Диссертация (786043), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Ковалевской на движение гиростата в двойном силовом поле.Полная интегрируемость этой системы доказана в работах [30, 34, 35]путем последовательного обобщения классических интегралов. В настоящей главе эта система рассматривается при отсутствии гиростатического момента. Этот случай принято называть волчком Ковалевской в187двойном поле. Предложено полное исследование трехмерной топологиисистемы, частично анонсированное в [56]. Предполагаются известными определения и факты, связанные с особенностями отображения момента и бифуркациями в случае многих степеней свободы [26, 125, 126,147].Структура настоящей главы основана на идее топологического атласа неприводимой системы с тремя степенями свободы, зависящей отнекоторого набора физических параметров [112, 148].
В этом случае грубый изоэнергетический инвариант уже не является одномерным графом,а может быть представлен в виде так называемой оснащенной изоэнергетической диаграммы – бифуркационной диаграммы ограничения отображения момента на уровень энергии, стратифицированной рангом отображения и типами критических точек в прообразе. Более того, необходимо в понятие оснащенной диаграммы включить и ее оболочку, то естьдополнить ее двумерными камерами, на которые она разбивает плоскость пары дополнительных интегралов, с указанием количества регулярных торов в камерах и способа объединения этих торов в так называемые семейства.
Для этого необходима полная классификация изоэнергетических диаграмм и анализ их эволюции в зависимости от параметров системы.На первом этапе выполняется стратификация фазового пространства критическими подсистемами, образованными множеством критических точек в прообразах гладких поверхностей, несущих бифуркационную диаграмму Σ полного отображения момента в трехмерном пространстве. Критические подсистемы имеют не более двух степеней свободы, и к ним применим весь накопленный опыт топологического анализа. В частности, вычисляются бифуркационные диаграммы критических подсистем, типы точек ранга 0 и 1, критических внутри подсистем, и соответствующие атомы двумерных бифуркаций.
В то же вре188мя, уравнения фазовых пространств критических подсистем позволяютявно вычислить внешний тип любой точки критической подсистемы, вчастности, всех точек ранга 2. Комбинируя эту информацию, получаемполную классификацию критических точек по их типам в исходной системе с тремя степенями свободы.Пусть – вектор физических параметров, – гамильтониан системы. В нерезонансной системе при отсутствии экзотических бифуркаций(с так называемыми расщепляющимися атомами) сечения бифуркационной диаграммы Σ плоскостями постоянного значения = ℎ перестраиваются в тех случаях, когда выполняется одно из следующих условий:(а) на изоэнергетическое многообразие ℎ = { = ℎ} попадают точкиранга 0 и вырожденные точки ранга 1; (б) гамильтониан имеет экстремум на семействе вырожденных критических точек ранга 2. При заданном векторе параметров этим условиям удовлетворяет лишь конечноечисло точек. Записывая в них зависимости ℎ = ℎ(), получаем набор поверхностей в пространстве параметров (, ℎ), разделяющих различныенеэквивалентные параметрически устойчивые изоэнергетические диаграммы.
Таким образом, для получения топологического атласа необходимо построить совокупность разделяющих поверхностей и для каждой области дополнения к разделяющему множеству в пространстве (, ℎ)указать соответствующую оснащенную изоэнергетическую диаграмму.Дальнейшее сопоставление этих диаграмм позволяет завершить и задачу описания строения семейств регулярных торов.1892.1. Уравнения и интегралы.
Понятие критическойподсистемыЗадача о движении волчка Ковалевской в двойном поле описывается системой уравнений [34]2 ˙ 1 = 2 3 + 3 ,˙ 1 = 2 3 − 3 2 , ˙ 1 = 2 3 − 2 3 ,2 ˙ 2 = −1 3 − 3 , ˙ 2 = 1 3 − 3 1 , ˙ 2 = 1 3 − 3 1 ,˙ 3 = 2 − 1 ,(2.1.1)˙ 3 = 1 2 − 2 1 , ˙ 3 = 1 2 − 2 1 .Здесь – вектор мгновенной угловой скорости. Постоянные в инерциальном пространстве векторы , характеризуют действие силовых полей. Обозначения выберем так, чтобы выполнялось неравенство|| > ||.
Как показано в [149], без ограничения общности силовые поляможно считать взаимно ортогональными. Тогда геометрические интегралы системы (2.1.1) запишутся в виде ( > > 0)||2 = 2 ,||2 = 2 , · = 0.(2.1.2)Перенесем на пространство R9 (, , ) введенную в работе [34] скобку Ли – Пуассона коалгебры Ли (3, 2)* = {(M, , )}, используя компоненты кинетического момента 1 = 21 , 2 = 22 , 3 = 3 . Система(2.1.1) примет вид ˙ = {, }, где – любая из координат, а1 = (212 + 222 + 32 ) − 1 − 2 .2(2.1.3)Функциями Казимира для скобки Ли – Пуассона являются левые частиуравнений (2.1.2).
Поэтому векторное поле (2.1.1), ограниченное на заданное этими уравнениями шестимерное подмногообразие 6 вR9 (, , ), является гамильтоновой системой с тремя степенями свободы.При = 0 система (2.1.1) описывает случай С.В. Ковалевской движения твердого тела в поле силы тяжести, а при = — cлучай190Х.М. Яхья [30]. Эти предельные задачи обладают группой симметрий иредуцируются к семействам интегрируемых систем с двумя степенямисвободы (конфигурационное пространство – сфера). Классический случай Ковалевской изучен в [27, 103, 104]. Случай Яхья и его обобщениярассматривались в [150, 151].
