Н.С. Голубева, В.Н. Митрохин - Основы радиоэлектроники сверхвысоких частот - 2008 (1261905), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Напряженность электрического поля на поверхности внутреннего проводника равна 10 В/м. Определите амплитудные значения плотности поверхност4ного тока на внутреннем и внешнем проводниках.6. РЕЗОНАТОРЫ6.1. Объемные резонаторыСистемы, в которых в результате внешнего воздействия возбуждаются свободные колебания, называются колебательными системами. Свободные колебания существуют в изолированной системе и после прекращения внешнего воздействия.
Характер свободных колебаний определяется только параметрамисистемы, необходимая энергия доставляется извне в начальный момент возбуждения колебаний.На высоких частотах свойствами колебательных систем обладают объемныерезонаторы. Объемные резонаторы представляют собой часть диэлектрическойсреды, ограниченной металлической поверхностьюры--металлические резонатоили помещенной в менее плотную (в электромагнитном смысле) среду-диэлектрические резонаторы. В обоих случаях на внутренней поверхности резонатора выполняются условия полного отражения.Электромагнитные колебания существуют в любом объеме, ограниченномметаллической поверхностью, если размеры его достаточно велики по сравнению с длиной волны колебаний.
Однако на практике широкое применение нашли резонаторы простой геометрической формы: прямоугольный и цилиндрический резонаторы.Для того чтобы свободные колебания в объемном резонаторе не затухали,необходимо выполнение следующих условий: металлические стенки должныобладать бесконечной проводимостью, чтобы токи в этих стенках не вызывалипотерь; среда, заполняющая объем резонатора, не должна обладать потерями.Практически потери в стенках и особенно в среде малы, и структура электромагнитного поля в реальных условиях мало отличается от структуры идеализированных колебаний в отсутствие потерь.Прямоугольный объемный резонатор . Пересечем прямоугольный волновод, изображенный на рис.5.12, двумя идеально проводящими плоскостями, па= О и х3 =/).Определение структуры поля свораллельными плоскости х1 0х2 (х3дится к интегрированию в декартовой системе координат волнового уравнениядля любой проекции вектора Е или Н и нахождению других составляющих поля2726.из уравнений МаксвеллаРезонаторыПостоянные интегрирования находятся из удов(2.8).летворения граничных условий на всех стенках резонатора .Поле Нтпр характеризуется наличием составляющих магнитного поля повсем трем осям координат, но одна из составляющих электрического поля отсутствует.Очевидно, что Н тз= Нтз (х, , х2 , х3 ),так как граничные условия должнывыполняться на всех стенках резонатора, ограничивающих его объем по осямХ1, Х2 И Х3.Представим Й тз в виде произведения трех функций, каждая из которых зависит от одной переменной:Йтз = Х 1 (х 1 )Х 2 (х 2 )Х 3 (х3 ) = Х 1 Х 2 Х 3 ,подставив ее в волновое уравнение(2.11)2и разделив на Х 1 Х 2 Х 3 , получим22_1_ d X 1 +-1- d X 2 +-1- d X 3 =-k2Х 1 dxfгде k=~ 'Х 2 dx;Х 3 dxf'т.
е. от координат х 1 , х 2 и х3 не зависит. Это равенство возможно, если каждое слагаемое представляет собой постоянную величину, т. е.21 d X1- -- 2Х1Здесь Xf + Х~ + Х~=22-dx1=Х2+ Х~1 d X2- -2- =Х2 dx2-х1;22-х2;1 d Хз- -- 2- =Хзdхз2-хз-=k2•Полученные уравнения представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, решения которых имеют видХ 1 (х1 ) =Acosx 14 + Bsinx1x1;Х 2 (х2 )= Ccosx 2x2 + Dsinx2x 2;Х 3 (х 3 )=Е cosx 3 x 3+ F sinx 3x 3 .Таким образом,Йтз = (Acosx1x1 + Bsinx1x, )(С COSX2X2 + Dsinx2x2)(E СОSХзХз + F sinхзхз)Согласно граничным условиям:1)Нтз= Ht "# Опри х 12)3)Нтз=HtНтз= Н п = О при х 3 = О и х3 = l.#О при Х2=О и х1=а;=0 и Х2 = Ь;Первое условие возможнопри А#О,В=О и Х,тп=-аВторое условие возможно.6.1.Объемные резонаторы* О,D=О ипри Е = О,F* О и Хз = ~1t.при СХ2273пп=- .ьТретье условие возможноТаким образом,(6.1)где Н= ACF.Уравнения МаксвеллаrotHm = j<OCaEm;rotEm =-jroµ)Imпри Е3=Ов проекциях на оси координат имеют виддЙтз дЙт2.
Е.- - - - - = Jffif-a ml;дх2дхздЙmlд_Х3дЙ т3 _ . Е ,- Jffif-a т2,дXJ(6.2)дЙтz- - дЙт1- - --о·,дх1дх2дЕт2-д-Х3дЕт~-дХ3.·= 1roµaHm1;.·= -1roµaHm2;(6.3)дЕт2 дЕт1.н·- - - - = - Jffiµaт3·дх1дх2Согласно первым двум уравнениям системыЙml(6.3)= _ _j_ дЕт2 ;дхзroµaЙт2 = _j_ дЕтl.roµaдхзПодставляя второе уравнение системы(6.2),учитывая, чтод-22дхз= -х 23 ,получаем(6.4)(6.4)в первое уравнение системы6.274Резонаторы..дН т3J2 .д Ет1_дх2 - roµa дх; -·ЕJ(J)f,a т\,илиили.
