Н.С. Голубева, В.Н. Митрохин - Основы радиоэлектроники сверхвысоких частот - 2008 (1261905), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Вошюводы236zzzубавгухдРис.5.35.еJIC3Неоднородные волноводы со сферическими и цилиндрическими направляемыми волнами:а-д-конический; б-сферический; е -коаксиальный конический; вклиновидный; ж -биконический; г-секториальный; з-квазипирамидальный;радиальный-• ДЛЯ Е,пп-ВОЛНЫ 2· д И2Ei = - +k И;2дq1.Н281дU=jrofa--,lzз дq32·Е21 д U=----,h2 дq1дq2(5.63)ДЛЯ Н,т,-ВОЛНЫ -.Н1д2V2= - - +k V;2дq1.Н2·1 д2 V=----h2 дq1дq2 '12д VНз=----Потенциальные функции И иhз дq1дqзV удовлетворяют уравнению(5.64)5.10.Неодт-юродные волноводы237(5.65)и соответствующим граничным условиям. Здесьэто И илиW-V.Неоднородные волноводы со сферическими направляемыми волнами.В сферической системе координат (см.§ П.2) q1 = r, q 2 =hз= rsin -б и при замене в уравнении (5.65)Дебая и и v удовлетворяют уравнениям Гельмгольцаh 2 = r,И=-б,q3 = а, h1 = 1,ru, V = rv потенциалыЛи+k и=О; Лv+k v=O,2где Л2оператор Лапласа в сферической системе координат.-Согласно методу Фурье (метод разделения переменных) для этих уравненийполучаем три дифференциальных уравнения:• по координате r - уравнение Бесселя в сферической системе координат(kr) R; (kr) + 2krR~ (kr) + [(kr) - Т\(Т\ + l)]R1/kr) = О,22где штрихи означают производные по аргументу• покоординате ~(1- zгде22)d2dz-(5.66)kr;уравнение ЛежандраdЦ"' (z)-2z-Цm(z) + [ Т\(Т\ + 1) -dzРт2]Ц"' (z) = О,21- z(5.67)z = cos~;•по координате а, -обыкновенное дифференциальное уравнение второгопорядкаФ;,,, (а)+ Р,~Ф( а)= О.Таким образом, частные решения уравнениялов И и(5.68)(5.65)для скалярных потенциаV в сферической системе координат имеют видИ} = {А kr~(kr)IJ/i"'(cos-б) cos}.
Рта,,Vгде А , ВТ\-в(5.69)SШпостоянные коэффициенты, определяемые из условий возбуждения;= vmn, µт,, -собственные значения волн Е,,,,, и Нт,,, определяемые из граничных условий Е1=Она идеально проводящих поверхностях конического, коаксиального конического, биконического и секториального волноводов по координате~;линейнойL~"'(cos-б)-комбинациейчастные решения уравнения(5.67),присоединенныхЛежандра первогоР,,1'111 (соs-б) и второго рода Q;111 (cos-б)-функцийкоторые являютсяродадля коаксиального конического, бико-нического и квазипирамидального волноводов;L~"' (cos -б) = Р~п (cos -б) -для5. Вошюводы238конического и сферического волноводов; Рт=т -целые числа, определяемыеусловиями периодичности поля по координате а для конического, коаксиального конического, биконического и сферического волноводов; для квазипирамидального волновода Рт= тn/(2а 0 )граничных условийEi = Особственные значения, определяемые из-на идеально проводящих поверхностях (плоскостях)по координате а (2ао- угол раствора в плоскости ,З- = п/2 (см.
рис.Частными решениями уравнения(5.66)5.35, г)).RТ\(kr) являются линейные комбинации сферических функций Бесселя первого рода jТ\(kr), сферических функций Бесселя второго рода nТ\(kr), а также сферических функций Ханкеля перво-hX'2\kr), причемго и второго родаj (kr)=11где JГп.Jvиr111+2N1 (kr),Т\~(kr);1 (kr),Т\+2п11 (kr)= {n_NvиrнО,~) (kr) -111+2(kr); ~ 1' 2)(kr)=Гп.нО,2\kr),vиrТ\+!2цилиндрические функции Бесселя, Нейма-Т\+2на и Ханкеля соответственно.Для того чтобы удовлетворить условию ограниченности поля принеобходимо принятьность приkr •~(kr)= j 11 (kr),поскольку функцииходимо принять RТ\ (kr)при временной зависимости= h~ ) (kr)О,n,./kr) имеют особенО.
Чтобы удовлетворить условию излучения при2kr •kr • =, необejrot,если рассматриваются прямые волны. Как видим, одной функциональной зависимостьюневозможно описать поле в диапазоне О ~мостьу=kr~00•Однако радиальная зависиkr · RТ\(kr) функций И и V, как нетрудно убедиться, введя замены хkr · ~ (kr),= kr,удовлетворяет уравнениюу"+f(x)y= О,(5.70)где f(x) = 1-х5/ х2, х0 = Т\(Т\ + 1).Точки дифференциального уравненияf(x) = О определяют критические сечения неоднородных волноводов, поскольку при f (х) < О имеемзапредельную область волновода (квазистатическое поле), а при f(x) > О - об(5.70)х= х0приласть распространяющихся внутри волновода волн.