Глобальный подход к классификации интегрируемых систем на двумерной сфере, порожденных задачами динамики твердого тела с осесимметричным потенциалом, реализован в работах [152–154]. Далее рассматривается случай > > 0, не приводимый к двум степеням свободы.Найденные в [34] и [35] первые интегралы системы (2.1.1) = (12 − 22 + 1 − 2 )2 + (21 2 + 2 + 1 )2 ,[︀]︀2 [︀]︀2 = 1 1 + 2 2 + 21 3 3 + 1 1 + 2 2 + 12 3 3 +[︀]︀+ 3 (2 3 − 3 2 )1 + (3 1 − 1 3 )2 + 21 (1 2 − 2 1 )3 −(2.1.4)− 1 2 − 2 2вместе с образуют на 6 полный инволютивный набор.
Соответствующее отображение момента(︀)︀ℱ() = (), (), () .ℱ:6→R3 определим, полагаяПусть – множество критических точек отображения момента, тоесть точек, в которых rank ℱ() < 3. Множество критических значенийΣ = ℱ() ⊂ R3 называется бифуркационной диаграммой. Множество стратифицировано рангом отображения момента = 0 ∪ 1 ∪ 2 .Здесь = { ∈ 6 | rank ℱ() = }. В соответствии с этим и диаграммаΣ становится клеточным комплексом Σ = Σ0 ∪ Σ1 ∪ Σ2 . С другой стороны, на практике бифуркационные диаграммы описываются в терминахнекоторых поверхностей в пространстве констант первых интегралов.Уравнения этих поверхностей (неявные или параметрические) зачастуюможно получить даже не вычисляя самих критических точек как дискриминантные множества некоторых многочленов (например, исходя191из особенностей алгебраических кривых, ассоциированных с представлениями Лакса).
Такие поверхности будем обозначать через Π и запи⋃︀сывать представление Σ = Σ , где Σ = Σ ∩ Π . Смысл этого представления в том, что критическое множество оказывается объединениеместественнымобразомвозникающихинвариантныхмножествℳ ⊂ ∩ ℱ −1 (Π ). Если поверхность Π записана регулярным уравнением (, , ℎ) = 0,(2.1.5)то ℳ определится как множество критических точек интеграла (, , ), лежащих на его нулевом уровне, а вычисленные в точке ℳкомпоненты градиента функции в подстановке значений интегралов, , дадут коэффициенты равной нулю линейной комбинации дифференциалов , , . В точке трансверсального пересечения двух поверхностей Π и Π получим две независимые равные нулю комбинации,поэтому в точках соответствующего пересечения ℳ ∩ℳ ранг ℱ равен 1.Очевидно, что точки трансверсального пересечения трех поверхностей(углы бифуркационной диаграммы) оказываются порожденными точками с условием rank ℱ = 0.
Множества ℳ с индуцированной на нихдинамикой далее называем критическими подсистемами.Критические подсистемы и уравнения поверхностей Π в рассматриваемой задаче найдены в работах [34, 87, 155]. Подробное описаниестратификации критического множества по рангу отображения момента изложено в [156]. Там же в виде явных неравенств для постояннойэнергии указаны области существования движений на поверхностях Π– множества Σ , составляющие бифуркационную диаграмму. Как следствие этих неравенств построено множество в пространстве параметров,разделяющее различные виды сечений диаграммы Σ плоскостями постоянной энергии, то есть виды бифуркационных диаграмм отображе-192ния×,ограниченногонаизоэнергетическиеповерхности{ = ℎ} ⊂ 6 .
Критические подсистемы оказываются интегрируемыми почти всюду гамильтоновыми системами с числом степеней свободы меньшим трех. Для них, в свою очередь, определено индуцированноеотображение момента. Бифуркационная диаграмма Σ* для отображенияℱ|ℳ очевидным образом отождествляется с подмножеством объединения нульмерного и одномерного остовов множества Σ . Здесь стратификацию Σ естественно вводить геометрически, исходя из существующихпересечений вида Σ ∩ Σ .
При этом в одномерный остов Σ1 могут попастьи точки касания двух поверхностей, в прообразе которых ранг ℱ|ℳ непадает, и которые, следовательно, формально не входят в Σ* . Конечно,соответствующие точки множества окажутся вырожденными критическими точками для ℱ, но подсистема ℳ может этого не почувствовать. Описание диаграмм Σ* и бифуркаций внутри критических подсистем получено в работах [157–160]. Классификация точек множества по отношению ко всей исходной системе с тремя степенями свободына 6 выполнена в работе [57]. В двух следующих разделах приводитсякраткое изложение необходимых сведений из цитированных работ.2.2. Описание критических подсистем и классовособенностейВ этом разделе излагается сводка результатов, относящихся к нахождению критического множества отображения момента и классификации критических точек по их рангу.Для компактного описания критических подсистем воспользуемся193заменой переменных [155]:1 = (1 − 2 ) + i (2 + 1 ), 2 = (1 − 2 ) − i (2 + 1 ),1 = (1 + 2 ) + i (2 − 1 ), 2 = (1 + 2 ) − i (2 − 1 ),2 = 3 − i 3 ,1 = 3 + i 3 , 1 = 1 + i 2 , 2 = 1 − i 2 , 3 = 3 .Введем следующие функции1 = 12 + 1 ,2 = 22 + 2 ,(2 1 1 + 1 2 2 )21√,2 = 1 − 2 ,1 = 1 2 3 −√1 2122 1 + 1 2 + 3 1 1 2 + 2 1 + 3 21 =−,12[︁ 2 22 11 222 = (2 1 + 1 2 )3 +++ 1 2 (1 + 2 )+12]︁22 1 1 12 2 222+1 2 + 2 1 3 +++12+ 1 2 2 + 2 1 1 + (1 2 − 2 1 )(1 − 2 ).Определим параметры > > 0, полагая 2 = 2 +2 и 2 = 2 −2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
