(︀)︀]︀[︀(︀)︀]︀}︀+ 22 3 3 − 1 12 + 22 − 32 + 12 13 + 3 3 + 1 22 + 32+{︀[︀(︀)︀]︀+ −33 − 232 1 3 + 12 − 22 1 + 21 2 2 3 +(︀)︀}︀+1 3 12 + 22 + 32 2 + 1 3 3 3 ,38[︀(︀)︀]︀ [︀(︀ 2)︀]︀2 = 2 1 + 2 12 + 22 − 11 + 22 3 − 23 (1 1 + 2 2 ) +)︀)︀(︀)︀ ]︀(︀)︀(︀{︀ [︀ (︀+ 2 1 −32 + 21 12 + 22 + 3 12 − 22 3 + 22 2 12 + 22 + 32 −)︀]︀}︀(︀)︀(︀[︀+− 2 232 12 + 22 − 1 3 (3 − 21 3 ) + 12 12 + 22 − 32{︀(︀)︀[︀(︀)︀]︀}︀ 2+ 22 2 3 − 12 + 232 2 3 + 2 21 1 3 + 3 12 + 22 + 32++ 2 3 3 3 .В инвариантности систем (1.2.14), (1.2.15) можно убедиться дифференцированием их в силу системы (1.1.9).

Непосредственно проверяется, что точки (1.1.25) удовлетворяют системе (1.2.14), а точки (1.1.28)— системе (1.2.15), что в силу размерностей соответствующих подмножеств вновь доказывает равенство (1.2.12).Из результатов работы [88] следует, как частный случай, что системы (1.2.14), (1.2.15) описывают множество критических точек ограничения на 5 функции с неопределенными множителями Лагранжа22 + ( − 1) + .(1.2.16)Дифференциал этой функции сохраняется фазовым потоком, поэтому и , выраженные через фазовые переменные, становятся частными интегралами критических подсистем ℳ :ℳ1 :ℳ2,3 :ℓ, = 1 + 2ℓ1 ,13 − 2ℓ3=, = 22 .222(1 + 2 + 3 )=−(1.2.17)(1.2.18)Естественно, именно эти значения определяют соответствующие точкиособых поверхностей Π в записи (1.2.7), (1.2.8).

Заметим, что, как видно из (1.2.17), на множестве ℳ1 функцию (1.2.16) можно “сократить”на без потери критических точек. На ℳ2,3 это уже не так, посколькуимеется множество точек глобальной зависимости на 5 функций , ,на котором обращается в нуль, следовательно, неопределенный мно39житель при в нулевой нетривиальной комбинации дифференциаловпропорционален .Отметим, что из результатов [88] следует также, что скобки Пуассона пар функций из соотношений (1.2.14), (1.2.15) имеют вид32 − (ℎ − ),22 √︂02{1 , 2 } = √ (1 − 82 3 ) 22 − 2(ℎ + ) + 1,2 2{1 , 2 } =(1.2.19)(1.2.20)где(︀)︀3 [︀]︀02 = 12 + 22 + 3 (1 1 + 2 2 + 3 )2 + (2 1 − 1 2 )2 .(1.2.21)Обращение в нуль скобок (1.2.19) и (1.2.20) соответствует случаям вырождения симплектической структуры, индуцированной на двумерныхмногообразиях ℳ ∩ℓ4 , являющихся фазовыми пространствами гамильтоновых систем с одной степенью свободы.

Ниже будет ясна связь этого явления с типами критических точек. Забегая вперед, без строгихопределений, можно сказать, что, поскольку невырожденные критические точки организованы в симплектические подмногообразия (см. соответствующее утверждение в [26]), точки вырождения индуцированной симплектической структуры на критическом множестве должныбыть вырождены и как критические точки отображения момента.1.3.

