Диссертация (786043), страница 19
Текст из файла (страница 19)
1.4.4. Видим, что Δ31 разделяет 1 и 2 (одна критическаяокружность в прообразе), Δ32 разделяет 8 и 9 (две критических окружности), Δ33 разделяет 6 и 7 (одна критическая окружность), Δ34 разделяет 3 и 5 (две критические окружности).Как и для множеств Δ0 , Δ1 , если в прообразе точки Δ3 имеется лишьодна вырожденная окружность, то соответствующая критическая интегральная поверхность 3 связна. Приведем легко доказываемое утверждение, важное для дальнейшего.Теорема 17. Критическое многообразие 32 состоит из двух связныхкомпонент.Доказательство.
Как видно из рис. 1.28, точки класса Δ32 имеют выход на классическую задачу Ковалевской = 0. Предельный переход вобразеполучимизпараметрическихуравненийΠ3 ,полагая = 1/(22/3 ) → ∞. В результате ℎ = 2ℓ2 , = 0, и точки Δ32 отвечают значениям ℓ > 1. Предельное критическое многообразие известно (см. [25]),а именно, 32 (0) = 2 1 . Поэтому и при малых это многообразие несвязно, а так как критических окружностей в прообразе две, то и компонентсвязности две.Отметим, что точки класса Δ34 имеют выход на случай ℓ = 0, длякоторого в работах [116, 119] были изучены круговые молекулы, но приэтом наличие двух компонент связности в молекулах для этих точекпринималось без доказательства. Ниже мы это докажем, откуда будетследовать, что и критическое многообразие 34 состоит из двух связныхкомпонент.Для точки Δ34 (диаграмма Σ (ℓ, ) для области 2′ ) вопрос о количестве компонент решается на ребре 5 , где имеется два атома .
Это реб146{1+3+5+7}2A[c3]2B [c ]5{1+3}D34Рис. 1.29. Диаграмма и круговая молекула для Δ34 .ро с одной стороны заканчивается точкой 26 – образом невырожденнойкритической точки ранга 0. В то же время, если рассмотреть диаграмму Σ (ℓ, ) для области 3′ , то видно, что ребро 5 также имеет выход к′, образу другой невырожденной критической точки ранга 0, отточке 27куда, как показано ранее, при бифуркации семейств в двух атомах [5 ]тор из семейства {1} перестраивается в два тора из семейств {1}, {5}, атор из семейства {3} перестраивается в два тора из семейств {3}, {7}.
Апоскольку на ребре 3 рождаются торы семейств {5}, {7} и эти торы приходят в разные атомы ребра 5 , то молекула точки Δ34 имеет две связных компоненты. Результат показан на рис. 1.29.1.5. Топология приведенных систем1.5.1. Разделяющее множество и бифуркационные диаграммыВ соответствии с предложением 8 множество Θ в плоскости параметров (, ℓ), классифицирующее бифуркационные диаграммы Σ (ℓ, )приведенных систем на ℓ4 , состоит из пар (, ℓ), где ℓ — критическое значение ограничения функции на одно из ключевых множеств крити147ческих подсистем ℳ ( = 1, 2, 3) при фиксированном . Очевидно, этозначения ℓ в точках (1.4.11), (1.4.16) – (1.4.21), (1.4.23) – (1.4.27).
Какотмечалось ранее, при ℓ ̸= 0 из них только последняя не соответствует вырожденным критическим точкам ранга 0. Напомним, что в силуимеющихся очевидных симметрий по параметрам , ℓ, это множество Θрассматривается в первом квадранте > 0,ℓ > 0,при этом полуоси = 0 и ℓ = 0 включаются в разделяющее множество по умолчанию. Действительно, точки , 1 , 1 , 2 дают значенияℓ = 0, ∈ R, а при = 0 и любом ℓ имеются кратные критические точки ранга 1, отвечающие, например, слиянию подобластей 2 , 6 , 8 с 1 (вподсистеме ℳ3 надо рассмотреть возможность = ∞). Кратные участки,очевидно, возникают и в подсистеме ℳ1 . Полный анализ соответствующих диаграмм для = 0 имеется в [25].Теорема 18 (П.Е. Рябов).
