Chizhov_lektsiya_1 (1183948), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Задавая векторпроекциями, производим суммирование по повторяющимся индексам.Для краткости представление векторов в первом виде будем называть «тензорным», а второе – «векторным». Задание векторов при помощи проекций содержит детальную информацию, удобно при проведении расчетов, но жестко привязано к выбранной системе координат.Использование векторных обозначений оказывается предпочтительным при общем анализе, поскольку вид соответствующих уравнений, записанных в векторной форме, не связан сконкретным выбором координат (инвариантная форма записи).

Векторная форма удобна длязаписи (но не решения!) уравнений в цилиндрических или сферических координатах.Поле скоростей в описании Лагранжа и Эйлера. Связь между ними.Если задача о движении жидкости решена в переменных Лагранжа, т.е. известно движениекаждой частицы x  x  x0 , y0 , z0 , t  , y  y  x0 , y0 , z0 , t  , z  z  x0 , y0 , z0 , t  , то поле скоростей вэтих переменных определяется простым дифференцированием:vx dy ydx xdz z vx  x0 , y0 , z0 , t  , vy  vy  x0 , y0 , z0 , t  , vz  vz  x0 , y0 , z0 , t  .dt tdt tdt tПредполагая возможность установления между начальными координатами частиц и их текущими координатами взаимно-однозначного соответствияD x, y , zD  x0 , y0 , z0  0,можно разрешить систему уравнений относительно начальных координат:x0  x0  x , y , z, t  , y0  y0  x , y , z, t z0  z0  x , y , z, t  .Исключая зависимость от начальных условий, получим описание в переменных Эйлера:vx  vx  x , y , z, t  ,vy  vy  x , y , z, t vz  vz  x , y , z, t  .  Или в инвариантной векторной форме v  v  r , t  .

Аналогично выражаются и поля другихфизических величин (плотности, температуры и т.д.).Примеры. Космологическое расширение пыли.Пример 1. В начальный момент невзаимодействующие частицы (пыль) образуют облако с радиальным распреде- v0  H0 r0 . Найти поле скоростей (в переменных Эйлера) v  r , t  .В соответствии с космологическим принципом выбрано решение вида v  H  t  r .лением скоростей4 r  t   r0  v0t , полностью определяется начальным положением частицы, посколькуначальная скорость – функция начального положения v0  H0 r0 :r  t   r0  v0t  r0  1  H0t  .drДля определения поля скоростей v  t   v0  H 0 r0 исключим начальное положение, подставив вместоdtr1него текущее значение радиальной координаты v  H 0 r0  H 0,а H  t  r , где H  t  1  H 0tt  t0t0  1/ H0 . Вводя отсчет времени «от сотворения мира» T  t  t0 , запишем поле скоростей в векторном виде rv r ,T   .TРешение.

Закон движения1. Как изменяется с течением времени элементарный объем?2. Как зависит плотность пыли от времени, если в начальный момент она однородна?  При описании в переменных Эйлера, например v  v  r , t  , соответствующие физическиевеличины, ее характеризующие, заданы в виде полейvx  vx  x , y , z, t  ,vy  vy  x , y , z, t  ,   t , x, y , z ,vz  vz  x , y , z, t  ,T  T t , x, y , z  .Для перехода к переменным Лагранжа, надо установить связь между текущими координатами x, y, z, задающим положение частицы в момент времени t, и ее начальными координатами x0, y0, z0, определив закон движения для каждой частицы среды.

Изменение текущих коор drдинат с течением времени определяет скорость частицы v , т.е. устанавливает связь межdtду полем скоростей в переменных Эйлера и координатами частиц, попадающих в выбраннуюточку наблюдения. Это приводит к системе уравненийdydxdz,,vx vy vz  .dtdtdtПодставляя сюда значения скоростей как функций координат, получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений:dydxdz vx  x , y , z , t  , vy  x , y , z , t  , vz  x , y , z , t  .dtdtdtИнтегрирование системы дает закон движения для каждой частицы – описание Лагранжаx  x  x0 , y0 , z0 , t  , y  y  x0 , y0 , z0 , t  , z  z  x0 , y0 , z0 , t  .Пример 2.

Поле скоростей вещества, в соответствии с космологическим принципом, задано выражением2v  H  t  r , где H  t   . Найти закон движения частицы, занимающей в момент времени t0 положение r0 .3tt dr 2rРешение. Уравнение движения для частицыэлементарно интегрируется r  t   r0  dt 3t t0 Такой закон движения приводит к зависимости скорости частицы от ее положения2 /3.v  r   v0 r0 r или иначеv2 rmv2 mv02 r0 GmM.

Здесь GM  0 0 - характеристика массы вещества, на22 rr2ходящегося в начальный момент в шаре радиуса r0 .Заданное поле скоростей описывает расширение сферически-симметричного облакагравитирующей пыли. Начальная энергия каждой частицы равна нулю, что соответствует выбору ее начальной скорости, равной «второй космической» для данного шара.Если начальная скорость превышает это значение, то облако бесконечно расширяется, если меньше его, то расширение сменяется сжатием этого облака после достижения максимального размера (открытая или замкнутая «вселенная»)v0r05В космологии вместо массы выделенного шара удобно воспользоваться локальной характеристикой вещества44M   r 3  t    t    r03 0 .

