Н.С. Голубева, В.Н. Митрохин - Основы радиоэлектроники сверхвысоких частот - 2008 (1261905), страница 45
Текст из файла (страница 45)
е. одной итой же частоте соответствует множество поперечных типов, отличающихся значением q и углом распространения0. Пусть плоские волны распространяются0 в плоскости х1 0х3 (см. рис. 6.3). Фиксируя частоту основного типаколебания fq (0 = О), найдем соответствующий этой частоте первый поперечныйпод угломтип колебания. Очевидно, что число полуволн для этого типа колебаний должноотличаться на единицу и он будет распространяться под фиксированным углом0 = 0,, т.е.или согласно(6.23)q-1cos01 = - qАналогично для т-го поперечного типа, распространяющегося под углом0mк оси резонатора, имееми в соответствии с выражением(6.23)_q-mcos0m - - - .qПри т<< q,что соответствует поперечным колебаниям, имеющим место врезонаторах с зеркалами коне'filых размеров, получим0cos 0 "" 1- ~ "" 1- тm2q(6.24)откудаили согласно(6.20)0т= ✓т~(m«q).Аналогичное соотношение получим, рассматривая распространение плоскихволн под углом0n в плоскости Х2Охз:011При т, п«=Н (п «q).q углы 0m и 0 11 принимают дискретные значения, угловое расстояние между соседними поперечными типами6.2.Открытые резонаторы285лет =Й- ·(.Jт+1-✓т);-(леп = и- .Jп + 1-✓п)и структура поля на зеркалах неоднородна, имеются периодические вариащm: поля.Расстояние по частоте между соседними продольными типами основного ипоперечных колебаний одинаково, и согласно(6.22)и(6.23)с учетом(6.24)получаемДля малых значений т и п значения углов От и011 малыи поле поперечныхтипов можно считать имеющим структуру поперечной электромагнитной волны(Т-волны), характеризующуюся определенным числом полуволнq,укладъmающихся на длине резонатора, и числами т и п , определяющими направление распространения волн в резонаторе .
Соответствующий тип колебаний определяетсякак Ттпq·Открытый резонатор с параллельными плоскими зеркалами конечных размеров можно рассматривать как волновод, образованный параллельными плоскостями, в котором распространяется волна при частоте, лишь немного большейкритической. Такая волна, подходя к краям волновода, не излучается, а с коэффициентом отражения, близким по модулю к едиюще, отражается обратно.ПолепассивногорезонатораопределяетсяоднороднымиуравнениямиГельмгольцали+ k 2 H = о.В декартовой системе координат скалярные волновые уравнения для составляющих поля имеют тот же вид:(6.25)где под функцией и подразумевается любая составляющая Е 1 , Е2 ,iIIили Й 2 •Составляющие поля находят из решения этого уравнения и выполнения граничных условий.Однако ввиду дифракции невозможно точно решить волновое уравнение иот уравнения(6.25)переходят к параболическому уравнению, представляющемусобой уравнение второго порядка, в котором отсутствует по крайней мере однаиз вторых производных.Решение волнового уравнения• _·(6.25) приближенно записывают в видеU-Um(х 1 ,х 2 ,х3)е- j kx3,(6.26)6.286Резонаторыпри этом поле в резонаторе можно представить как суперпозицию двух волн видабегущих в противоположные стороны.
В выражении(6.26),множителяе-ит (х,, х 2 , х3 )1Ъ:3быстроизменяетсявнаправлении(6.26)оси х3 ,азначениезначениемедленно изменяется в поперечном направлении (поперечнаядиффузия поля) и еще медленнеев продольном. Функция ит(х 1 ,х 2 , х 3 ) ха-рактеризует отличие поля в резонаторе от плоской волны: неоднородность поляв поперечном направлении, изменение сечения луча при распространении, кривизну фазового фронта. Подставляячленд2и-----!f- ,дхзв(6.26)(6.25)и опуская вследствие малостиполучаем параболическое уравнение·д2 ·д 2 и"'и"'-2- + - 2- дх 1Возможное решениедх2(6.27)дх 3(6.27) для основного колебания имеет вид• и"' -е22где r = х1 + х; -д·2 ]"k -ит- -- О .-j(p+!'-,2)2q(6.28),расстояние от оси; р = р(х 3 ) -комплексный параметр, характеризующий изменение амплитуды и фазы поля при распространении вдольоси х3 ; q= q(x3 )-комплексный параметр, характеризующий распределениеинтенсивности по координатеи кривизну волнового фронта, который вблизиrоси х3 является сферическим.
Параметр q можно определить из выражения11.л,- = - -1 - 2qR1twПри подстановке(6.29)в(6.29).(6.28) очевидно, что R = R(x3 )волнового фронта в точке пересечения с осью х3 , а-радиус кривизныw = w(x3 )определяетуменьшение амплитуды поля Е с увеличением расстояния от оси х3 • Распределение поля в поперечной плоскости подчиняется закону Гаусса (рис.ниеЕтw6.4)и значе-определяется расстоянием , на котором амплитуда поля в е раз меньше, чем на оси. Параметробычно называют радиусом пучка, а2w -wдиаметром пучка .Подставляя (6.28) в (6.27) и приравнивая членыr в одинаковой степени, получаемоРис.6.4.rПоперечное рас-пределениеамплитудыполя основного типа колебанияdqdхз= 1·'dpjdхзqс(6.30)(6.31)6.2.
