Диссертация (786043), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Далее они используются наравне с , там, где это удобно для сокращениязаписи.Теорема 22 ([87]). Критическое множество отображения ℱ состоит изчетырех критических подсистем ℳ ( = 1, . . . , 4), заданных в 6 следующими системами уравнений:ℳ1 :1 = 0,2 = 0,ℳ2 :1 = 0,2 = 0,ℳ3 :1 = 0,2 = 0,ℳ4 :1 = 0,2 = 0,1 = 0,2 = 0.ℱ-образы множеств ℳ , обозначаемые соответственно через Π , впространстве R3 (ℎ, , ) постоянных интегралов , , записывают-194ся следующими системами уравнений⎧⎧⎨ = 0,⎨ = 4 2 ,Π1 :Π2 :⎩ = 1 2 ℎ − 1 2 ;⎩ = 1 (2 ℎ − 4 );242⎧⎧2 2⎪⎨ = ( ∓ )2 ,⎨ = 32 − 4ℎ + 2 + ℎ2 −,2Π4 :Π3 :2 2⎪⎩ = ±ℎ.32⎩ = − + ℎ +;(2.2.1)Здесь через , , обозначены постоянные частных интегралов , , в соответствующих подсистемах ℳ1 , ℳ2 , ℳ3 : = 1 2 3 + 2 1 + 1 2 ,1 21 = 2 ( 1 + 2 ),2 121 (︀ 2 1 + 1 2 + 1 3 2 1 + 1 2 + 2 3 )︀.+=−412(2.2.2)Сделаем ряд комментариев.Очевидно, системы уравнений (инвариантных соотношений), описывающие множества ℳ2 и ℳ3 , имеют особенности.
Здесь имеется в виду, что рассматривается замыкание в 6 множества решений соответствующей системы в ее области определения.Подсистема ℳ1 и интеграл найдены в работе [34], подсистема ℳ2и интеграл – в работе [155]. Подсистемы ℳ3 и ℳ4 , завершающие описание критического множества, а также интеграл , являющийся аналогом переменной Ковалевской, сохраняющей постоянное значение накритических движениях 4-го класса Аппельрота, найдены в [87].
Множество ℳ4 , заданное четырьмя уравнениями, является гладким двумерным многообразием. С точностью до диффеоморфизма это – объединение двух цилиндров 1 ×R. Индуцированная система гамильтонова с одной степенью свободы.Множества ℳ1 и ℳ2 являются гладкими четырехмерными многообразиями, однако ℳ2 неориентируемо (см. [110, 157]). С использование явных параметрических уравнений множества ℳ3 , полученных в195[161] (они приведены и в [57]), можно показать, что ℳ3 – гладкое четырехмерное многообразие всюду за исключением общих точек с ℳ4 ,в которых ℳ3 имеет трансверсальное самопересечение по двумерномуподмногообразию с краем ℳ3 ∩ ℳ4 .В силу представления (2.2.1) области существования критическихдвижений Σ и бифуркационные диаграммы критических подсистем Σ*удобно описывать в терминах частных отображений момента.
Для первых трех подсистем это отображения ℱ : ℳ → R2 , определенные какℱ1 = 2 ×,ℱ2 = ×,ℱ3 = ×.Для подсистемы ℳ4 с одной степенью свободы естественно положитьℱ4 = : ℳ4 → R.Для дальнейшего нам понадобятся обозначения различных классовкритических точек и их образов под действием отображений момента.Ранг точек всегда указывается по отношению к полному отображениюмомента ℱ.Замечание 9. Далее действует соглашение, по которому образы однойи той же критической точки или определенного семейства критических точек обозначаются одинаково, независимо от того, какое из введенных выше отображений момента применяется.
Это не приведет кнедоразумению. Единственное исключение составляют точки самопересечения поверхности Π3 , которые при развертке на плоскость (, ℎ)получают два представления с различными значениями . Точки наплоскости (, ℎ), которые переходят в одну и ту же точку (ℎ, , ) будем снабжать верхним индексом “плюс” или “минус” соответственнодля большего и для меньшего значений .Нам удобно сразу же выделить классы движений в подсистемахℳ ( = 1, 2, 3), отвечающие подмножествам, на которых вырождается196форма, индуцированная симплектической структурой.
