44-45 (537079)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

X(t,t₀) этой системы был ограничен при t>t₀; для асимптоти­ческой устойчивости — чтобы этот матриацант удовлетворял условию

, а для неустойчивости — чтобы этот матриацант был неограниченным.

Поскольку матриацант X(t,t₀) не зависит от начального значе­ния x(t₀), решения линейной системы все одновременно или устой­чивы, или неустойчивы. Исходя из этого линейную систему (2.3.3) на­зывают обычно устойчивой, асимптотически устойчивой или неустой­чивой в зависимости от того, являются ли ее решения устойчивыми, асимптотически устойчивыми или неустойчивыми.

Если в системе уравнений (2.3.3) матрица A (t) =A не зависит от t, т.е. постоянная, то условия устойчивости ее решений определяются собственными числами матрицы А.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 2.3.2. Решения линейной однородной системы диффе­ренциальных уравнений с постоянными коэффициентами тогда и только тогда являются:

• устойчивыми, когда действительные части собственных чисел
  матрицы системы неположительные, причем числам с нулевой дейст-­
  вительной частью соответствуют одномерные клетки Жордана в жор-
  дановой форме матрицы, т.е. таким числам соответствуют простые
  элементарные делители;

• асимптотически устойчивыми, когда действительные части
  собственных чисел матрицы системы отрицательны;

• неустойчивыми, когда хотя бы одному собственному числу с
  нулевой действительной частью соответствует неодномерная клетка
  Жордана (такому числу соответствует непростой элементарный дели­-
  тель) либо когда среди собственных чисел матрицы системы имеется
  хотя бы одно число с положительной действительной частью.

Условия, при которых действительные части собственных чисел матрицы А отрицательны, т.е. при которых решения линейной системы дифференциальных уравнений асимптотически устойчивые, выражает следующая теорема.

Теорема 2.3.3 (Теорема Рауса—Гурвица). Действительные части всех корней уравнения

отрицательны тогда и только тогда, когда положительны все главные диагональные миноры матрицы Гурвица

.

т .е. когда

Критерий устойчивости по первому приближению. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

(2.3.4)

в которой А — постоянная матрица, f(t,x) — непрерывная по t и х (t  t₀, //x||  h) функция, удовлетворяющая условию

( 2.3.5)

р авномерно по t  t₀. Система уравнений с постоянными коэффициен­тами

называется системой первого приближения для системы (2.3.4).

Теорема 2.3.4. Если действительные части всех собственных чи­сел матрицы А отрицательны, а функция f (х,t) удовлетворяет равен­ству (2.3.5), то нулевое решение системы уравнений (2.3.4) асимптоти­чески устойчиво. Если же среди собственных чисел матрицы имеется хотя бы одно число с положительной действительной частью, а функ­ция f(t,x) удовлетворяет условию (2.3.5), то нулевое решение урав­нения (2.3.4) неустойчиво.

Если же среди собственных чисел матрицы А имеется хотя бы од­но число с нулевой действительной частью, а остальные — с отрица-

44

45

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов книги