Открытые резонаторыИнтегрируя уравнение(6.30),получаем соотношениеq2= ql + ЛХ:J,связывающее комплексные параметрысечениям287q,(6.32)соответствующие любым поперечным1 и 2, отстоящим друг от друга на расстоянииЛ.х:,.Распределение интенсивности в любой поперечной плоскости является гауссовым и изменяется вдоль оси х3 • Гауссов пучок стягивается к минимальномудиаметру 2w0 в сечении, где фазовый фронт плоский (Rгласно(6.29) параметр q0,=00 ,«горловива»). Сосоответствующий этому сечению, равен-qo -2. 1tWo(6.33)lт·Если х3 отсчитывать от этой плоскости, то на расстоянии х3 в соответствии с(6.32)и(6.33)(6.34)Согласно(6.29)и(6.34)11_1twJХ3+Jтл.,.=--12R1twили2.
1tWoХ3 - ]т - 1х. Л,2 (1tw2 )2 - R - 1 1tw2.+ __о3Л,Приравнивая действительные и мнимые члены правой и левой частей этогоуравнения,получаемR(хз) = Х3 [! +(:: п(6.35)=wJ[1+(~1 П(6.36)w'(x3 )где расстояние х3 отсчитывается от «горловины».На рис.6.5показано расширение пучка, определяемое уравнением(6.36).Образующая пучка представляет собой гиперболу с асимптотами, наклоненными к оси под углом0=~1tWo2886.Резонаторы11,/-- Фазовыйфронт/Рис.6.5. Продольное распределениеполя основного колебанияЭтот угол равен дифракционному в дальней зоне для волны основного типа.Параметр р, определяющий решениеставив в него(6.28), найдем из уравнения (6.31), под(6.34):jх3·(nwg) ·+1 - лПроинтегрировав это уравнение, получимJР(Хз) =ln[1- 7twoл.;] =1nJн( 7twoл; )2J-Jarctg(л; )·7twoДействительная часть рRe р = <р = arctg ЛХз(6.37)7tW2оопределяет разность фаз между гауссовым пучком и идеальной плоской волной.Мнимая часть р с учетом(6.36) равнаlmp=lnJl+( 7twoлx~ )2(6.38)=ln~,woи посколькуе- ln~•vo= Wowто(6.38)определяет амплитудный множительw0 /w,характеризующий уменьшение амплитуды на оси вследствие расширения пучка.С учетом полученных соотношенийрешение(6.26)(6.37), (6.38), (6.29)и выражения(6.28)для основного колебания с гауссовым распределением поля впоперечном сечении имеет вид6.2.Открытые резонаторы289(6.39)Другие возможные решения волнового уравнения(6.25)определяют поперечные типы колебаний, при конечных размерах зеркал характеризуемые несколькими вариациями поля в поперечном направлении.Собственные типы колебаний открытого резонатора, часто называемые модами, характеризуются определенным распределением амплитуд и фаз по поверхности зеркала.
Запаздывание фазы у краев зеркала по сравнению с центромсоответствует долям длины волны. В то же время по любому поперечному размерупрямоугольногозеркалаилидиаметрукруглогозеркалаукладываетсямножество длин волн. Отсюда следует, что кривизна фронта в резонаторе мала иколебания в резонаторе являются поперечными. Такие типы колебаний обычнообозначаются как Tmnq, где индексы «т» и «п» называются поперечными (т, п1, 2, ...),а индекс«q» -=О,продольным, или аксиальным. Поперечные индексы определяют число изменений знака поля на поверхности прямоугольного зеркала внаправлении координат х 1 и х2, для круглого зеркала индекс «т» обозначает число изменений знака вдоль радиуса, а индекс «п»ный индекс«q»-по углу (рис.6.6).Продольравен числу полуволн, укладывающихся на длине резонатора.Условие резонансаk/ -q>mn= q1t,(6.40)где (j)тп зависит от индексов «т» и «п».Из равенства(6.40)4IПIDh-•следует, что резонансные частоты~"Ш1'~\1)1\(!Ушшв1+1~~+1 ф еэ е•ТооТ10Т20ТооТо ,Т02\ EEHE±Hffiffi ® ~ ~++ tt +tТо ,Т 11Т21tТ 10Т 11Т 12\ЕВ~ННПI ~ ~ ~То2Т,2Т22аРис.а-Т20Т2 1Т22б6.6.
Распределение поля на поверхностях зеркал открытых резонаторов:плоские прямоугольные зеркала; 6 -плоские круглые зеркала2906.fmпqгде п -Резонаторыс= 21tnl ( <ртп + q1t),(6.41)показатель преломления среды, заполняющей резонатор.Разность резонансных частот соседних колебаний с одинаковыми поперечными индексами и отличающимися продольными индексами на единJЩу равна(6.42)Поскольку(6.42),q >>т иq >>п, разность частот, определяемая выражениеммала по сравнению с резонансной частотой, определяемой(6.41), томодыс одинаковыми значениями т и п, но разными значениями q объединяют в однупоперечную моду, опускаяqи обозначая ее какTmn· Согласно (6.42) расстояниепо частоте между соседними продольными колебаниями, относящимися кразличным поперечным модам, одинаково.
Таким образом, наборы частот, соответствующие различным попере1IНЬrм модам, сдвинуты относительно друг друга почастоте. Этот сдвиг определяется фазовьrм сдвигом <ртп, различньrм для разных попере1IНЬIХ мод. Случай, когда частоты различньIХ поперечньIХ мод совпадают, называется вырождением.При небольпmх значениях т, п энергия поля в основном сосредоточена в центральной области зеркала и быстро спадает до нуля при приближении к краям. Типы колебаний с большими значениями т и п образуются в результате сложенияплоских волн, распространяющихся под большими углами к оси резонатора. Полеэтих типов вблизи краев зеркала достаточно велико, поэтому дифракционные потери велики и такие поперечные типы практически не могут существовать.Чем больше значения т и п, тем больше поле у краев зеркала, тем большедифракционные потери.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
