Диссертация (786043), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Кроме того,матрица ограничения квадратичной формы ℒ на трансверсальную площадку в базисе (1 , 2 ) оказывается диагональной, так что показателиМорса – Ботта имеют вид1 = ℒ1 · 1 ,2 = ℒ2 · 2 .103В данный момент нам важно, что, как показывает анализ проекций интегральных многообразий на плоскость 1 2 , в окрестности систем ℳ2,3так же, как и в случае с системой ℳ1 , критическая поверхность гиперболической окружности никогда не рвется в направлении оси 2 . Вчастности, это означает, что для атомов типа вектор 1 всегда указывает во “внешность восьмерки”. Следовательно, если 1 > 0, то в направлении “головы” атома функция возрастает (“голова” вверх), а если1 < 0, то в направлении “головы” атома функция убывает (“голова”вниз). Из найденных выражений для различных элементов получаем[︀]︀2 222 2 216κ+(1+)1 = ℒ22 25 − 2ℒ25 2 5 + ℒ55 22 = 222 .224 (1 + )Итак, направление ребер у несимметричных атомов определяется знаком величины 2 .
Поскольку в ℳ2 все точки ранга 1 имеют по доказанному эллиптический тип и 2 > 0, получим следующее утверждение.Предложение 13. При возрастании интеграла на изоэнергетическомуровне 3ℓ,ℎ в точках критической подсистемы ℳ2 на любой невырожденной критической окружности происходит бифуркация + рождения тора.В системе ℳ3 ситуация несколько сложнее, так как известно из классической задачи, что здесь возможно присутствие атомов 2 [103]. Длянеособого случая выше доказано, что при наличии двух траекторий наодном и том же уровне интегралов распределение знаков в парах показателей Морса – Ботта одинаково. Рассмотрим особый случай (1.4.29).
Наплоскости (, ℓ) условиям положительности указанных констант отвечает область2 2 (22 − 1) < ℓ2 < (1 − 22 ).2На рис. 1.19 этим условиям удовлетворяют области 1–3. Здесь кривая0 отвечает граничному случаю обращения в ноль старшего коэффици104ента многочлена + , а кривая 2 , обозначающая согласно договоренности во всех пространствах интегральных постоянных образ соответствующего множества критических точек ранга 0, является, конечно, дискриминантным множеством многочлена + . Обозначения Δ0 , Δ3 такжеотвечают введенным ранее. В областях 2 и 3 многочлен + имеет вещественные корни, соответственно, четыре и два.
Лишь в области 1 такихкорней нет, поэтому здесь и реализуется случай (1.4.29). Очевидно, этаобласть имеет пересечение с осью ℓ = 0 при ∈ (0, min{1/2, 1/22 }),(1.4.30)а так как + > 0 на всей прямой, то удобно взять для упрощения вычислений = 0. Тогда векторы, задающие трансверсальную площадку кпериодическому решению, легко находятся(︂)︂√2 )2(1−2√[(1 + )2 − 1], (3 − 22 ) ,1 = −(1 + 22 ), 0, 0, 0,1+2(︂)︂√ (1+2)2 = 0, √, 1, 0, 0, 0 .22(1−2 )Квадратичная форма с матрицей на этой паре векторов записываетсядиагональной матрицей, а собственные числа таковы:1 =4[1 + 2 2 (5 − 22 )]2 ,1 + 212 = (82 3 − 1).Ясно, что 1 > 0.
Обращение в нуль выражения для 2 отвечает множеству Δ3 вырождения точек ранга 1 (вертикальная прямая на рис. 1.19).На промежутке (1.4.30) всегда 2 < 0. Итак, в особом случае показателиМорса – Ботта разного знака (этот факт был очевиден, так как траектории гиперболические) и, по доказанному, распределение знаков одинаково на обеих траекториях этого уровня, а именно, при рассмотренномвыборе базиса это (+, −). Следует констатировать, что вычисление показателей Морса – Ботта не дает возможности различить с помощью локального анализа атомы 2 и 2 .105Получаем следующее утверждение.Предложение 14.
При возрастании интеграла на изоэнергетическомуровне 3ℓ,ℎ в точках критической подсистемы ℳ3 на невырожденныхкритических окружностях имеем следующие бифуркации:1) для эллиптических траекторий (тип “центр”) — рождение тора при 2 > 0 (атом + ), исчезновение тора при 2 < 0 (атом − );2) для одной гиперболической траектории на критическом уровне при 2 > 0 — атом − (“внешнее” ребро вверх и пара “внутренних”ребер вниз), при 2 < 0 — атом + (“внешнее” ребро вниз и пара “внутренних” ребер вверх);3) для двух гиперболических траекторий на критическом уровне — два атома , у которых направление “внешнего” ребра определяетсяпо тому же правилу (обе “головы” вверх при 2 > 0, обе “головы” внизпри 2 < 0), или атом 2 .Пункт 4 предложения 9 — для двух гиперболических траекторийна критическом уровне имеются разные сочетания знаков в парах(1 , 2 ) — в подсистеме ℳ3 невозможен именно в силу того, что знак 1совпадает со знаком 2 , то есть одинаков для всех критических окружностей на одном уровне интегралов.Условия существования движений в подсистемах ℳ2,3 получены в[53, 90] в терминах интегральных констант , ℎ и , ℓ соответственно.
