Н.С. Голубева, В.Н. Митрохин - Основы радиоэлектроники сверхвысоких частот - 2008 (1261905), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Поле имеет периодическую зависимость и при изменении угла а на 27t не изменяется. Таким образом,1 d2 Ф---=-n22'Ф daгде п-(5.48)целое число.Решение этого уравнения имеет видФ= А cos па+ В sin па = соsпа}.sшпа.Учитывая(5.48) в (5.47), находим1 d 2R1 dRпR drr22--+ ----2 +х =О.22Поделив на Х и обозначивRr drxr через х, получимd2R2 +_!_ dR +(1-~)R=02dx-х dxхуравнение Бесселя, решение которого имеет вид(5.49)5.
8. Коаксиальный волновод217(5.50)Здесь функция Неймана Nп(х) учитывается в решении, так как точка х= О,r = О,(5.46), получаемиветствующаяисключается внутренней жилой. Учитьmая(5.49)(5.50)cos па} е _jko z ._соотв(5.51)Hmz -[CJn(Xr)+DNn(Xr)] .sшпаОстальные составляющие находим из уравнений Максвелла(2.8)аналогично тому, как это делалось в случае круглого волновода. Окончательно имеемcos па} _jkOz.Hmz =[Clп(Xr)+DNп(Xr)] .е;sшпа.Jkoсоsпа} 1.kHmr =--[CJ~(xr)+DN~(xr)] .е- oZ ;Х._sшпаjnkoНта -- -- [Clп(Xr)+DNп(Xr)].Emr=2Х rаxr[Clп(xr)+DNп(xr)]}соµ.Е= -a[CJ'(xr)+DN'(xr)]тахе,соsпа1·соµ п2-sin па} _jkoz.пп-sinna}соsпа.kе- 1 oZ ;cos па} e- JoZ"ksin па.Поперечное волновое число Х определим из граничных условий.
Согласнограничным условиям Е,= О,т. е. Ета=Оприr= а1иr= а2 ,что соответствует системе уравненийCJ~(Xa1) + DN~(Xa2) =О;с1; (Ха2 ) + DN;, (Ха 2 ) = ОилиN~(xa 1)_]~ (ха 1 )N~(Xa 2 )1; (ха2) .Корни трансцендентного уравненияN; (Ха 1 )J; (Ха 2 ) - N~ (Ха 2 )J~ (Ха,)= Оопределяют поперечные волновые числа Х, зависящие от геометрии волновода(а 1 и а 2) и типа волны (значений пит).Структура поля Епт определяется аналогично. В соответствии с.(5.51)cosna} е- 1.koZEmz = [С]п (xr)+ DNn (Xr)] .sшпаи поперечные волновые числа определяются из трансцендентного уравнения5.
Волноводы218Nп (ха, )Jп (Xaz )- Nп (Xaz )lп (ха,) =0.Критическая длинал,кр= 27tхволн Епт и Нптразличная.Основной волной в коаксиальном волноводе является Т-волна. При работена этой волне размеры коаксиального волновода минимальны.Постоянная распространения Т-волныk= ro.Jeaµaравна постоянной распространения в свободном пространстве. Поле эквивалентно полю между двумя параллельными плоскостями, свернутыми в цилиндр.При этомEz =Hz =Ео.Проекция волнового уравнения на ось=Н,rсогласно (П.39) равнаЛЕ - Ет, - 2 дEm(J.mrr2=0.r 2 д а, +k2 Есодержит одну составляющую Ет,, так как Ето.=оmr= О,т. е.(5.52)Очевидно, что решение будет иметь видЕ. mr -R(r ) е - jkz.(5.53)д2Подставляя (5.53) в (5.52) и поделив на (5.53) с учетом того, что -дz2= -k 2 ,получаемили_.!_ d R + _1 dR _ _!_ = ОR dr 2rR dr r 2•2Уравнение решаем подстановкой:r = е 1 ; dr = е1 dt; dt = е - t dr.Первая производная(5.54)5.
8. Коаксиальный волноводdRdrdR dtdt dr-=--=е219-_1 dRdt .Вторая производная2d Rdr 2=~(е-1drdR)=e-21(dR)=e-t~(e-tdtdtdtПодставляя эти значения в2d R _ dR)·dt 2dt(5.54), получаемd2 R -R = Оdt 2-(5.55)дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.Характеристическое уравнение2р -1 = оимеет корниР12Решение уравнения(5.55)R=±1.имеет вид= Ае 1 +ве-1 = Ar+ В,rно физический смысл имеет лишь второе слагаемое, так как с увеличением значенияr электрическое поле уменьшается.Окончательно имеемЕ.
mr -_ Ет. е- jkz '.r(5.56)Ет- jkzн. та -_ -·е'Z0rгде Z 0 = .Jµa/ta.Структура поля Т-волны приведена на рис.5.20.Обычный коаксиальный кабель характеризуют интегральными величинами-током и напряжением. Ток, текущий по кабеmо, определяется выражениемнапряжение между цилиндрами коаксиальной линииРис.5.20.Структура поляТ -волны в коаксиальномволноводе5.
Волноводы220сопротивление коаксиальной линииЕсли среда, заполняющая волновод, не обладает потерями, то фазовая игрупповая скорости не зависят от частоты:1т. е. дисперсии нет. Коаксиальная линия передачи с Т-волной применяется вдиапазоне частот от постоянного тока до5.9. Волноводы10 ГГц.с замедленной фазовой скоростьюнаправляемых волнВ рассмотренных выше простейших волноводных линиях передачи фазовыескорости распространения волн превьппают скорость света. Такие волны называются быстрыми, а системы, в которых они возможны,-ускоряющими.В ряде практических приложений требуется, чтобы фазовая скорость электромагнитной волны бьша меньше скорости света.