Разделяющее множество Θ при классификации бифуркационных диаграмм Σ (ℓ, ) состоит из координатныхосей { = 0} ∪ {ℓ = 0} и пяти кривых, заданных явными однозначными функциями:1 :2 :3 :4 :5 :√| 2 + 4 − 2| = 1 (ℓ) = √, = (2ℓ2 )1/3 , ℓ > 0;( 2 + 4 −√)1/2|22/3 − 4 + 4/3 |ℓ = ℓ2 () = √ √, > 0;2( 4 + 4/3 − 2/3 )1/21 √︀ℓ = ℓ3 () = √ ( 1 + 4 − 2 )3/2 , > 0;21 √︀ℓ = ℓ4 () = 1/3 1 − 4/3 , 0 < 6 1;21ℓ = ℓ5 () =, > 0.4Подчеркнем снова, что, кроме новой кривой 5 , все остальные отвечают кривым (1.3.35): 1 = 23 ∪ 31 , 2 = 24 , 3 = 22 , 4 = 21 .
Первый148квадрант разбивается на 18 областей, в которых диаграммы Σ (ℓ, ),рассматриваемые как стратифицированное одномерное многообразие,одинаковы. Разделяющее множество и нумерация возникающих областей представлены на рис.
1.30. Всюду ниже слово “область” применяется именно к связной компоненте дополнения к разделяющему множеству на плоскости параметров, а связные компоненты дополнений к диаграммам называются камерами.На рисунках 1.31 – 1.36 диаграмма Σ (ℓ, ) для каждой из 18 областей плоскости (, ℓ) построена в двух представлениях. На первом нанесены обозначения гладких участков и особых точек в соответствии сдиаграммами критических подсистем. На втором – на гладких участках диаграммы указаны атомы бифуркаций, происходящих в системес двумя степенями свободы на ℓ4 .
Стрелки на несимметричных атомахуказывают в сторону возрастания количества связных компонент регулярных интегральных многообразий.Объединяя диаграммы Σ (ℓ, ) в расширенном пространствеΛ(R3 (ℓ, ℎ, )) = R4 (, ℓ, , ℎ)(см. обозначение (1.3.19)), проследим эволюцию камер – открытых областей, на которые Σ (ℓ, ) делит плоскость (, ℎ). Для этого введемрасширенную диаграммуΛ(Σ) =⋃︁{(, ℓ, , ℎ) : (, ℎ) ∈ Σ (ℓ, )}(,ℓ)и назовем расширенной камерой открытую связную компоненту дополнения Λ(Σ) в R4 . Расширенные камеры, отличающиеся лишь знаками, ℓ, не различаем.
Интегральные многообразия, отвечающие двум точкам одной расширенной камеры, естественным образом диффеоморфныи могут быть получены одно из другого гладкой изотопией, возможно,дополненной симметрией, меняющей знаки , ℓ. В дальнейшем огово149рок о знаках , ℓ делать более не будем. Из сказанного вытекает, что двекамеры при заданных , ℓ следует считать одинаковыми, если они получены сечением одной и той же расширенной камеры. В силу этого легко проследить по рисункам, что различных камер имеется всего восемь,причем одна из них, содержащая сколь угодно большие по модулю отрицательные значения ℎ, недопустима, то есть в прообразе ее точек интегральные многообразия пусты.
Таким образом, интересующих нас допустимых камер семь. Они занумерованы на рисунках римскими цифрами I − VII.Суммируя представленную выше информацию, строим 18 устойчивых по параметрам бифуркационных диаграмм Σ (ℓ, ) систем на ℓ4 .Эти диаграммы впервые представлены в работе [96]. При их построении принципиальной становится проблема визуализации малых областей. В связи с этим диаграммы Σ (ℓ, ) на рисунках сильно искажены,причем мы не стремились здесь сохранить структуру уровней ℎ = const,по которым, в принципе, впоследствии можно было бы увидеть грубыйизоэнергетический инвариант Фоменко.