Выразив начальную скорость через начальное значение посто338v2 rянной Н (постоянной Хаббла), получим GM  0 0  G 0  H 02 . Таким образом, при заданном «началь32– плотностью:ном» значении постоянной Н0 судьба расширяющегося вещества (в ньютоновской модели) определяется его начальной плотностью.Пример 3. Поле скоростей невзаимодействующих частиц сплошной среды (пылинок) в начальный моментвремени задано соотношением   x  . Найти поле скоростей этой среды v  v r , t в пеv  r , 0   v0 nx sin   l ременных Эйлера. Возможен ли такой переход для любых моментов времени?2.4. Ускорение.Поле скоростей позволяет определить и поле ускорений, необходимое для построения динамики сплошной среды.

Вектор ускорения в декартовых координатах, заданных ортами ni ,определяется, как приращение скорости выделенной элементарной частицы постоянного состава, за время dt . Чтобы определить приращение скорости этой частицы по заданному полю  скоростей v  v  r , t  , нужно сравнить скорости в двух соседних точках наблюдения, разде ленных пространственным интервалом  r  vdt в два момента времени t и t  dt (см. рис.),выбирая в качестве второй точки только ту, куда придет рассматриваемая частица  xk  vk dt : v1  r , t   vi ni , v v v2  r , t   vi  xk   xk , t  dt  ni  vi  xk , t  ni  dt i ni   xk i nitxkv2Ускорение определяется выражениемv1 v d  dva  v   vi ni    i  vk idtdtxk t ni .21Последнее слагаемое можно записать в форме скалярного произвеРисдения вектора скорости v  vk nk и векторного дифференциального  оператора   ns– градиента:xs   ,v   vk nk  ns   vk  ks  vkxsxsxkчто позволяет придать записи инвариантный вид, не зависящий от конкретного выбора ортов: d   a v v  vdttd Оператор- субстанциальная производная, а слагаемое v   - конвективная производная.dtУскорение не линейно по скорости, так как конвективная производная содержит скорость.2.5.

Деформации средыДля определения деформаций рассмотрим скорость частиц в двух близких точках - x k иxk   xk в выбранный момент времени t. В линейном приближении по  xk получимvvi  xk   xk , t   vi  xk , t   i  xk .xk6Когда скорости всех точек среды одинаковы, т.е.vi= 0 , деформации среды отсутствуют. Ноx kvi 0 существуют движения, не приводящие к деформациям. Напомним, чтоx kдвижение тела называется деформацией, если изменяются расстояния между его точками, т.е.проекции скоростей любой пары точек на прямую, их соединяющую,v2не равны.

В рассматриваемом случае этой прямой является вектор  xk ,а проекция вектора скорости пропорциональна скалярному произведе- v1нию vi  xk , t   xi . Применяя этот критерий, получим условие на поле2и в случаескоростей, при которых деформации отсутствуют для любых  xi  0 :1δrvi  xk   xk , t   xi  vi  xk , t   xi .Полученное соотношение приводит к дифференциальному условию для поля скоростей, описывающего движение без деформаций для любых  xi  0 :vi x k  xi  0xkvСвертка тензора Tki  i и симметричного тензора  ki   xk xi ( ik   ki ), не равного нулю,xkобращается в нуль тождественно только в том случае, когда тензор Tki является антисимметричным, т.е.

Tik  Tki .Представляя тензор Tki в виде суммы антисимметричного Aki и симметричного тензора SkiTki  Aki  Ski ,1  v v 1  vi vk Ski   i  k  ,,2  xk xi 2  xk xi получим следующий критерий для определения деформации сплошной среды.Движение сплошной среды является деформацией, если симметричный тензор1  v v Sik   i  k 2  xk xi гдеAki не равен тождественно нулю.Этот тензор называется тензором скоростей деформаций и определяет скорость изменениярасстояния между соседними точками сплошной среды.Если выбрать ориентацию осей системы координат так, чтобы в рассматриваемой точкетензор скоростей деформаций стал диагональным0  S11 0Ski   0 S22 0  , 00 S33 то за время dt расстояние между точками, находящимися на осях, изменится:δx'3 = δx3 + S33δx3 dt .δx'2 = δx2 + S22 δx2 dt ,δx'1 = δx1 + S11δx1dt ,Это приведет к изменению рассматриваемого элементарного объема δV = δx1δx2 δx3 :V    x1 x2 x3  V 1   S11  S22  S33  dt Скорость изменения относительного объема определяется суммой диагональных компоненттензора скоростей деформаций:1 d V1 δV '  δVv v vv== S11 + S22 + S33 = 1 + 2 + 3  i .δV dtδVdtx1 x2 x3 xi7Удобно применение этого соотношения в векторной форме.Относительная скорость изменения элементарного объемаравна дивергенции вектора скорости в рассматриваемой точке1 d V= divv .δV dtСоотношения между скоростями частиц среды в соседних точках пространства можнопредставить, используя векторные обозначения.

Характеристики

Список файлов лекций