Известно [162],что на подмногообразиях, заданных как совместный уровень двух независимых функций, такое вырождение происходит там, где скобка Пуассона этих функций обращается в нуль. В точках подсистем ℳ выполнены тождества [157, 158, 161]{1 , 2 } ≡ −2i ,{1 , 2 } ≡ −2i 2 ,{1 , 2 } ≡8i,где , определены в (2.2.2), а и – интегралы подсистем ℳ2 и ℳ3соответственно и имеют вид= √1[1 2 + 1 2 + 1 2 ],1 2Таким образом, 1 = ℳ1 ∩ { = 2 4 − 2 3 + 2 2 .(2.2.3)= 0}, 2 = ℳ2 ∩ { = 0} и3 = ℳ3 ∩ { = 0}. Почти все точки этих подмножеств имеют ранг 2,но при этом, как показано в [57], все они, включая и точки конечногочисла попадающих сюда периодических решений, состоящих из точекранга 1, являются вырожденными критическими точками отображениямомента ℱ.По определению ⊂ ℳ , но вдобавок 1 ⊂ ℳ2 и 2 ⊂ ℳ3 , причем ограничение симплектической структуры на ℳ2 не вырождаетсяв точках 1 , а ограничение симплектической структуры на ℳ3 не вырождается в точках 2 . Обозначим образы множеств 1 , 2 , 3 под действием полного отображения момента ℱ и частных отображений ℱ через Δ1 , Δ2 , Δ3 соответственно.Классифицируем критические точки по их рангу и принадлежности к критическим подсистемам.Критических точек ранга 0 в рассматриваемой системе ровно четыре [163].
В них, очевидно, 1 = ±, 2 = ±, остальные компоненты и , как и вектор , равны нулю. В порядке возрастания значений обозначим эти точки через 0 , 1 , 2 , 3 . Ни одна из них не лежит в ℳ1 и197все они лежат в ℳ2 ∩ ℳ3 ∩ ℳ4 . Индекс = 0, . . .
, 3 равен индексу Морсафункции в этих точках [163]. Образы точек под действием отображений момента обозначим через . Их координаты легко вычисляются из (2.1.3), (2.1.4). Для дальнейшего нам важны лишь ℎ-координаты,равные ∓ ∓ .Все критические точки ранга 1 организованы в девять семейств периодических решений, обозначаемых ( = 1, 2, 3) и ℒ ( = 1, . . . , 6).Семейства 1 , 2 , 3 впервые описаны в [157] как множества критических траекторий пары интегралов , на ℳ1 . Явные алгебраическиевыражения фазовых переменных через одну вспомогательную, связанную с временем эллиптической квадратурой, приведены в работе [164],где, в частности, доказано, что объединение этих семейств совпадает спересечением подсистем ℳ1 и ℳ3 . Там же даны параметрические выражения для значений первых интегралов (общих и частных) на этих семействах, в которых в качестве параметра используется постоянная интеграла .
Обозначая одномерные образы семейств через ( = 1, 2, 3),получим уравнения⎧1 √︀ 2⎪⎪ℎ=2−( − 2 )(2 − 2 )⎪⎪⎪⎨√︀√︀2 √︀ 2222222 =−( − )( − )( − + 2 − 2 )21 :;⎪⎪⎪√︀⎪⎪⎩ = 1 (4 − 2 (2 − 2 )(2 − 2 ) + 2 2 ), ∈ [−, 0)⎧1 √︀ 2⎪⎪ℎ=2+( − 2 )(2 − 2 )⎪⎪⎪⎨√︀√︀2 √︀ 22 =( − 2 )(2 − 2 )( 2 − 2 − 2 − 2 )22 :;⎪⎪⎪√︀⎪⎪⎩ = 1 (4 + 2 (2 − 2 )(2 − 2 ) + 2 2 ), ∈ (0, ]⎧1 √︀ 2⎪⎪( − 2 )(2 − 2 )ℎ=2−⎪⎪⎪⎨√︀√︀2 √︀ 22 =( − 2 )(2 − 2 )( 2 − 2 − 2 − 2 )23 :.⎪⎪⎪√︀⎪⎪⎩ = 1 (4 − 2 (2 − 2 )(2 − 2 ) + 2 2 ), ∈ [, +∞)198(2.2.4)При этом следует учесть, что ⊂ ℳ1 , поэтому здесь = 0.Точки (2.2.4) с граничными значениями (соответственно, = −, , ) обозначим через ( = 1, 2, 3).
