40-41 (537077)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

разд. 2.2.3. Следовательно, для ее решения применим метод Ньютона (см. разд. 2.2.3).

Отметим еще, что в случае линейной краевой задачи (2.2.31) при

у словии, что р , q  С² [ 0 , l ] , метод Галеркина с указанными кусоч­но-линейными базисными функциями дает погрешность ,

где v (x) — точное решение задачи (2.2.31),

вида  = О (h²). В случае нелинейной краевой задачи (2.2.38) вопрос о погрешности  сложнее. Тем не менее, если функции а(х) и g(x, v) достаточно «хорошие», то при тех же кусочно-линейных базисных функциях  = О ( h ) .

М етод Ритца (вариационный метод) по существу является ча­стным случаем метода Галеркина. Он применим к потенциальным краевым задачам. К таким задачам относятся задачи вида

(2.2.41)

или задачи вида

(2.2.42)

Для применимости метода Ритца к задаче (2.2.41) достаточно ус­ловий pC¹[0,l], p(x)>0 при всех х [0,1], q(x) С[0,1], q(х) 0 при всех х  [0,l], fС⁰[0,l]. Для задачи (2.2.42) ограни­чимся случаем g(x ,v)  g(v) . Тогда метод Ритца применим, если а  С¹[0,l], а(х)>0 при всех х  [0,l],g С ¹ (R) и g — неубыва­ющая функция на R .

Основная идея метода Ритца состоит в том, что решение соответ­ствующей краевой задачи совпадает с функцией, на которой достигает минимума потенциал данной задачи. В случае задачи (2.2.41) потен­циал является функционалом

. (2.2.43)

Потенциал задачи (2.2.42) совпадает с функционалом

(2.2.44)

где G ( ) — какая-либо первообразная функция g ( ) . Оба функцио­нала E₁(v) и E₂(v) определены на множестве дифференцируемых функций, обращающихся в нуль в точках х = 0 и х = l .

Д ля приближенного нахождения минимума функционала Е₁(v) или Е₂( v) выбирают набор базисных функций ₁(х ), ₂(х) , . . . (таких же, как и в методе Галеркина; здесь ₀(х)0) и приближен­ную точку минимума и(х) ищут в виде

Т огда E₁(u) = F₁(c), E₂(u) = F₂(c), где F₁(с) и F₂(c) , с = (с₁,...,с_N) — функции от N вещественных переменных с₁,...,с_N.
В методе Ритца вектор с ищется из условия, .

При сделанных выше предположениях эти минимумы существуют, единственны и совпадают с решениями систем алгебраических урав­нений

grad f₁ (с) = 0 или grad F₂ (c)=0

В свою очередь последние две системы уравнений, как оказывает­ся, совпадают с системами уравнений (2.2.36), (2.2.37) и (2.2.39), (2.2.40) соответственно.

Замечание об оценке погрешности приближенного решения в ме­тоде Галеркина, очевидно, относится к той же оценке и в методе Рит­ца.

Отметим еще, что вычисление интегралов в формулах (2.2.37), (2.2.40), (2.2.43) (2.2,44) делают методы Галеркина и Ритца более тру­доемкими, чем метод конечных разностей. Однако, если использовать стандартные программы на ЭВМ численного интегрирования или сис­темы символьных вычислений, указанная трудность будет относитель­но небольшой.

Пример 5. Решить приближенно методом Ритца краевую задачу

40

41

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов книги