Медленные волны можнополучить, например, в периодических системах, т. е. в системах, продольно неоднородных, состоящих из повторяющихся структурных элементов. Периодическую систему можно создать на основе обычного металлического волновода,если по его длине на равных расстояниях друг от друга разместить диафрагмы.В лампах бегушей волны (ЛБВ) и линейных ускорителях заряженных частиц-основной области применения диафрагмированных (гофрированных) волноводов-от волноводов требуются круговая симметрия и наличие продольногоэлектрического поля.Круглый диафрагмированный волновод. Продольное сечение диафрагмированного круглого волновода показано на рис.5.21.Диафрагмы представляют собой тонкие металлические перегородки с круговым сечением радиусом а,прикрепленные к стенке волновода на расстоянииd друг от друга.Решение электродинамических задач о периодических системах основано натеореме Флоке, утверждающей, что распределение поля в любой бесконечнойРис.5.21.
Диафрагмированный круглый волновод5.9.Волноводы с замедленной фазовой скоростью направляемых волн221периодической линии должно периодически повторяться в силу идентичностиграничных условий. Следовательно, поля в соседних ячейках могут отличатьсялишь по фазе (а при наличии поглощения - и по амплитуде):'Vт(Х, у, z + d)='Vm (х, у, z)e-N,где q> = ~ ZПоля в периодической системе обычно представляют в виде суммы пространственных гармоник - гармоник Хартри (аналог гармоник Фурье):-(\jf т) '°' - ( ) -J(P+21tnl00х, у,z = L...\jf пх, у еd)z,п=-сот. е. свободный волновой процесс рассматривают как наложение бесконечнойсовокупностиплоскихнеоднородныхволнспоперечнымираспределениямиЕп(х, у) и Нп(х, у) и с постоянными распространения~ п _ ~ + 21tnd ,п-=о, ± 1, ± 2, ...Если период направляющей системы весьма мал по сравнению с длинойволныл.), то удовлетворительные результаты дает решение задачи при-(d «ближенным методом, не учитывающим периодичности системы.Рассмотрим практически используемую симметричную электрическую волну.
Приняв во внимание , что в случае медленных волн поперечное волновоечисло является чисто мнимым:гдеkc = ✓~2-k2= ✓~ 2 -ro2Eaµ aдействительное положительное число, за-пишем выражения для составляющих поля в области О ~r<а, свободной отдиафрагм:E zi = A1Io(kcr)e-JPz;Е,1 =-А1 {_13 I1(kcr)e- JPz;kcI 1 (k- cr. )н -- А1 -jroEa-о.1е- Л3z ,kcгде Iп (kc r)-модифицированная функция Бесселя первого рода.Волна такого типа в диафрагмированной области (а< r < Ь) невозможна, таккак составляющая Е, должна обращаться в нуль на стенках диафрагм, а составляющаяEz -приr=Ь.
Из условияd <<л, следует, что на протяжении одного5. Волноводы222периода d фаза волны изменяется незначительно, т. е. ~d «<r<Ьти а1. Поэтому в обласвозбуждается в основном поле, не зависящее отz. Простейший типколебаний, удовлетворяющий указанным требованиям, имеет видEz2 = A2[Jo(kr)No (kb)- No (kr)Jo(kb)];Е, 2= О;На2jO)f,a= A2--[J1(kr)No(kb)- N1 (kr)Jo(kb)] .kМожно сказать, что наличие перегородок приводит к появлению в областиа< r < Ь стоячих цилиндрических волн.Приравняем тангенциальные составляющие полей на границеr=а:илиСогласно левым частям равенствr=(5.57)поля зависят от координатыа, а согласно их правым частям поля не зависят от координатыzприzприr =а.Поэтому точное удовлетворение условию сопряжения невозможно.
Однако приPd «1 экспоненту е - j~z можно заменить единицей и тогда поля сопрягаются(«сшиваются»).Из соотношения(5.57)получим характеристическое уравнениеkca lo(~ca) = J o(ka)No(kb) - No(ka)J o(kb) ka,11 (kca)11 (ka)No(kb)- N1 (ka)Jo(kb)(5.58)определяющее постоянную распространения симметричной воШIЫ электрического типа при известных размерах а и Ь диафрагмированного волновода. Анализ характеристического уравнения показал, что замедленная волна в даннойсистеме возможна лишь при определенных условиях (правая часть уравнения(5.58) должна бытьбольше двух).Для получения интенсивного взаимодействия между волной и частицами вЛБВ и линейных ускорителях необходимо, чтобы поле имело достаточно сильную электрическую составляющую вдоль направления движения частиц(Ez),благодаря которой происходит их торможение (в ЛБВ) или ускорение (в ускори-телях).
Замедление ( р =¾) бегущей вдоль диафрагмированного волноводаволны должно быть мальrм (р""1)в ускорителях и порядка10 в ЛБВ.5.9. Волноводы с зам.едленной фазовой скоростью направляемых волн223Распределение электрического поля в области волновода О ~r~ апоказано на рис.5.22.Электромагнитное поле «прилипает» к поверхностиkcar = а тем сильнее, чем больше параметр= ka✓ р 2 -1. Приполе экспоненkca » 1циально убывает при удалении от диафрагмы.Медленнаяхарактер.волнаПоэтомупроявляетповерхностныйприменятьРис. 5.22. РаспределеIШе электрического поля в диафрагмированном волноводедиафрагмиро-ванный волновод при больших значениях параметра kca невыгодно, так как наz,электроны, движушиеся вблизи от осидействует сравнительно слабое поле.В заключение отметим, что несимметричная медленная волна в диафрагмированном волноводе имеет продольную электрическую составляющую, про-порциональную функции lт(kcr) (т = 1, 2, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