Относительные равновесия – критические точкиранга 01.3.1. Зависимость интегралов энергии и площадейНеподвижные точки уравнений Эйлера – Пуассона — это проекциина 5 движений тела, при которых траектория в (3) совпадает с орбитой группы симметрий, то есть вращений вокруг вертикали с постоянной угловой скоростью. В теории понижения порядка по Раусу такие40неподвижные точки называют относительными равновесиями. В теории С.Смейла [24] эти точки являются критическими точками отображения энергии – момента, что в применении к динамике твердого телаозначает зависимость интегралов энергии и площадей. Бифуркационные диаграммы отображения× : 5 → R2(1.3.1)называют диаграммами Смейла.В свою очередь, на симплектическом листе (1.1.7) критические точки отображения (1.3.1) являются критическими точками “приведенного” гамильтонианаℓ = |ℓ4 : ℓ4 → R.(1.3.2)При необходимости подчеркнуть зависимость от пишем ℓ4 () и ℓ, .Как следует из результатов [52], почти все такие точки невырождены всмысле Морса (ниже мы рассмотрим классификацию этих точек болееподробно).

Но невырожденная критическая точка гамильтониана будеткритической для любого другого первого интеграла. Поэтому рассматриваемое множество совпадает с 0 . Итак, задача исследования критических точек отображения (1.3.1) совпадает с задачей исследования множества критических точек ранга 0 отображения (1.2.6) в смысле определения 1.Здесь и в дальнейшем для нахождения критических точек функций на 5 без введения дополнительного неопределенного множителя,отвечающего ограничению (1.1.3), удобно воспользоваться следующимутверждением.Лемма 1.

Пусть – гладкая функция на R6 (, ). Множество критических точек ограничения на подмногообразие 5 определяется системой уравнений= 0,×41= 0.(1.3.3)В комплексных переменных (1.2.1) эта система имеет вид=== 0,1232− 1= 0, 2− 2= 0,121− 2= 0.21(1.3.4)Доказательство очевидно. Заметим, что три последних уравнениякак в системе (1.3.3), так и в системе (1.3.4), линейно зависимы. Выборнезависимой пары в случае общего положения диктуется соображениями удобства.Запишем уравнения (1.3.3) для функции = − 2. Получим1 = 1 ,2 = 2 ,3 = 3 ,3 − [1 (3 + ) − 23 1 ] = 0,2 − 2(1 2 − 2 1 ) = 0, (1.3.5)[23 2 − 2 (3 + )] = 0.Эта система, имеющая ранг 5, вместе с уравнением (1.1.3), позволяетвыразить фазовые переменные и неопределенный множитель через какую-либо одну переменную, выбранную в качестве независимой. В работе [96] представлена параметризация множества 0 переменной 1 .Предложение 1 (П.Е.

Рябов [96]). Множество критических точек ранга 0 описывается следующей системой уравнений1( − 2 ), 2 = 0, 3 = ( − 2 ),2121 = ,2 = 0, 3 = 1 ,1 =где√︂42 − (1 − 2 ),знаки 1 , 2 произвольны, а параметр удовлетворяет условиям⎧⎨ [−1, 0) ∪ [ , 1], > 0)︁1 (︁√︀ 422∈, = + 64 − .⎩ (−1, 0) ∪ [ , 1), 2 < 08√︀1 = ± 1 − 2 ,2 = ±42(1.3.6)При этом значения первых интегралов таковы(1 − 2 ) − 2 (1 + 32 )ℎ=,2( + 2 )1ℓ = [(3 − 2 ) − (1 + 2 )2 ],1(1.3.7)а неопределенный множитель=1( − 2 ).21Заметим, что система (1.3.5) не имеет решений в 5 с 1 = 0, поэтому особенность = 0 неустранима.Уравнения (1.3.7) – это параметрические уравнения диаграммыСмейла. При исследовании бифуркационных диаграмм отображений(1.2.10) первое уравнение (1.3.7) позволяет решить задачу нахождениявсех критических точек ранга 0, попадающих на заданный уровень ℓ4 .Другую параметризацию множества 0 предложил И.Н.

Характеристики

Список файлов диссертации

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6358
Авторов
на СтудИзбе
311
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее