Chizhov_lektsiya_4 (1183951), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Изменение кинетического момента.Теорема об изменении кинетического момента частицы вещества постоянного составав элементарном объеме V также может быть представлена в форме балансногосоотношения. Пусть масса частицы m  V , а ее скорость v  vi ni .Проекции вектора кинетического момента частицыL  r  mvна орты декартовой системыFx  v 02S 02sin  ,Li  ni  L  m ijk x j v j .В соответствии с теоремой динамики, скорость изменения вектора кинетическогомомента частицы определяется суммой моментов внешних сил. В рассматриваемомслучае – объемных FV и поверхностных F  , действиующих на частицу:dL  r  FV    r  dF   .dtЗдесь dF   dFknk  nk kn dSn - элемент поверхностной силы.Для проекций на орты ni получимdm ijkx j vk   ijk x j f k V    ijk x j kn dSn .dtПереходя к интегрированию по объему и используя теорему о среднем, получимd ijkx j vk   ijk x j gk   ijkx j kn .dtxnЗдесь выражение приведено для объемной силы – силы тяжести f i   gi V .Воспользуемся и здесь уравнением непрерывностиd  divv  0 ,dtумноженным на векторное произведение r  v (записанное в тензорных обозначениях):vd ijk x j vk  ijk  x j vk n  0 .dtxnСкладывая оба уравнения, получимd ijk x j  vk   ijk x j  vk  ijk x j kn   ijk x j  gk .dtxn5Раскрывая выражение для субстанциальной производной, получим дивергентнуюформу теоремы об изменении кинетического момента: ijk x j  vk  ijk x j  vk vn   ijk x j kn   ijk x j  gk .txnТеперь осталось выполнить интегрирование по объему наблюдения, не зависящему отвремени, и применить теорему Гаусса к дивергенции тензора от плотности потокаимпульса ik   vi vk   ik , чтобы получить балансное соотношение для кинетического моментавещества Li   ijk x j  vk dV в объеме наблюдения:VLi     ijk x j  kn dSn  Mi ,tгде Mi    ijk x j  gk dV - момент объемной силы тяжести.V4.3.3.

Симметричность тензора напряжений.Воспользуемся теоремой об изменении кинетического момента ijk x j  vk  ijk x j  vk vn   ijk x j kn   ijk x j f k ,txnчтобы доказать симметричность тензора напряжений.Умножим уравнение Эйлера  vk     vk vn   kn   f ktxnна  ijk x j и вычтем из уравнения момента. Выполняя дифференцирование, получим ijk  vkx jx jt  ijk  vk vnx jxn  ijkx jxn kn  0 .x j  jn , поэтому  ijk  vk v j   ijk kj  0 .txnТак как  ijk vk v j  0 в силу симметрии, то  ijk kj  0 для любого тензора напряжений, аНо0, аследовательно,  kj   jk .4.4.

Криволинейные ортогональные координаты.Уравнение Эйлера можно записать в ортогональных координатах, если заданыплотность объемных сил и поле скоростей заданных проекциями на локально-декартовыорты f  f k ek , v  vk ek . Дифференцирование вектора скорости даетde dvdv dvi ei  vi i  i  ei  vi  ei  .dt dtdtdtЗдесь вектор  - скорость изменения ориентации ортов при перемещении частицы.В полярных координатах вектор скорости задается проекциями v  vr e1  v e2  vz e3 , а   e3 ve3 , поэтому уравнение имеет видr dv v2  vv p p p dv dv  r     e1     r    e2  z  e3    f r    e1   f   e2   f z    e3 .r r dtr r z  dt dt Субстанциальная производная также должна быть записана в криволинейныхкоординатах:d   v    vr  v vz .dt ttrrz6Аналогично записывается и уравнение в сферических координатах, где скорость задаетсяпроекциями v  vr e1  v e2  v e3 , а скорость изменения ориентации ортов   cos  e1   sin  e2   e3 vctg e1 ve2 ve3 .rrrСубстанциальная производная в сферических координатахd .  v    vr  v vdt ttrrr sin Обобщенные криволинейные координаты.Рассматривая сплошную среду, как систему материальных точек, можно воспользоватьсялагранжевым описанием движения в произвольных криволниейных координатах.Уравнение движения элементарной массы m постоянного состава, которая в данный моментоказалась в точке наблюдения.

Второй закон Ньютона для частицы массой m (элементарноймассы постоянного состава) имеет вид:mdv   f R .dtРазбивая силы на поверхностные и объемные, запишем соответствующие выражения для этихсил:f  mg  gV , R   pdS  pV .Векторное уравнение движения в простейшем случае имеет вид: dv g  p .dtПереход к эйлерову описанию проводится путем задания положения точки наблюдения, вкоторой оказывается частица в момент наблдения t. Пусть r вектор, задающий положение точкинаблюдения /выделенного элементарного объема V /. Введем обобщенные координаты q i ,задающие положение рассматриваемой точки пространства: r  r qk  .Для записи уравнения движения в проекциях на локальные направления r порождаемые r q k , t криволинейными координатами r q i (например, цилиндрическими илиq iсферическими), вычислим скалярные произведения  1    dv  r   r  g   r  p .dt Выражения для поверхностных и объемных потенциальных сил g   представимы в видеградиентов — производных по соответствующим обобщенным координатам r r  g     g  r    q k    q k ,qk qk r    pr  p   p r qk qk .q k q kДля вычисления проекций ускорения преобразуем левую часть, используя тот факт, что полескоростей отражает перемещение частиц за элементарный промежуток времени, а значит, связано r q k , t q i под знак полнойс изменением обобщенных координат.

Внося выражение r q iпроизводной d  r     d r r dv   dv  r   qk   q k  dt  q  v   v  dt qdt k q k dt   k   .7 drrrРассматривая поле скоростей v как функции независимых переменныхqk dt q ktv qk , q k , t  - обобщенных координат qk , скоростей q k и времени t, получим полезноеvrсоотношение,, которое позволяет преобразовать левую часть уравнения кq k q kкомпактному виду: d  v     v  dv  v   v  r   qk  dt dtqk  qk d  v 2   qk    dt q k  2  qk v 2   . 2 Уравнения движения в криволинейных координатах получаются из соотношения:d   v2    v2  1 p.  dt qk  2  qk  2 qk  qkДля получения уравнения Эйлера в криволинейных координатах необходимо выразитьобобщенные скорости q k как функции положения точки и проекций физической скорости навыбранные направления v( qk ) ~  r  v  qk , qk , t  .

Для локально-декартовых координат(цилиндрических или сферических) в качестве таких величин используются проекции вектораскорости на соответствующие орты.Пример. Уравнение эйлера в сферических координатахr  rer , v2  vr2  v2  v2  r 2  r 2 2  r 2 sin 2  2 .Вычислим производныеvv  v2   v2  2  v2  22,,   r  vr , r     r sin  r  2   2 r  2 r sin   v2r  2v2  v2222,  r   sin  r  v2  2  v2 22rsincosvctg,    0.  2   2 Учитывая выражение для субстанциальной производнойvd  v ,  r   vr  dt tr tr r  r sin  проекции уравнения Эйлера на орты сферической системы можно записать в виде системы:v vr v2  v2dvr vrv v v1 p , vr r   r dttrr  r sin  r r rv v vr v v2dv vv v v1 p , vr ctg  dttrr  r sin  rr r  rdvdtvt vrvrv v vr v v vpv v11 .ctg  r  r sin  rr r sin   r sin  8.

Характеристики

Список файлов лекций