Chizhov_lektsiya_5 (1183952), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Тогданаправление теплопередачи определено вторым началом термодинамики (в форме Клаузиуса).QПри этом энтропия первого тела уменьшается на величину dS1 , а второго T1Qувеличивается на dS2 . Поскольку T1  T2 , то dS2  dS1 , т.е. энтропия системы растет вT2процессе установления термодинамического равновесия. Обобщая это утверждение на любые4неравновесные процессы, можно утверждать, что во всех случаях установления равновесия втермодинамической системе энтропия увеличивается. В частности, изменения вадиабатической системе  Q  0 могут идти лишь в направлении роста энтропии S  0 , асостояние равновесия определяется условием S  max .Замечание.Мы рассмотрим далее не только квазиравновесные процессы.

Движение газа можетсопровождаться возникновением ударной волны, в которой энтропия системы возрастает.Однако вначале целесообразно рассмотреть простейшие процессы – изэнтропийноедвижение идеальной жидкости.6. Интегралы уравнений движения идеальной жидкости6.1. Интеграл БернуллиСтационарным или установившимся течением называют такое движение, при котором вкаждой точке пространства, заполненного жидкостью, поле скоростей постоянно во времени,vтак что 0.tУмножим уравнение Эйлера в форме Громеки-Лэмба на единичный вектор lv касательной клинии тока в каждой ее точке.

Тогда, учитывая что lv    v  0 , получим l   P   l  grad P    lP  0 .vvvОтсюда следует, что в случае стационарного изэнтропийного движения идеальной жидкости,находящейся в поле консервативных массовых сил, существует скалярная величина Р, котораяпостоянна вдоль каждой линии тока:v2P w  U  const .2Значение константы может быть различным для разных линий тока. Полученноесоотношение называется интегралом Бернулли.Если умножить уравнение Эйлера скалярно на вектор l , касательный в каждой точке клинии вихря  , то вновь получим интеграл Бернулли, который сохраняется теперь вдольлинии вихря.

Вектор вихря в каждой точке не совпадает с вектором скорости, поэтому можнопостроить поверхность на линии тока и векторах вихря, ассоциированных с ней, на которойинтеграл Бернулли сохраняется.6.2. Интеграл КошиБезвихревым или потенциальным называют движения жидкости, при котором во всемпространстве завихренность равна нулю, т.е.1  rotv  0 .2Поле скоростей при потенциальном течении может быть представлено в видеv    grad  .Скалярная функция координат и времени   r , t  называется потенциалом скорости.Если движение идеальной сплошной среды является потенциальным и изэнтропийным, асреда находится в поле консервативных массовых сил, то сществует интеграл движения и внесмтационарном потоке.Для потенциального изэнтропийного течения уравнение Громеки-Лэмба имеет вид  v 2  w U   0.2 tЭто уравнение можно проинтегрировать:5 v2  w  U  f t  .t2Здесь f t  - произвольная функция времени.

Этот интеграл называется интегралом Коши.При стационарном движении 0 , f  t   const , и интеграл Коши переходит в интегралtБернуллиv2 w  U  const .26.3. Теорема об изменении энергииУмножая уравнение Эйлера скалярно на вектор скорости, можно получить уравнение,описывающие изменение плотности кинетической энергии среды:dv v   v p  f  v .dtЛевая часть этого уравнения преобразуется к виду:dvd  v2  d   v2  v2 d v      .dtdt  2  dt  2  2 dtИз уравнения непрерывностиd    v .dtdУчитывая выражение для оператора субстанциальной производной  v  , левуюdt tчасть уравнения представим «в дивергентной форме»:  v2 dv    v 2  v2  v2   v2 v  vvv(*)dt t  2 22t  2  2   Для вычисления мощности поверхностных сил давления в среде v  p    pv   p vвоспользуемся первым началом термодинамикиp dV dq pde dq v ,dt dt V dt dt Учитывая уравнение непрерывности, выполним преобразования:dq ddq dep v      e  e   v     e      ev    q .dtdt dtdt tДля адиабатных процессов q  0 , поэтому мощность поверхностных силf пов  v   v  p     e       e  p  v  .(**)tРавенства (*), (**)приводят выражение для изменения плотности кинетической энергии к виду  v2    v2 divv      e   div    e  p  v   f  v .t  2 t 2 Следовательно, уравнение изменения плотности энергии является балансным уравнением:   v2  v2  edivw v .t 2 2 Здесь w  e  p  - плотность энтальпии.Интегрируя это выражение по некоторому фиксированному объему, получим балансноесоотношение – теорему об изменении энергии сплошной среды:6 v2 v2  edVdivw v  dV .  t   22  Преобразуя интеграл, стоящий справа, в интеграл по поверхности, ограничивающейрассматриваемый объем, получим выражение, которое допускает простую интерпретацию: v2 v2 edVw  vd  . t   22 Подынтегральное выражение слева представляет собой плотность энергии и определяетсясуммой внутренней энергии и кинетической энергии макроскопического движения среды.

Этовыражение аналогично соответствующему выражению в механике системы точек, котороеопределяется теоремой Кенига.Подынтегральное выражение справа представляет собой плотность потока энергии средычерез поверхность, ограничивающую рассматриваемый объем. Появление здесь удельнойpэнтальпии w  e обусловлено действием поверхностных сил, совершающих работу надсистемой.7.

Характеристики

Список файлов лекций