Этот факт условно показанна рис .5.36,где представлена кривая зависимости функцииf(x).Таким обра-зом, критическое сечение разграничивает области пространства внутри неоднородного волновода с различным характером поведения поля собственной волны.Учитывая этот факт и радиальную зависимость потенциалов И иV,решения5.10.Неодт-юродные волноводы239f-------------------------------------------Кваз истатиВолновое полеческоеполе(излучение)хРис. 5.36. Разграничение критическим сечением областей пространства внутри неоднородного волновода с различным характером поведения поля собственной волныдифференциального уравнения(5.65)в сферической системе координат представим в следующем виде:(5.71)где (kr)кp = ✓Т\(Т\+1).Подставляя выражение(5.69)с учетом(5.71)в соотношения(5.63)и(5.64),получим компоненты электромагнитного поля в рассматриваемых волноводах.При известных выражениях для компонент поля можно найти волновое сопротивление каждого типа волны, определяемое как отношение полной поперечнойсоставляющей вектора напряженности электрического поля к полной поперечной составляющей вектора напряженности магнитного поля.
Для волн Е,,,,, и Н,,,,,соответственно получимz = ·z у'= [krRv""' (kr)]'.ОЕZОЕ10УkrRУтп (kr) '(5.72)_ "Z у'_ [krRv""' (kr)]'- ]оу- krRv"n (kr) 'При рассмотрении волновых процессов в неоднородных волноводах удобноввести логарифмическую производную радиальной зависимости(ln у)'= у'/ут. е. у= Сечинаksf sdx= Се f sd(kr) = Сеf Ьdr ,где С-= S,произвольная постоянная, а вели-имеет физический смысл локальной «постоянной» распространения соответствующего типа волны. Подставляя выражение для логарифмической производной радиальной зависимости в уравнение(5.70),получаем дифференци-5. Вошюводы240альное уравнение для величиныs. Этим уравнением является дифференциальноеуравнение РиккатиSПри kr •оо,s' •I+ S2_-Т\(Т\ + 1) -1(kr) 2О получаем s= ••±j, т. е.
волна распространяется какплоская в радиальном направлении с постоянной распространенияk0= ±k.Сучетом изложенного «постоянная» распространения собственного типа волныk"()определяется как_ .k у'_ "k [krRТ\(kr)]'k Т\ --1- - - 1 -~-оПосколькуk"()зависит оту(5.73)krRТ\(kr)r, то слово «постоянная» взято в кавычки.Тогда выражения для волновых сопротивлений собственных типов волн(5.72) принимают вид(5.74)Из выраженийkr < (kr)кp(5.71)и(5.73)следует, чтовеличина мнимая приk'(} -и характеризует коэффициент затухания волны соответствующеготипа. При kr > (kr)кp величина k"Ji комплексная, действительная часть которойRek'(} -фазовая «постоянная», а мнимая Imk"() -коэффициент затухания.Волновое сопротивление является комплексной величиной, реактивная составляющая которого на критическом сечении претерпевает скачок.
Приk"()=k, Z 0 E= Z0н =kr •ооZ 0 , а при (kr)кp • ооkТ\ =k 1- Т\(Т\+l)_о(kr)2Следует отметить, что в коаксиальном коническом и биконическом волноводах основным типом является Т -волна, для которой критическое сечение отсутствует, и она может распространяться от любого конечного r.Фазовая скорость vФ и длина волны в системе Л собственного тt-го типаволны определяются соответственно формуламиVф=---°:_ =22л =~= лlkrhТ\(2\Rek 11kr )1 'RekТ\c lkr~ )(kr)l;(5.75)оо2(5.76)5.10.
Неодт-юродные волноводыгде с(5.73)241скорость света. При выводе этих формул использовались выражениеи выражение в верхней строке формулы (5.71).-Энергетические характеристики собственных сферических волн неоднородных волноводов. Из выражений для составляющих поля (5.63) и (5.64) сучетом соотношений (5.69) и (5.70) следует, что для каждой волвы собственноготипа Етп поперечный вектор напряженности магнитного полян:= е"н; + er,.нiна собственном критическом сечении непрерывен, а поперечный вектор напряженности электрического поляпретерпевает разрыв, определяющий эквивалентный магнитный поверхностныйток плотностью(5.77)гдеsign Е:= Е:+ - Е1- -сигнатура поперечного вектора напряженностиэлектрического поля на собственном критическом сечении; верхний индекс«+ » означает, что Е: берется при kr = (kr)кp со стороны kr ;;,, (kr)кp, а индекс«-» -со стороныkr ,;;:; (kr)кp, индекс «v» означает пару индексов «тп» дляЕтп·волн.
Для каждой Н,,,п·волны векторHi_претерпевает разрыв на собственном критическом сечении, определяющий эквивалентный электрическийповерхностный ток плотностью(5.78)Здесь индексEi_«µ »означает пару индексов «тп» для Н.пп·ВОЛН. При этом векторна собственном критическом сечении непрерывен.Таким образом, собственные волны рассматриваемых волноводов содержатвторичные источники в виде эквивалентных поверхностных токов(5.77)и(5.78)на собственных критических сечениях.Следует отметить, что поверхностные электрические и магнитные токи вводятся как эквивалентные всякий раз, когда рассматриваемое электромагнитноеполе претерпевает разрыв на некоторой поверхностиS.Тем самым создаетсявозможность и поверхностные токи задавать не явным образом, а в виде значений скачка тангенциальных компонент вектора Е _j_ или Н _j_ на какой-либо поверхности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