На плоскости R2 ( 2 , ℎ) кривые имеют концевые точки на оси 2 = 0, кривая 3 имеет точку возврата,обозначаемую далее через 4 и отвечающую значению 0 – единственному корню уравнения38 − 42 6 + 62 2 4 − 4 4 = 0(2.2.5)на полупрямой > . На плоскости R2 (, ℎ) все три кривые не имеютособых точек (кроме концевых), а значению 0 отвечает минимум ℎ на3 .Семейства ℒ представляют собой маятниковые движения (колебания или вращения) около главных осей инерции тела и в фазовом пространстве имеют вид:ℒ1,2 = { ≡ ±m1 , = (m2 cos − m3 sin ), = · m1 , 2·· = − sin },ℒ3,4 = { = (m1 cos + m3 sin ), ≡ ±m2 , = · m2 , 2·· = − sin },ℒ5,6 = { = (m1 cos − m2 sin ), = ±(m1 sin + m2 cos ), = · m3 ,·· = −( ± ) sin }.Здесь m1 m2 m3 – канонический базис в R3 . Семейству с первым номеромсоответствует верхний знак.
Бифуркациям в семействах отвечают значения ℎ в неподвижных точках ( = 0, . . . , 3), а именно, ℎ = ∓ ∓ .Считаем, что многообразия ℒ включают и такие особые траектории, тоесть в действительности являются замыканиями семейств периодических траекторий. Непосредственно проверяется, что бифуркации внутри семейств (возникновение колебательных движений и перестройка колебательных движений во вращательные) происходят в соответствии соследующей принадлежностью: 0 ∈ ℒ1 ∩ ℒ3 ∩ ℒ5 , 1 ∈ ℒ1 ∩ ℒ4 ∩ ℒ6 ,2 ∈ ℒ2 ∩ ℒ3 ∩ ℒ6 , 3 ∈ ℒ2 ∩ ℒ4 ∩ ℒ5 .
В частности, наименьшие значения на ℒ таковы: − − на ℒ1 , ℒ3 и ℒ5 ; − на ℒ2 ; − + на ℒ4 и ℒ6 .199Как уже отмечалось, все точки траекторий, попадающих на множества точек вырождения форм, индуцированных симплектической структурой на многообразиях критических подсистем, независимо от рангаявляются вырожденными критическими точками отображения момента ℱ. Формальное доказательство имеется в [57]. Среди точек ранга 0таких нет. Перечислим вырожденные периодические траектории.Пусть = ∩ 1 . Известно [157], что 1 , 2 состоят из одной траектории, а 3 из двух. Эти пересечения имеют своими образами введенныевыше точки ( = 1, 2, 3), так что = Δ1 ∩ . В образе отображения ℱ2они лежат на оси = 0. Эти же траектории являются пересечениями ∩ ℳ2 и, в совокупности, исчерпывают пересечение 1 с ℳ3 .
С множеством 2 семейства не пересекаются. Пересечение с 3 имеется лишьу 3 по паре траекторий 4 , отвечающих введенному выше значению 0 –корню уравнения (2.2.5).Пересечения с ℒ таковы:∙ 1 пересекается с ℒ3 , ℒ4 , ℒ2 по уже указанным траекториям 1 , 2 , 3и не имеет других пересечений с ℒ ;∙ 2 пересекается с ℒ4 по паре вращательных траекторий 5 сℎ =2 +322 ,с ℒ2 по паре вращательных траекторий 6 с ℎ =32 +22ине имеет других пересечений с ℒ ;∙ траектории 5 , 6 служат также пересечениями 3 с ℒ4 и ℒ2 соответственно, и в дополнение 3 пересекается с ℒ5 по одной колебатель√ной траектории 7 (ℎ = −2 ) и паре вращательных траекторий 8√(ℎ = 2 ).Для понимания общей картины расположения семейств ℒ относительно критических подсистем полезны также следующие факты.200Предложение 17. 1.
Подсистема ℳ1 не пересекается с семействамиℒ1 , ℒ5 , ℒ6 и содержит траектории 1 , 2 , 3 семейств ℒ3 , ℒ4 , ℒ2 . Эти траектории лежат и в 1 , являясь его пересечениями с семействами1 , 2 , 3 .2. Семейства ℒ1 , . . . , ℒ4 целиком лежат в пересечении ℳ2 ∩ ℳ3 .3.
Семейство ℒ5 пересекается с подсистемой ℳ2 по бифуркационным траекториям уровней ℎ = ±( + ), траектории семейства ℒ5 ле√√жат в ℳ3 для всех значений ℎ ∈/ (−2 , 2 ). Граничным значениямотвечают траектории 7 , 8 .4. Семейство ℒ6 пересекается с подсистемой ℳ2 по бифуркационным траекториям уровней ℎ = ±( − ) и целиком лежит в ℳ3 .5. Подсистема ℳ4 есть объединение семейств ℒ5 и ℒ6 , при этомчасть ℳ4 , не принадлежащая другим подсистемам, состоит из траек√√торий ℒ5 со значениями ℎ ∈ (−2 , 2 ).Образы семейств ℒ под действием отображений момента обозначимчерез ( = 1, . . . , 6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