Здесь главное – видеть все дугидиаграмм, которые отвечают областям на плоскостях диаграмм критических подсистем, а также все узловые точки.150Рис. 1.30. Разделяющее множество и области параметров.151Рис. 1.31. Диаграммы Σ (ℓ, ) для областей 1 – 3.152Рис. 1.32. Диаграммы Σ (ℓ, ) для областей 4 – 6.153Рис. 1.33. Диаграммы Σ (ℓ, ) для областей 7 – 9.154Рис. 1.34. Диаграммы Σ (ℓ, ) для областей 1′ – 3′ .155Рис. 1.35. Диаграммы Σ (ℓ, ) для областей 4′ – 6′ .156Рис. 1.36. Диаграммы Σ (ℓ, ) для областей 7′ – 9′ .1571.5.2.
Топологический анализПервый вопрос топологического анализа – сколько торов Лиувилля содержит в себе интегральное многообразие в прообразе регулярнойточки? Не зная точно топологический тип критического интегрального многообразия с гиперболическими особенностями, ответить на этотвопрос в одной отдельно взятой системе на ℓ4 достаточно сложно. В системе с двумя степенями свободы характер бифуркации, происходящейпри пересечении критических точек ранга 1, однозначно определен типом точки лишь в случае эллиптических особенностей – атомов . В данной задаче доказательно исследованы лишь два частных случая = 0[25, 103, 104] и ℓ = 0 [51, 96]. В общем случае утверждение [85, 115]о встречающемся в этой задаче количестве торов в составе регулярныхмногообразий основано на численном исследовании их проекций на плоскость первых двух компонент угловой скорости (аналог областей Жуковского).
Рассматривая, однако, всю картину в четырехмерном пространстве интегральных параметров R4 (, ℓ, , ℎ) (расширенном пространстве), получим ответ сразу же, не прибегая ни к каким дополнительным исследованиям. Действительно, отбросим все гиперболические атомы, считая их точный вид пока неизвестным. Для расширенной камерыгладкое ребро диаграммы Σ (ℓ, ) с фиксированным обозначением порождает (трехмерную) стенку. Для выбранной камеры атом на ребреили стенке назовем входом, если его стрелка направлена внутрь камеры (то есть тор Лиувилля рождается при входе в камеру) и выходом – впротивоположном случае.
Рассмотрим три сечения в расширенном пространстве, отвечающие областям 1, 2 и 2′ (рис. 1.37). Самая нижняя (относительно направления оси ℎ) точка диаграммы отвечает одной невырожденной критической точке ранга 0 типа “центр-центр” – самому нижнему относительному равновесию при заданных (, ℓ), поэтому, как от158мечено выше, в незанумерованной камере ниже диаграммы движенийнет. Следовательно, в камере I имеем ровно один тор (на стенках 1 , 1 поодному входу). Из диаграммы для области 1 видно, что из камеры I имеется ровно по одному входу в камеры II и III (соответственно через стенки 6 и 4 ).
Аналогично, из диаграммы для области 1′ видно, что из камеры I имеется ровно по одному входу и в камеры IV и V (соответственно через стенки 4 и 1 ). Следовательно, в камерах II − V каждой точкеотвечают два тора Лиувилля. Диаграмма для области 2 демонстрируетровно два входа из камеры II в камеру VI (стенка 8 ), а диаграмма дляобласти 2′ дает ровно два входа из камеры III в камеру VII (стенка 3 ).Следовательно, в камерах VI − VII имеем четыре тора Лиувилля. Следующая теорема уточняет результаты работ [85, 97, 115], в которых ошибочно утверждается наличие шести, а не семи различных камер.
В частности, при малых отличных от нуля значениях констатируется наличие лишь пяти камер, хотя, как видно уже из диаграмм для областей1, 2 на рис. 1.31, для сколь угодно малых камера III области 1 меняетсяна камеру VI области 2. Это означает, что в пространстве R3 (ℓ, ℎ, ) присколь угодно малых фиксированных диаграмма полного отображениямомента делит это пространство не на пять, а на шесть связных компонент с непустыми интегральными многообразиями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