Изуравнений (1.1.28), (1.1.29) следует, что sgn(2 )=sgn( 2 ) иsgn(2 ) = sgn( 2 ). Пусть * = , если вещественно, и * = i , если чисто мнимое. Тогда в плоскости (, * ) кривая Γ0 , заданная уравнением 2 + 2 = 1, необходимость которого вытекает из (1.1.27), представляет собой окружность или гиперболу, а кривая Γ1 , заданная уравнением 2 (, ) = 0, при всех 2 ̸= 0 есть эллипс. Получаем следующее утверждение [90].106Предложение 15. Для существования вещественных решений (1.1.27)при заданных , ℎ, ℓ, связанных уравнениями поверхностей Π2,3 , необходимо и достаточно выполнение следующих условий:1) при < 0 окружность Γ0 и эллипс Γ1 имеют общую точку;2) при > 0 и 2 > 0 окружность Γ0 не лежит целиком строго внутри области, ограниченной эллипсом Γ1 ;3) при > 0 и 2 < 0 гипербола Γ0 и эллипс Γ1 имеют общую точку.Действительно, непосредственно проверяется, что при < 0 точка = 1, = 0 лежит вне эллипса. Движение на Γ0 происходит по такомусегменту, где 2 < 0, то есть внутри эллипса.
Поэтому для наличия сегментов окружности внутри эллипса необходимо и достаточно наличиеточки пересечения Γ0 ∩ Γ1 . При > 0, 2 < 0 в действительном движении 2 < 0, то есть хотя бы одна точка гиперболы лежит внутри эллипса, чтоснова означает Γ0 ∩ Γ1 ̸= ∅. Наконец, при > 0, 2 > 0 на окружностидолжна существовать точка, в которой 2 > 0, то есть точка вне эллипса. Это не выполняется лишь в том случае, когда окружность Γ0 лежитцеликом внутри эллипса Γ1 .Очевидно соответствие этого утверждения и предложения 12. Приэтом количество критических окружностей на фиксированном уровнепервых интегралов равно количеству лежащих внутри эллипса Γ1 сегментов окружности Γ0 при < 0 и сегментов гиперболы Γ0 при > 0,2 < 0.
При > 0 и 2 > 0 количество критических окружностей равноколичеству сегментов окружности вне эллипса, за исключением особого случая (1.4.29). В этом случае вся окружность лежит вне эллипса, тоесть точек пресечения нет, сегмент один, но траекторий две в силу возможности выбора двух знаков перед не обращающимся в нуль радикалом .Напомним обозначение =√︀4 + 2 ( − )2 > 0 и в дополнение107к (1.4.5) положим]︀ − [︀( − ) ∓ ,4]︀√︀1 [︀± () = ( − ) ± ± (),2± () =Как следует из (1.3.11),(1.3.15) функции ± (), ± (), ± () являются выражениями интегралов , , в критических точках ранга 0, принадлежащих подсистемам ℳ2 , ℳ3 .Следующая теорема соответствует предложению 4 работы [53].Теорема 11. (, )-диаграмма критической системы ℳ2 состоит из следующих множеств:1 : = − (), ℓ = ±− (), ∈ [0, );3 : = + (), ℓ = ±+ (), ∈ (, +∞).Внешней границей допустимой области 2 служит связная кривая 1 .Кривая 3 состоит из двух компонент и разбивает 2 на три подобласти.
Точкам подобласти, содержащей значения ℓ = 0, отвечает одна критическая окружность, точкам двух других подобластей, ограниченных кривой 3 , отвечают две критических окружности. Качественных перестроек диаграммы по параметру не происходит, кроме предельного случая = 0.На рис. 1.20 вместе с (, )-диаграммой второй критической подсистемы (для общего случая () > 0 и для предельного случая () = 0)показаны область 1 с одной критической окружностью и две симметричных относительно ℓ = 0 области 2 с двумя критическими окружностями. В области, помеченной звездочкой, Γ0 ∩ Γ1 ̸= ∅, поэтому движений нет. Согласно предложению 7 все точки ранга 1 имеют тип “центр”.Ключевое множество здесь — только критические точки ранга 0.
Какобычно, образы особых точек, порожденных экстремальными значениями первых интегралов на ключевом множестве, для одних и тех же то108чек в прообразе на ℳ1 и ℳ2 обозначены одинаково (здесь это точки и). Свойства соответствующих атомов собраны в табл. 1.4.3.Таблица 1.4.3ОбластьК-воПоказателиВыход на(время жизни)окр-стейМорса–Ботта = 0/ℓ = 0АтомАналоги1 [25, Рис. 6.3]11(+ +)Да/Да(0 6 < +∞)+1 [51, Рис. 2]1 [27, Рис. 11]1 [116, Рис. 1]2(0 6 < +∞)Переход III→VI2(+ +),(+ +)Да/Нет2+[25, Рис.
6.1д]2 [27, Рис. 11]Из полученных результатов по критическим подсистемам ℳ1 , ℳ2вытекает следующее простое описание допустимой области в пространстве R3 (ℓ, ℎ, ) констант общих интегралов – образа фазового пространства 5 под действием отображения момента (1.2.6). Считаем заданным.Теорема 12. Допустимая область = ( 5 ) есть односвязное множество, внешней границей которого служат образы областей 1 , 12 первой критической подсистемы и областей 1 , 2 второй критической подсистемы.Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