2•JX Е.roµaт. е., У'Штывая(6.1),_ дНтз,п)дхz-'получаемЕ. ml = Jroµa2 Х2н··COSX1X1 SШХ2Х2 SШХзХ3.(6.5)хПодставляя первое уравнение системы(6.4)во второе уравнение системы(6.2), находимили. 21Хз Е.--roµa.1112 - J(J)f,aЕ.m2.дНтз=-д-,~илит. е., учитывая(6.1),получаем(6.6)Согласно(6.4)-(6.6)Таким образом, поле Нтпр имеет вид275Объемные резонаторы6.1.Йтз = Н cosx1x1 cosx2x2 sinxзxз;Х1Хз н ..н. ml = --2srn Х1Х1 cosx2x2 соsхзхз,х·Нт2Х2Хз--2-Н cosx1x1х=Е.
ml =..srnx2x2 соsхзхз,(6.7)jropµax2 Н..cosx1x1 srn Х2Х2 srn хзхз;2хЕ. т2 =jropµaX,2Н..srn х,х, cosx2x2 srn ХзХ3.хЗдесьтпХ1пп2Х~+х~=х ; x +x~=kгдеroP -2резонансная частота;тор; т, пир-целые числа(mрпХ2 =ь; Хз=--;-;2;=--;1(6.8)k=roP'1faµa,(6.9)fa,µа -параметры среды, заполнявшей резонаип= О, 1, 2, ... ; р = 1, 2, 3, ... ).
Одновременно ти п нулю равняться не могут.Поле Етпр в прямоугольном резонаторе можно найти аналогично полю Нтприлирассматриваяформулами(5.31)полеврезонаторекаксуперпозициюволн,определяемыхраспространяющихся в противоположных направлениях (сучетом коэффициента отражения от металлической стенки для различных составляющих поля). В результате получимЕтз= Esinx1x1 sinx2x2 соsхзхз;Е. ml = -Х1Хз-2-Е..COSX1X1 SШХ2Х2 SШХ3Х3;хХ2Хз Е ..Е.
т2 = ---2sшх1х1 cosx2x2 sшхзхз;(6.10)хНт2где Х1тп= ~;Х2пп==-----;;;Хзpn=-1-;222Х =х, +х2; т, п = 1, 2, 3, ... ; Р= О, 1, 2, ...2766.Х3LА; ;;~;f:1, ~-:~-t~~_,,_,=Р ✓ 1Х1Из выраженийл21и(6.10)=Р ✓ 12а26.1. Структура полей в(6.7)Х2ва2 +/2Рис.i_ввХ2АлХ3А- - - " 3 . - - -...Х1Резонаторы1+ ь2прямоугольном резонатореследует, что фаза полей не меняется в пространстве (стоячая волна).
На стенках резонатора касательные составляющиеэлектрическогонулю,поляа нормальныеи нормальныесоставляющиесоставляющие электрическогомагнитногополяравныполя и касательные составляющие магнитного поля достигают максимума. Этим и объясняется, чтовеличины Х1, Х2, Хз принимают значения, лишь определяемые выражениями(6.8),так как на соответствующих длинах а, Ь иlдолжно укладываться целоечисло полуволн. Структура полей в объемном прямоугольном резонаторе6.1.Величина k = rop.JEaµ a согласно (6.9) и (6.8) может иметь только опредепредставлена на рис .ленные, образующие бесконечный ряд, значения, называемые собственнымиволновыми числами резонатора.
Соответствующие им выражения Е- и И-полейобъемного резонатора(6.7) и (6.10) называются собственными функциями.Учитьmая, чтополучаем резонансные частоты прямоугольного резонатораОбъемные резонаторы6.1.277образующие бесконечный дискретный спектр. Этим частотам соответствуютрезонансные длины волнТаким образом, резонансные длины волн зависят от геометрических размеров резонатора и целых чисел т, пир, определяющих тип колебания. Наименьшая длина волнъ1 имеет место для одной из комбинаций значений тпр:или110.011, 101При этом значение, равное нулю, соответствует наименьшему ребрупрямоугольного резонатора.Резонансные длины волн полей Етпр и Нтпр в прямоугольном резонаторе, определяемых одной и той же комбинацией чисел т, п и р, равны.
Соответствиеразных полей одной и той же длине волны называется вырождением.Круглый цилиндрический резонатор. В случае круглого цилиндрическогорезонатора структура поля находится решением волнового уравненияуравнений Максвелла(2.11)ив цилиндрической системе координат. Составляю(2.8)щие поля имеют следующий вид:.соsпа}.cosx zz;H mz=Hlп(Xr).Hmr=--HJп(xr).Xzsшпа,Х-соsпа} ..SШX zZ;sшпаnxzх rНта. ---2-Hlп(xr)._ jnropµaЕтr-хЕта. =гдеXz = p1t;l2rр.SШXzZ,(6.11)соsпаHJп(Xr)jro µ ах-sinna} .-sin па}соsпа,cos па}HJп(Xr) .sшпа.COSXzZ,COSXzZ,р = 1, 2, 3, ...
; Х = Впт; В11т - корни уравнениядиус резонатора;аl-длина резонатора;J~(x) =О;а-ра-2786.РезонаторыЕ,,тр-ПОЛесоsпа}.Emz = EJ п (xr) .smnaCOSX zZ;.Xz,соsпа} .Emr =- - Elп(Xr) .smx zz;smnaх.Ета.Нт,·-nx z- - - 2-Eln(Xr)Х r_ }nffipEa-Х2r-sinna} .lп(xr)-sin па}= рп; р = О,l}ffipEaрадиус резонатора;1, 2, 3, ... ;l-.COSXzZ,соsпаCOS па},smnaхXz(6.12)соs паНта =- -- Jп (xr) .где.SШXzZ,COSXzZ,Х = А,,т; А11т - корни уравнения 1 (х) = О; а 11адлина резонатора.Из полученных выражений(6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
