12-13 (537063)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

называется жесткой на отрезке изменения независимой перемен­ной [а,b], принадлежащем интервалу существования ее решений, ес­ли при любом векторе начальных значений (y₀,t₀)Г и на любом отрезке [t₀,t₀+T]  [а,b] найдутся такие числа , L, N, удовлет­воряющие неравенствам

<<b-a и (2.1.5)

где (f/y) — максимальный модуль собственных чисел матрицы Якоби (спектральный радиус), ||  ||— принятая норма матрицы, что справедливы неравенства

Если начальные условия таковы, что пограничный слой явно при­сутствует, то величина N дает представление о том, во сколько раз уменьшились производные после его прохождения.

Авторы считают, что важным моментом введенного определения является неразрывная связь понятия жесткости системы (2.1.4) с вели­чиной промежутка наблюдения решения [а,b], заложенная в нера­венстве (2.1.5). Если жесткую на [а,b] систему рассматривать лишь на промежутке [а,с][а,b], включающем только пограничный слой =с-а, то на [а,c] ее нельзя считать жесткой, так как ника­кого различия в характере поведения решения не наблюдается.

Рассмотрим сингулярно-возмущенные уравнения.

Уравнения, содержащие малый параметр при старшей производ­ной, называются сингулярно-возмущенными. Они образуют класс же­стких систем, на котором удобно проводить теоретические исследова­ния с целью определения возможностей численных методов, предназ­наченных для интегрирования жестких систем уравнений. Это возмож­но благодаря достижениям в асимптотической теории, теории разно­стных схем и простоты анализа качественного поведения траектории задачи.

Изучим простейшее сингулярно-возмущенное уравнение вида [1]:

Рассмотрим случай, когда вырожденное уравнение, соответствую­щее уравнению (2.1.6)

f (x,t) = 0 ,

имеет единственное решение x = x(t) и в окрестности этого решения величина (f/y) отрицательна. Последнее условие является доста­точным для устойчивости решения х =х(t) .

Характер поведения решения уравнения (2.1.6) следующий. Для достаточно малого  касательные к интегральным кривым даже при небольшом отклонении от функции х (t) почти параллельны оси у. И чем меньше величина , тем быстрее осуществляется сближение ин­тегральной кривой и решения х (t) вырожденного уравнения.

Эта ситуация может быть описана следующим образом. У любой интегральной кривой из рассматриваемой области выделяются два участка с существенно различным поведением решения, причем продолжительность первого участка значительно меньше второго. Первый участок с быстрым изменением искомой функции отражает стремление интегральной кривой к графику функции х (t) и называ­ется пограничным слоем. На втором участке производные решения значительно меньше, а интегральная кривая практически совпадает с графиком х (t). Пограничный слой всегда будет иметь место, кроме случая, когда начальное условие является корнем вырожденного урав­нения, т.е. y₀=x(t₀). Различный характер поведения решения на обо­их участках проявляется тем отчетливее, чем меньше величина пара­метра .

Таким образом, вне пограничного слоя для описания решения дифференциального уравнения (2.1.6) может быть использовано ре­шение вырожденного уравнения. То, что даже при небольшом откло­нении начальных условий от графика функции х (t) в любой его точке производная решения dy/dt резко возрастает по сравнению с произ­водной dx/dt и определяет сложность численной реализации задач рассматриваемого типа.

Численное решение задачи (2.1.1), (2.1.2) находим при помощи методов Рунге—Кутты. Известно [2], что эти методы относятся к классу одношаговых. Для того чтобы определить решение y=y_{m + 1} на (m+1)-м шаге, т.е. при t = t_m+1, достаточно знать решение у =у_m, найденное на предыдущем шаге, т.е. при t=t_m.

С огласно методу Эйлера, решение задачи (2.1.1), (2.1.2) на (т+1)-м шаге будет определяться по формуле

(2.1.6)

(2.1.7)

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов книги